浙江省湖州市2019学年高二上学期期中考试数学试卷

1、2019学年第一学期期中考试高二数学试卷本试题卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第I卷（选择题共40分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.2y1.设P是椭圆7=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，贝U|PF|+|PF2|等于2516B.5C.8D.102.已知向量a=（0,2,1），b=（-1,1,-2），则a与b的夹角为3.4.B.45圆G：(x2)2(y-2)2=4和圆A.外离B.相交在正方体ABCD-A1B1C1

2、D1中,C.90D.180C2：(x-2)2(y-5)2=16的位置关系是C.内切D.外切E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EFB.325.在平面直角坐标系中,点M的坐标满足方程4、xy=0”是点M在曲线y2=16x上”AB所成角的余弦值为A.12A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件26.若直线y=x与曲线y=3-、4x-x有公共点，则b的取值范围是A.口-，2,1、2B.口-、“2,3C.口-2.2,3D.-1,1,27.在平面直角坐标系中，方程1x+y1+仪y=1所表示的曲线为2丨A.三角形B.正方形C.非正方形的长方形D.非正方形的菱形22_xy8

3、.已知R,F2分别为双曲线C:2-2=1的左、右焦点，若存在过R的直线分别交双曲线abC的左、右支于A,A.3,：C.3,25B.1,25D.1,3B两点，使得.BAF2r/BFzR，则双曲线C的离心率的取值范围是第U卷(非选择题共110分)注意事项：将卷H的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2)，若|a|=6，则x=:若a/b,则x+y=.10.已知圆M:x2y24x-2y3=0，直线l过点P(-3,0)，圆M的圆心坐标是;若直线I与圆M相切，则切线在y轴上的截距是211抛物线

4、x=4y的焦点F的坐标为，若M是抛物线上一点，IMF1=4,O为TOC o 1-5 h z坐标原点，贝U.MFO二.1过点(1,3)且渐近线为y：二一x的双曲线方程是,其实轴长是.2已知圆C：x2(y-1)2=5,点A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M,若OA=OM,则直线AB的斜率是.2已知斜率为1的直线I与抛物线y=2px(p0)交于位于x轴上方的不同两点代B，记直线OA,OB的斜率分别为k|,k2，则k1k2的取值范围是.在棱长为1的正方体ABCD-AB1CQ1中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的点),且满足|pb|+|PD=2，则点P的个数为.三、解答

5、题：本大题共5小题共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本题满分14分)已知命题P:“若ac_O,则二次方程ax2bx0没有实根”，它的否命题为Q.(I)写出命题Q；(n)判断命题Q的真假，并证明你的结论17.(本题满分15分)已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(I)求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；(n)若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|-3,求向量a的坐标.18.(本题满分15分)已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x_y=0(x.0)上，直线x_y=0被圆C截得的弦长为2、.7.(I)求圆C标准方程；(n)若点Q在直

6、线h:x+y+1=0上，经过点Q直线12与圆C相切于P点，求|QP的最小值.19.(本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形,ZBAD=60,侧棱PA!底面ABCD,E、F分别是PA、PC的中点.(I)证明：PA/平面FBD;P(n)若PA=1，在棱PC上是否存在一点M使得二面角E-BD-M的大小为60.若存在，E求出PM的长,不存在请说明理由.A(第19题图)20.(本题满分15分)已知椭圆E:x2y2=1(ab0)，不经过原点O的直线abI:y=kxm(k-0)与椭圆E相交于不同的两点A、B,直线OA,AB,OB的斜率依次构成等比数列.(I)求a,b,k的

7、关系式;(n)若离心率m+m,当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值?第一学期期中考试高二数学参考答案、选择题(每小题5分，共50分)题号12345678答案DCBAACDC二、填空题(多空题6分，单空题4分,共36分)9.4,610.(-2,1);-311.(0，1)，3422TOC o 1-5 h z12y=1/3513.214.(4,Xc)15.63535三、解答题：本大题共5小题共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分14分)已知命题P:“若ac_0,则二次方程ax2bx，c=0没有实根”，它的否命题为Q.(I)写出命题Q；(n)判断命题Q的真假,并证明你的结论.

