电磁场与电磁波例题详解

1、 PAGE 56第1章 矢量分析例1.1 求标量场通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。解：点M的坐标是，则该点的标量场值为。其等值面方程为 ： 或 例1.2 求矢量场的矢量线方程。解： 矢量线应满足的微分方程为 ：从而有 解之即得矢量方程，c1和c2是积分常数。例1.3 求函数在点（1，1，2）处沿方向角的方向导数。 解：由于 , , , 所以 例1.4 求函数在点处沿着点到点的方向导数。解：点到点的方向矢量为其单位矢量所求方向导数例1.5 已知，求在点和点处的梯度。解：由于 所以 ，例1.6 运用散度定理计算下列积分：S是和所围成的半球区域的外表面。解：设：则由散度定理 可得例1.7 试

2、求和:(1) (2) (3) 解： 例1.8 在球坐标中，已知，其中、为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即。解：在球坐标戏中，例1.9 在由，和围成的圆柱形区域上，对矢量验证高斯散度定理。解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算和，得到二者结果相同的结论。在柱坐标系下，有在由，和围成的圆柱形区域内取一个小体积元，可知，其中、，故 而，和围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面（面元矢量，、）、圆柱下表面（面元矢量，、）和圆柱侧表面（面元矢量，、），故有： ，即证。例1.10 现有三个矢量场、,分别为：，。哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一

3、个矢量的旋度表示？解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。故先分别求出矢量的散度和旋度：故可以由一个标量函数的梯度表示，可以由一个矢量的旋度表示。 第2章 静电场与恒定电场例2.1 已知半径为a的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布。解：由高斯定理的微分形式， 得电荷密度为 用球坐标中的散度公式可得：例2.2 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是，求极化电荷分布。解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。 极化电荷体密度为 极化电荷面密度为 例2.3 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的

4、同心介质球壳， 壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的以及束缚电荷密度。 图 2.1解：由介质中的高斯定律可知，在区域内：，故 由本构方程得：介质内(arb)： 介质外(b0时。但场点位于zl处的电场为证明：用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有当rl时,将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出图2.5例2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷位于原点，另一个电荷位于处，求电位为零的等位面方程。解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为其中， 等位面方程简化为即此方程可以改写为这是球心在,半径为的球面。例2.12 如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度

5、为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。图2.6解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为。在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向，极化强度在z方向，故在顶面，外法向为，故在底面，外法向为，故例2.13 假设x0的区域为电解质，电解质的介电常数为，如果空气中的电场强度（V/m），求电介质中的电场强度。解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量，可以得出介质中电场强度的切向分量；对于法向分量，用，即 ，并注意，得出。将所得到的切向分量相叠加，得介质

6、中的电场为例2.14 一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为，假设导体球带电q，求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由得出电场为： 在介质中（arb）。电位为 （arb)例2.15 真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且da,试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得， 让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q，则 ， 由 化简得例2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为a,b

7、，其间媒质的电导率为，当外加电压为时，计算功率损耗并求电阻。解：设内,外极板之间的总电流为，由对称性，可以得到极板间的电流密度为 =从而 =，单位体积内功率损耗为 =总功率耗损为 P=由P=，得 R=例2.17 一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为,则任意点的电流密度为 ，导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点） =接地电阻为 =例2.18 如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为和，介电常数分别为和，电导率分别为和

8、，当外加电压U时，求分界面上的自由电荷面密度。解：设电容器极板之间的电流密度为J，则 于是 即 分界面上的自由面电荷密度为 图2.7例2.19 在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。(1)沿曲线；(2)沿连接该两点的直线。解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径C上进行线积分，即。但注意到题目给出的场强为静电场的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算。方法一：，此电场为静电场，电场

9、力所做的功与电荷移动路径无关。由可得，电位，其中C为常数。点到点之间的电位差故无论是沿曲线还是沿连接该两点的直线，电场力移动电荷所做的功。方法二：电场力，点移到点变化的只是x和y，故有，(1)曲线C： 有 (2)曲线C：，即，有例2.20 球形电容器内外导体球半径分别为a和b，如果保持内外导体间电位差U不变，试证明当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小，并求此最小电场强度。解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系。由于内

10、外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上均匀分布有总量为Q的电荷，因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系，内导体球面为，外导体球面为。在的区间包围原点做一个半径为的闭合球面S，由于电荷和电场的分布满足球对称，在S上应用高斯定理，有设外导体电位为0，则内导体电位为U，将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为：故可反解出，在内导体球表面，有，即，时有的最值。又时，；时，；故时有最小值。当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小。此最小值为。例2.21 电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分布为：验证球表面的边界条件，并计算球表面的

