状态空间模型

1、状态空间模型状态变量表达式相关概念由微分方程建立状态变量表达式状态变量表达式和传递函数的关系2.5.1状态空间模型的相关概念例：分析如图所示RLC电路，其输入电压为ur(t)，uc(t)为输出；该电路中的四个物理量i(t) 、uR(t) uL(t)、 uc(t)根据下面两式可求解i(t) 、uc(t) ，两个储能元件,只有两个独立变量。当选i(t) 、uc(t)为独立变量时，四个物理量满足下列代数关系如果已知初始条件i(0)、uc(0)以及ur(t),那么在t0后的任一时刻的解就完全被确定了。得到以下几点：系统中不是所有的物理量都相互独立；独立变量的个数与系统微分方程的阶次一样；独立变量确定后

2、，其它变量可以用独立变量代数表示。独立变量组不是唯一的。i(t) 和uc(t)或i(t) 和uL(t)或 uL(t)和uc(t)1、状态是指系统过去、现在和将来的状况。2、状态变量能完全确定系统运动状态的最少数目的一组变量。对于用n阶微分方程描述的系统，应有n个状态变量。这n个状态变量用x1(t)，x2(t)，xn(t)表示。3、状态向量将n个状态变量用x1(t)，x2(t)，xn(t)作为向量x(t)的分量所构成的向量)称为状态向量，记作 4、状态空间以n个状态变量用x1(t)，x2(t)，xn(t)为基底所构成的n维向量空间叫做状态空间。x(t)例：RLC电路选择i(t)和uc(t)为状态

3、变量， uc(t)为系统输出。原始方程为令上式化为5、状态方程将n阶微分方程化为n个状态代表的一阶微分方程组，并用矩阵和向量的形式表示，所得方程为状态方程。系统输出为uc(t),用y表示系统输出，则有6、输出方程系统输出可以写成状态的线性组合，即用状态的代数方程表示，用矩阵向量形式表示称为输出方程。7、状态空间表达式（状态空间模型）状态方程和输出方程合称状态空间表达式。完全描述其中A(t)、B(t)、C(t)和D(t) 分别是维数为nn、np、qn和qp的矩阵；A(t)称为系统矩阵，或状态矩阵，B(t)称为输入矩阵，C(t)称为输出矩阵，D(t)称为直接传递矩阵xn1维状态向量；y-q1维输出

4、向量；u-p1维输入向量对于具有q个输出, p个输入的n阶系统,线性系统状态空间表达式为:通常用A(t)、B(t)、C(t)、D(t)表示系统。当A(t)、B(t)、C(t)和D(t)均为常数矩阵时,系统为线性定常系统对于单输入单输出线性定常系统其中u、y、d均为标量，b和c均为向量。非线性系统状态方程为状态空间表达式的结构示意图选取n个状态变量为，2.5.2 由微分方程建立状态变量表达式（1）线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式 其中可以写为友矩阵绘制出状态变量之间关系的结构图例：RLC电路，uc(t)为系统输出。原始方程为消去中间变量选择结论:状态变量不唯一； 两组状态

5、变量可以互相表示。式中 是n个待定常数。由上式第一个方程可得输出方程，其余可得（n-1）个状态方程。按照下列公式选择状态变量（2）线性微分方程中含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式设n阶单输入单输出系统由微分方程 以一个三阶系统为例设系统的微分方程为按照上面提到的选择状态变量的方法可得代入原始微分方程左边令左边左边待定系数有所得的状态方程为输出方程推广到n阶系统有其中写成矩阵向量的形式为注意：bn输入项最高阶导数的系数;当bn 0时，直接传递矩阵为零。当bn=0时，原始微分方程变为状态空间表达式形为还可以按如下规则选择另一组状态变量 * 对*求导数* 原始微分方程这样得到n个状态方程输出方

6、程为状态空间表达式A阵为友矩阵的转置，c向量只有最后一列为1，其余全为零。可观测标准型例：设系统微分方程为用上述两种方法建立状态空间表达式。解：方法一，n=3,而b3=0， b2=1， b1=1， b0=3， a2=4， a1=2， a0=1， 方法二，因为b3=0， 所以可以用方法二，可直接根据微分方程的系数写出状态空间表达式。2.5.3 由传递函数建立状态空间表达式1、传递函数为有理分式的形式采样长除法得其系数为bn只与直接传递矩阵d有关，而G(s)与d无关，可以分离考虑，再叠加。可以将 分解为两部分相串联的形式z、y应满足下面的微分方程 选取状态变量为那么状态方程为与输出方程有关这是 对

7、应的状态空间表达式为而 对应的状态空间表达式为A阵为友矩阵，b向量最后一行为1，其他全为零。可控标准型，用Ac，bc表示Acbc给出一个传递函数，就可以对应的建立一个可控标准型按照微分方程求状态空间表达式的方法二选择状态变量，所不同的是系统状态变量与y1有关对系统G(s)而言，所不同的仅仅是输出方程。可观测标准型用Ao，co表示Aoco对于G(s)描述的系统可以采用下列方式选择状态变量得到可控标准型也可以采用下列方式选择状态变量得到可观测标准型可控标准型可观测标准型可控标准型与可观测标准型相关系对偶系统任意一个系统都可建立可控标准型和可观测标准型。例：设传递函数为分别建立可控标准型和可观测标准

8、型。解：b2=15， b1=， b0=， a2=， a1=，a0=1，可控标准型可观测标准型可控标准型2、传递函数为极点形式a、系统传递函数只有单实极点（没有重极点）传递函数可以通过部分分式展开成下列形式为系统传递函数的n个实数极点。如果选择状态变量为 状态空间表达式对角阵标准型如果选择状态变量为b、系统传递函数存在实数重极点假设极点1为三重极点，其它均为单实极点，即4、5、n,那么系统传递函数可表示为如果选择状态变量为重极点对应的约当块，约当标准型注意：不是所有系统都可以建立对角阵标准型和约当标准型； 全实数单极点对角阵标准型约当标准型全实数有重极点对角阵标准型和约当标准型仅对系统矩阵A而言，通常用 表示对角阵标准型的A阵；用J表示约当标准型由系统结构图，指定状态变量求状态空间表达式例：已知系统结构图及状态变量定义如图所示，求系统的状态空间表达式。解：由图可知反拉氏变换并整理，可得：2.5.4 由状态空间表达式求传递函数阵对于状态空间表达式I为nn阶单位矩阵对于单输入单输出系统，由于b为列向量，而c为行向量，所以传递函数阵实际上就是传递函数。例 状态空间表达式为求传