2022年人教版高中数学《任意角的三角函数三角函数线》教案

1、任意角的三角函数 三角函数线教学背景： 1 教材位置分析：三角函数是中学数学的重要内容之一,而三角函数线的概念及其应用不仅表达了数形结合的数学思想,又贯穿整个三角函数的教学. 借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式,求解三角函数不等式,探究三角函数的图像和性质,可以说 ,三角函数线是争论三角函数的有利工具 .2同学现实分析：学习本节前 的定义 , 三角函数值在各象限的符号 线的查找做好了学问预备 . 教学目标：, 同学已经把握任意角三角函数 , 以及诱导公式一 , 为三角函数1学问目标 : 使同学把握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值 些简洁的三角函数问题 .,

2、并能利用三角函数线解决一2才能目标 : 通过尺规作图让同学经受概念的形成过程,提高 同学观看、发觉、类比、猜想和试验探究的才能；充分发挥同学的 自主探究性,让同学借助所学学问自己去发觉新问题,并加以解 决,提高同学抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维才能 .3情感目标：激发同学对数学争论的热忱,培育同学勇于发 现、勇于探究、勇于创新的精神；通过同学之间、师生之间的沟通 . 合作,实现共同探究、教学相长的教学情境教学重点难点：1重点：三角函数线的作法及其简洁应用 .2难点：利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来 .教学方法与教学手段：1教法

3、挑选：“ 设置问题,探究辨析,归纳应用,延长拓展” 科研式教学 .2学法指导：类比、联想,产生学问迁移；观看、试验,体验学问的形成过程；猜想、求证,达到学问的延展 .教学过程：一、设置疑问 , 试验探究（ 17 分钟）一设置疑问,点明主题l前面我们学习了角的弧度制,角 弧度数的肯定值 r,其中l是以角 作为圆心角时所对弧的长,r 是圆的半径 .特殊地 , 当 r =1 时,l ,此时的圆称为单位圆,这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的肯定值,那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今日一起要争论的问题 . 设计意图：既可以引出单位圆,又可以使同学通过类

4、比联想主动、快速的探究出三角函数值的几何形式 .（二）概念学习,分散难点有向线段：带有方向的线段 . （1）方向：按书写次序,前者为起点,后者为终点,由起点指向终点 . 如：有向线段 OM,O 为起点, M 为终点,由 O 点指向 M 点. （动态演示）2 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）肯定值等于线段的长度,如方向与坐标轴同向,取正值 ;与坐标轴反向,取负值 .如：OM= 1,ON= -1,AP = 设计意图：相关概念的学习分散了教学难点 , 使同学能够更多的环绕重点绽开探究和争论 . （三）试验探究角 的终边上任意一点 P除端点外 的坐标是（x y ）,它与原y点的距离是

5、 r, 比值 r 叫做 的正弦 .摸索: 能否用几何图形表示出角 的正弦呢 .同学联想角的弧度数与弧长的转化 , 类比推测 : 如令 r=1 ,就sin y. 取角 的终边与单位圆的交点为 P, 过点 P 作 轴的垂线,设垂足为M,就有向线段MP= ysin. 同学分析的同时 , 老师用几何画板演示 请同学利用几何画板作出垂线段MP,并转变角的终边位置 , 观看终边在各个位置的情形 , 留意有向线段的方向和正弦值正负的对应 .特殊地 , 当角的终边在 轴上时 , 有向线段 MP变成一个点 , 记数值为0.这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线 .2. 摸索: 用哪条有向线段表示角的余弦比

6、较合适 .并说明理由 .请同学推导说明 , 老师用图形演示 . 有向线段 OM叫做角 的余弦线 .y tan 3. x 如何用有向线段表示？争论焦点：如令x=1, 就tany =AT,但是其次、三象限角的终边上没有横坐标为 1 的点,如此时取=-1 的点 T,tan=-=TA, 有向线段的表示方法又不能统一.引导观看：当角的终边互为反向延长线时,它们的正切值有什么关系？统一熟悉：tan方案 1：在象限角的终边或其反向延长线上取=1 的点 T,就y =AT；tan方 案2 ： 借 助 正 弦 线 、 余 弦 线 以 及 相 似 三 角 形 知 识 得 到yMPATAT.xOMOA动画演示验证 :

7、当角 的终边落在坐标轴上时,tan 与有向线段 AT的对应 .这条与单位圆有关的有向线段 AT叫做角 的正切线 . 二、作法总结 , 变式演练（ 13 分钟）（一）作法总结正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线 .请大家总结这三种三角函数线的作法 , 并用几何画板演示 一学生描述 , 同时用电脑演示 ：第一步：作出角 的终边,与单位圆交于点 P；其次步：过点 P作 轴的垂线,设垂足为 M,得正弦线 MP、余弦线 OM；第三步：过点 A1,0 作单位圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线的交点设为 T,得角 的正切线 AT.特殊留意：三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要留意它们的方向