8、解：(I)命题P的否命题为：“若ac:0,则二次方程ax2bxc=0有实根”.6分(n)命题P的否命题是真命题.证明如下：ac：0,.-ac0,=：-b-4ac0,=二次方程ax2bxc二0有实根.TOC o 1-5 h z该命题是真命题.14分17(本题满分15分)已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(I)求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；(n)若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|=3，求向量a的坐标.解：(I).AB=12,-1,3,AC=1,-3,22分|AB|：14,|ACF、14,cosBAABAC1,BAC=60.6分|AB|JA

9、C|2S=|AB|AC|sinBAC=737分(n)设向量a=(x,y,z),则由aAB=0,aAC=0,|a|_3得10分一2x一y3z=0 x3y+2z=0 x=1,y=1,z=1或x=1,y=1,z=-114分222x+y+z=31k4斗a=(1,1,1)或a=(-1,一1,一1)15分18.(本题满分15分)已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x_y=0(x.0)上，直线x-y=0被圆C截得的弦长为2.7.(I)求圆C标准方程；(n)若点Q在直线h:x+y+1=0上，经过点Q直线I?与圆C相切于P点，求|QP的最小值.解：(I)因为圆心C在射线3x-y=0(x.0)上，设圆心坐标为(a,

10、3a),且TOC o 1-5 h za0,1分-2a厂圆心(a,3a)到直线xy=0的距离为d=H2a,又圆C与x轴相切，所以半径r=3a,设弦AB的中点为M,贝UAM=J7，在RtAAMC中，得C，2a)2(7)2=(3a)2,解得a=1,r2=95分故所求的圆的方程是(x-1)2(y-3)2=96分(n)在RUQPC中，|QP|=J(|QC|)2(|CP|)2=J(QC|)29,所以，当|QC|最小时，|QP|有最小值;9分所以QC丄h于Q点时，|QC|min131.15分221.(本题满分15分)如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，BAD=60，侧棱P从底面ABCD

11、,E、F分别是PAPC的中点.(I)证明：PA/平面FBD;(n)若PA=1,在棱PC上是否存在一点M使得二面角E-BD-M的大小为600.若存在求出PM的长,不存在请说明理由.解：(I)连接AC交BD于点0,连接OF，TO、F分别是ACPC的中点,FO/PA/PA不在平面FBD内,PA/平面FBD(n)解法一：(先猜后证)点M为PC的中点,即为点连接E0,/PA!平面ABCD,PA丄AC,又TABCD是菱形，AC丄BD,BD丄平面PAC贝UBD丄EO,BD丄F0,.EOF就是二面角E_BD_F的平面角11分连接EF,贝UEF/AC,.EFFO,；3EF=AC，在RtAOFE中，tan.EOF

12、2ji15分故EOF=3解法二：(向量方法探索)以O为坐标原点，如图所示，分别以射线OAQBOF为xxz轴的正半轴,P建立空间直角坐标系O-xyz，由题意可知各点坐标如下:O(0,0,0),a丄0,0I2,B0,1,0,D0,I2丿I1,0,23.31P”)E(”)I设平面EBD的法向量为m=(捲,乙)，可算得DB=(0,1,0),DE=(O由，即忑mAE=0_%=011可取m=(1,0,J3)xz=0222设平面BDM的法向量为n二化必乙),点M(xo,yo,zo)则由PM=PC得-3扎,1,1_扎)，BM=(_J3丸厂丄,1_兀),2222nDMnBM二0解得=033n=(1,0,13分由

13、已知可得cos603一3|12|3一3(一2)23一3令t二贝U有t2-3t二0,t=0或t3,3-313帀2=0或.跖二或4（舍）点M为棱PC的中点PM.15分（也可在EOM中求出EO,OM,EM利用余弦定理求解）2y222.（本题满分15分）已知椭圆E:x2亠y2=1（a.b.0），不经过原点0的直线abl:y=kx，m（k0）与椭圆E相交于不同的两点A、B,直线OA,AB,OB的斜率依次构成等比数列.（I）求a,b,k的关系式;1（n）若离心率e：且2m+丄m当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值?2解:(I)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意得k=kOAkOBy2%x22y2xy才22|22222由a2b21可得(bak)x2akmxam-y=kx亠m（联立a2y2方呈就给1分）y=kxm故也=(2a2km)24(b2十a2k2)(a2m2a2b2p0，即b2_m2a2k204分2XiX2八2a2km(b2a2k2)xia2m2_a2b2，6分X2二(b2a2k2)222%y2knx2km(Nx2)mkN