傅里叶变换地基本性质

1、3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、线性傅里叶变换是一种线性运算。若af (t) + bf (t) aF (沁)+ bF (加)(3-55)1212其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(j)。1 1f (t) = U (t) = - + -sgn(t)A A由式(3-55)得F(j)=C U(t)= -Q U+ -Q 4gn(t

2、)= - X 2k8()+ - X =兀8 ()+ 土2222 jj二、对称性F ( jt) 2 寸()(3-56)证明因为1f (t)=i F (jo)ejotdo2兀-82时(t) = i8 F(jo)ejotdo-82评(-t) = i8 F(jo)e-jotdo-8将上式中变量换为X，积分结果不变，即2兀f (-t) = i8 F(jx)e-jxtdx-8再将t用代之，上述关系依然成立，即2评(-o) = i8 F(jx)e-joxdx-8最后再将X用t代替，则得2酒 (-o)=卜 f(jt)e -jotdt =匚 F(jt)一3所以证毕若f (t)是一个偶函数，即f (-t)= f

3、(t)，相应有f (-O)= f (O)，则式(3-56)成为(3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互 相置换的关系，其幅度之比为常数2兀。式中的-0表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如f (t) = 8 (t) F (jo) = 1F (jt) = 1 2& ()=2航()例3-7若信号f (t)的傅里叶变换为2nA F (加=T /2|t| T /2解将F(j3)中的换成t，并考虑F (沁)为的实函数，有12兀AF (jt) = F (t) = 0该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性 、，T、f (-)=At Sa (-)A再将f

4、(f)中的-3换成t，则得f (t ) = ATf (t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。O三、折叠性则f (t)为实函数f (t朋虚函数3 58四、尺度变换性观看动画若“，、 I，、”， 一 、，f (at) F(j) (a为大于零的实常魏(3-59)a a证明因a0,由匚f (at)=广 f (at)e-jdt-s令X = at，则故=adt，代入前式，可得其(X)=8 f (X)e - jX / a d =1F (j -)证毕, 3、F (j)而 a则表示_sa a a函数f (at)表示f (t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍,F(沁)沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。

5、该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好 等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-8已知(E|t| c/4，求频谱函数F(沁)。解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性此其频谱函数E|t|T/2F0（沁）=ETSa （耳）A信号f比f0(t)的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因F （沁）=2= Et Sa（号）两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。AE_f （t）-t/4 0 t/4五、时移性若f （t）F （加）则f （t + tI F （加）e土 J%（3-60）此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f (t)平移时间10，则其频谱

6、函数的振幅并不改变，但其相位却将改变310f() = q例3-9求00 t T1 T的频谱函数F(加)。解：根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有F(沁)=E Sa(竺)e-加/2t 2六、频移性若则f (t)e土冲 I F j妇+(3-61)上(t )e 土汕J-8证明f (t)e土j30te-jgdt = J8 f (t)e-j(+0)tdt = Fj(3 + 3 )-80证毕频移性说明若信号f (t)乘以ej30，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e 土 J33，这就使频谱中的每条谱线都必须平移30，亦即整个频谱相应地搬移了30位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，

7、诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频 谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f (t)乘以所谓载频信号C0S3 0t或sin 3 tf (t)1 cos 3 t I 2F j (3+ 3 )+ Fj(3-3 )Df (t) sin 3 t I 2 F j(3+3 )- F j(3-3 )七、时域微分性若f (t) F (加)则d n f (t)z一7- ( j)n F( j)(3-62)dt n证明 因为f (t) = F (gegds 2兀_8两边对t求导数，得) =卜 jsF (j)ejstds dt2兀一;所以df (t)(j)F (jW)dt同理，可推出dnf (t) ( j

8、W ) n Fj )证毕dtn例3-10求f (t) =8 (n)(t)的频谱函数F(加)。解：因为8 (t) 1由时域微分性F (j)=(jo)n例3-11图3-22所示信号f (t)为三角形函数it 1T0klT求其频谱函数F (加)。解：将f微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为 TOC o 1-5 h z 1 c2c1 Cf (t) = _8 (t +T )8 (t) + _8 (t-T )TTT由微分性匚 f (t) = (jo) 2 f (t) =1 (ejT - 2 + e -迎)=2 Rs ot -1TT所以匚f t)= 2(cos OT -1) t sin 2

9、(ot / 2)(T /2)2T、= TSa 2(项)(1/T十方/T )-0t(-2/ T )(c)八、频域微分性若则f (t)F (jo)tnf (t) f ( j ) ndnF ( j )如n(3-63)例3-12求f (t)=们(t)的频谱函数F(加)。解：因为U (t) f 航() + j根据频域微分性tU(t) f jg 疝() + = j疝()-dj九、时域积分性f (t) f F (j)(3-64)jt f (t)dt f F (j) +兀F (0)8 ()-8j例3-13根据8 (t) f 1和积分性求f (t) = U(t)的频谱函数。解：因为8 (t) f 1U (t)