8、,分清起点和终点,书写次序不能颠倒 . 余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点,其中点 A为定点（ 1,0）. 设计意图：准时归纳总结,加深学问的懂得和记忆 .三、变式演练 , 提高才能 ：练习 . 利用几何画板画出以下各角的正弦线、余弦线、正切 线：（1）5（2）136 ; 6 .同学先做 , 然后投影展现一同学的作品 置和方向 . , 并强调三角函数线的位设计意图：巩固练习 , 精确把握三角函数线的作法.例 1 在单位圆中画出满意sin1的终边 .2 的角共同分析：设角的终边与单位圆交于P,x y , 就 siny,所以要作出满意sin12 的角的终边,只要在单位

9、圆上找出纵坐标1为2 的点 P,就射线 OP即为的终边 . （幻灯片动态演示）设计意图： 逆向思维 , 敏捷运用三角函数线 线求解三角函数不等式 组 作铺垫 ., 并为利用三角函数sin 1例 2 在单位圆中画出满意 2 的角 的终边的范畴,并由此写出角 的集合：1sin分析：先作出满意 2 的角的终边 例 1 已做 ,然后依据已知条件确定角 终边的范畴 . （幻灯片演示）2 k 2 k 5 , k Z答案：（ 1）6 6练习：1. 在单位圆中画出满意cos1的终边 . .2 的角2. 在单位圆中画出满意cos1的终边的范畴,并由2 的角此写出角的集合 . 3. 求函数y2sin112cos的

10、定义域 .答案：2k22 k5,kZ. 36设计意图：数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来表达了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥 了由形到数的庞大作用 . 四、思维拓展,论坛沟通观看角的终边在各位置的情形, 结合三角函数线和已学学问,你能发觉什么规律 , 得出哪些结论？引导同学进行发散式思维,自主 探究三角函数线在数学中的应用 同学得出的结论有以下几种：1 sin22 cos1；, 正2 sin + cos 1;3 -1sin1, - 1cos1, tanR;4 如两角终边互为反向延长线,就两角的正切值相等弦、

11、余弦值互为相反数 ;5 当角的终边在第一象限逆时针旋转时,正弦、正切值逐步 增大,余弦值逐步减小 ;6 当角的终边在直线yx的右下方时 , sincos; 当角的终边在直线yx 的左上方时 , sincos; 设计意图：给同学建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境 . 论坛沟通既能展现个人才华, 又能照料到各个层次的同学.来自他人的信息为自己所吸取,自己的既有学问又被他人的视点唤 起,产生新的思想 . 这样的学习过程使同学在轻松达成一个个阶段 目标之后,顺当到达数学学习的新境域 . 五、归纳小结 , 课堂延展（一）归纳小结 1. 回忆三角函数线作法 .2. 三角函数线是利用数形结合思想解

12、决有关问题的重要工具,自从闻名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系,使得 对三角函数的争论大为简化,现在仍旧是我们解三角不等式、比较大小、以及今后争论三角函数图像与性质的基础 . 设计意图：回忆三角函数线作法 , 再次加深懂得和记忆 . 点明三角函数线在其他方面的应用, 以及数形结合思想 , 便于同学在后续学习中更深化的摸索 , 更广泛的争论 . （二）巩固创新,课堂延展 巩固作业 : 习题 4.3 1,2提升练习：1. 已知：sin sin,那么以下命题成立的是（）A如、是第一象限的角,就 cos cos .B. 如、是其次象限的角,就 tan tan .C. 如、是第三象限的角,就

13、 cos cos .D. 如、是第四象限的角,就 tan tan .2求以下函数的定义域：（1） y =2cosx1; 2 y = lg34sin2x .设计意图：既能保证全体同学的巩固应用,又兼顾学有余力的同学,同时将探究的空间由课堂延长到课外 . 六、板书设计和教学反思七、作业布置：教学设计说明：1. 积极响应新课标教学理念,把课堂教给同学,提倡同学自主学习.在新课标教学理念指导下,充分发挥多媒体的优势,既丰富三角函数线的概念,又培育了同学发觉问题、解决问题的才能,提高同学的探究精神、创新意识 . 2. 不仅要让同学把握数学的基础学问 究方法 . , 更要让他们领会科学的研课堂教学最终是为了让同学摆脱课堂, 独立学习 , 所以不仅要让同学把握数学的基础学问 , 更要让他们领会科学的争论方法 . 本节课所采纳的科研式教学法表达了争论新问题的一般思路