浅谈初等数学与高等数学有关联系的几个问题

1、浅谈初等数学与高等数学有关联络的几个问题浅谈初等数学与高等数学有关联络的几个问题1导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。1.1导数的单调性定理1.1设函数在上连续，在内可导假设在内，那么函数在上单调增加；假设在内，那么函数在上单调减少.例1-1确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设是上的任意两个实数，且，那么由得要使，那么.于是.即时，是增函数；时，是减函数.解法二：令解得；因此，当时，是增函数.再令，解得，因此，当时，是减函数.经过对两种方法的比照，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中

2、学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.1.2利用导数可求出某些曲线的切线例1-2求椭圆上任意一点处的切线方程.解法一：设切线方程为将切线方程代入椭圆方程，令判别式，解得.所以切线方程，化简得.解法二：由，得.从而.所以.切线方程，化简得.通过解法一和解法二的比照，我发现某些曲线的切线用初等方法计算很费事，甚至求不出来，利用导数求曲线的切线既简捷又明了，可以到达事半功倍的效果.2极限的应用学习极限是从一个有限到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.2.1数列极限高中我们给出了数列极限的概念：假设当项数无限增大时，无穷数列本文由论文联盟搜集整理的项

3、无限地趋近于某个常数即无限地趋近于0，那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.数学分析里也给出了数列极限的概念：定义2.1设为数列，为有限常数，假设对总存在正整数，使得当时，有那么称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.假设数列没有极限，那么称不收敛或称为发散数列.中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了收敛这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的准确定义，我们便可以用定义又称定义来证明高中数列极限中所用的结论.例2-1证明均为常数，且在中学，我们直观地知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正

4、确性.证明由有即对，那么当时，有.即利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四那么运算法那么.例2-2假设数列与都收敛，那么和数列也收敛，且.证明设与.根据数列极限的定义，即有有同时有与于是，有即在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题才能，注重的是理性思维培养和备考才能进步.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维才能及逻辑思维才能.而且大学里对数列极限的深化介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵敏.2.2函数极限与数列极限一样

5、，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：假设函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作也可记作当时，也叫做函数在点处的极限.但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出准确的量的刻画和描绘.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.当趋于时函数极限的准确定义：定义2.2设函数在点的某一去心领域内有定义.假设存在常数，对于任意给定的正数无论它多么小，总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当.由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定

6、理，这里不做过多的阐述.当趋于时，函数极限准确定义：定义2.3设函数当大于某一正数时有定义.假设存在常数，对于任意给定的正数无论它多么小，总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当.函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其准确定义证明函数极限的四那么运算法那么及一些常用结论：运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.例2-5求的值.解令当时，即故中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四那么运算法那么，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们

7、数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法那么等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.例2-6求的值.我们先用中学的方法来求解：解=这是中学最根本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当时，所给分式的分子分母分别趋近于，可以运用洛必达法那么求解.运用洛必达法那么，有：此题似乎没有表达洛必达法那么的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法那么在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.例2-7求的值.在中学，我们可以这样求解解原式如今用洛必达法那么解答，可以比较一下：解由于当时，故是型用

8、洛必达法那么有在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们根本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.3不等式不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要根底.不等式的内容表达了数学思想的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明，求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一、不等式的概念与性质；二、解不等式；三、不等式的证明；四、不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不

9、等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.3.1不等式的证明不等式的证明、方法灵敏多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联络，这表达了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最根本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的知识解答，但是用大学所学的某些知识来解答，我们会发现明显简单的多.定理3.1拉格朗日Lagrange中值定理：假设函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导.那么在开区间内至少存在一点，使得例3-1证明：当时，不等式在时成立.在中学

10、，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理来证明此题.证明设那么当时，对在区间上应用拉格朗日中值定理有其中因为时，所以.故有运用准确的定义对高中的某些结论进展证明，也就让我们从只是纯粹地承受结论上升为自主地去讨论结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.3.2解不等式不等式的解法在中学我们就已经介绍了很多.在大学我们在解不等式时根本上也是沿用中学学过的方法.但是在解决一些问题时，为了快捷解答问题，我们还引进了一些新方法.定理3.2介值定理设函数在闭区间上连续，且假设为介于与之间的任何实数或，那么至少存在一点使得例2-3解不等式在中学，我们可以用常规解不等式的方法求解此题，过程如下：解不等式的定义域为对于不等式通过移项，去根号，合并同类项，整理得：解不等式，得不等式的解集为下面我们再用介值定理求解不等式，并对这两种方法进展比较.解不等式的定义域为方程在内有两个根，由此可得三个小区间设取因为故原不等式的解集为这两种方法各有千秋.常规法适用于次数比较低，未知数少，过程及结果简单的不等式.而介值定理，除可以证明一般不等式，更适用于证明某些抽象的定义，定理及其一些常用不等式结论.初等数学与高等数学有机地严密结合着，以学习