10、= jt 8 (x)dx-8根据时域积分性U (t) f + 兀8 ()j例3-14求图3-23所示信号f (t)的频谱函数F(j)。解：f对t求两次微分后，得11f (t) = 8 (t + t /2) 8 (t t /2)T1/2 e - jT/2T.2皿=j-sin()t 2由时域积分性f (t) = It f (x)dx f sln() + 兀 x 08 (s )=8ts 2Asln(竺) = Sa (竺) ts 222 sln(竺)+ nSa (0)8 (s ) =k8 (s) + Sa (ST) js 2T2js2f (t) =f (x)dx f8-t/2 0 T/2 t(b)图3

11、 - 23(1/T )T/20fT/2 t(-1/T )(c)十、频域积分性若f (t) f F (js )1 11 棚(0)8 (t) + - f (t) f I s F ( jx)dx(3-65)jtj 8例3-15已知加=半，求F(js )。解：因为sin(t)=j-e-)史 2j2 jB (-1) -8 ( +1)= j 兀 b ( +1) -6 0-1)根据频域积分性sin(t) f 1 f j兀Is(尤 +1)-8(尤一1)Lr = nu( +1)-U(一1) t j -8十一、时域卷积定理若f1(t) f F1(加)f2(t) f F2(加)f (t) * f (t) f F (

12、加)F (加)(3-66)1212证明F f (t) * f (t )= J M f (T ) f (t -T )&12_8 12e -jt =J f (t )-s 1Js f (t-t )e-jMt dT =-s 2-Js f(t )F(j)e-wdT=F(jw)f (t)e -网dT=F(jw)F(jw)证毕1221-s-s例3-16图3-24(a)所示的三角形函数f (t)= 1 Itl1 T014 T可看做为两个如图3-24(b)所示门函数Gt()卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F (jw)解：因图 3 - 24-T / 2 0 T/2 tsin(竺)G (t)*与)TT2T1f

13、(t) = Gt (t) * Gt (t)-所以F (j)=TSa 2(导)A1例3-17 一个信号f (t)的希伯特变换f &)是f (t)和哉的卷积，即解：因为sgn(t)则对称性2一2兀 sgn(一)=-2兀 sgn() jt一令一jsgn(co)nt由时域卷积定理1代t) = f。)* 一令-jsgn(co)F(jco)nt即方(加)-Jsgn(co)尸(加)十二、频域卷积定理若W)eF(jw)/ (0F() TOC o 1-5 h z 1122则f(t)f (O-J-F(jcd)*F (jco) (3-67)12271 12或f (Of (0 f F (冲F (JW)1212例3-1

14、8利用频域卷积定理求f()= E)的傅里叶变换(加)。解：因为由对称性jt 2k5 (-co) = -2k5 (co)有t c j2k8(cd)E/(r)k8 (co) +加所以根据频域卷积定理7l8(CO)+ 沁F (沁)=，2冗&(0)12n117718、(co) + 81 (co) * = jnd (cd) + 8 (co) * (), COCD1沁)=，航()-(一)CD2十三、帕塞瓦尔定理加）5以）W （网户2（网如（3-68） 00可推广F (jco)|2t/co CO 100(3-69)若成为实函数，则(3-70)00= F2(jco)tZco CO 12丸co 1若匕，九为实函

15、数，则W(w= (网尸2(网如(3-71)ooJz coI 00 %2（CD）如例3-19求f解：因s %2(co)dcD = 2So(co)2x SQ(co)d(o-004 2n _g2Sa() I G(0由帕塞瓦尔定理可得j00 Sq2(cd)Hco = G (t)G (t)dt = 7i -002 _822十四、奇偶性若 f(t) f F(jco) = F(co)ejq()= R) + jX(co),则(1)当f()为实函数时，见仃()=|W)1 = F(F(p(CD)= -(p(-CD)R(s) = R(w)X(co) = X()(3-72)若了为实偶函数，即氏)=E),则F(jcd)

16、 = F(co) = R(cd)X()=0(实偶函数)(3-73)若了为实奇函数，即K)= E),则F(j3)= jX(3)7?(co) 0(虚奇函数)(3-74)(2)当E为虚函数，即f=jx(t)时，则(3-75)F(cd) = F(-co) A(cd) = -A(-co)(p(w) = -(p(-CD)JX(CD)= X(-CD)傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质性质名称时域频域1.线性af (t) + bf (t)12aF (j)+ bF (j)2.对称性F (jt)2 荷(-o)3.折叠性f (t)F (-jo)4.尺度变换性f (at)1, o、-F (j-) aa5.时移性f (t + 10)F(jo )ejo6.频移性e 土种 f (t)F / (o o )7.时域微分5 (t) dtn(jo) nF (