11、束缚电荷密度。解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向，切向则为和方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面上；也可以直接根据电位的边界条件，在的分界面上，得到的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据来计算。1）验证边界条件：方法一：直接利用电位的边界条件，有：时，边界条件成立。方法二： 分界面上，边界条件成立。2）计算球表面的束缚电荷密度： 由上面可得 例2.22 有一半径为a，带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为和，分界面可视为无限大的平面，求：(1)球

12、的电容量；(2)储存的总静电能。解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由求出，其中为导体球所带电荷量，即；为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。图2.8由图2.8所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和电场分布具有球对称特性。在处做同心的高斯闭合球面，有在和的介质分界面上，有，即，故有 ，(1) (2)（注：也可计算为： ）第4章 恒定磁场例4.1 半径为a、高为L的磁化介质柱，如图4.1所示，磁化强度为(为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化

13、电流和磁化面电流。 图4.1解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，磁化电流为在界面z=0上， 在界面z=L上， 在界面r=a上， 例4.2 内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流，求柱内、外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当ra时，磁场为0。当arb时，选取安培回路为半径等于r 且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为 =由，得=当r时， 磁感应强度如下：时， ； 时，为了计算磁化电流，要求磁化强度：时，

14、时， ， 在的界面上计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即这里的和分别是从磁介质到真空中的单位法向。如果设从介质1到介质2的单位法向是，则有代入界面两侧的磁化强度，并注意，得例4.7 空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a，外导体的半径为b，通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。解： 设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。时， ； 时， 单位长度的磁场能量为=+=+故得单位长度的自感为 =+，其中的第一项是内导体的内自感。例4.8

15、 一个长直导线和一个圆环（半径为）在同一平面内，圆心与导线的距离是，证明它们之间互感为。证明：设直导线位于z轴上，由其产生的磁场其中各量的含义如图4.4所示。磁通量为上式先对积分，并用公式 得 所以互感为 图4.4例4.9 一根通有电流I的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中。(1)求出，及磁化电流分布；(2)若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在的半无穷空间中充满导磁率为的均匀介质，在的半无穷空间为真空，求出，及磁化电流分布；(3)若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在的半无穷空间中充满导磁率为的均匀介质，在的半无穷空间为真空，求出，及磁化电流分布。解：(1)由安培环路定律

16、，以导线为中心做闭合积分曲线，有：，即故：，。(2)如图4.5(a)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：，即，则有：，；，。(3)如图4.5(b)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：对于分界面，处为法向，根据边界条件，有，即：，代入安培环路定律，有，解得，：，；：，。 图4.5(a) 图4.5(b)例4.10 半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流I。如图4.6所示，取图中处为参考点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。图4.6解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆，因此磁标位就应该是r方向的射线，所以应该与r

17、和z无关，拉普拉斯方程应该是：解出来代入已知条件为参考点，有再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路，起点A和终点B在的两侧，由于，比照静电场中电场强度和电位之间的关系，有，则这样始终有两个未知量不能确定。于是又考虑和是同一点，那么参考点也可以看作是，代入中，时，故，这就只有一个未知量了。再做参考积分回路，则解得，故例4.11 一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙，长度，铁心内半径，横截面边长，相对磁导率。铁心上均有紧密绕有线圈1000匝，如图4.6所示。忽略气隙附近的漏磁通，求此线圈的自感。图4.6解：由于，忽略气隙附近的漏磁通，根据磁通连续性方程，可视将磁感应线只在磁环内流动，且垂直

18、磁环截面，磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。设磁环上磁感应强度为，磁场强度为；气隙中磁感应强度为，磁场强度为，由安培环路定律有：，其中对于空气与铁心的分界面，为法向，根据边界条件，有，可得，故有，解得通过铁心截面的磁通量 线圈的自感代入数据，得 第5章 时变电磁场例5.1 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。解： 将代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有 由于：所以：，例5.2 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为，试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。解：假设t=0 时，由边界条件以及的方向可得 例5.

19、3 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。图5.1解：如图5.1，一段长度为的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有：在导线表面因此，导线表面的坡印廷矢量 它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有例5.4 在两导体平板（和）之间的空气中传播的电磁波，其电场强度矢量，其中为常数。试求：磁场强度矢量；两导体表面上的面电流密度。解:由麦克斯韦方程组得，对上式积分得，即。导体表面上得电流存在于两导体相向的一面，故面上，法线，面电流密度；面上，法线，面电流密度。例5.5 一段由理想导体构成的

20、同轴线，内导体半径为，外导体半径为，长度为，同轴线两端用理想导体板短路。已知在区域内的电磁场为确定之间的关系。确定。求及面上的。解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。（1）之间的关系。因为所以 （2）因为 所以 ，（3）因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为 ，在的导体面上，法线，所以 在的导体面上，法线，所以 例5.6 已知真空中电场强度，式中。试求：磁场强度和坡印廷矢量的瞬时值。对于给定的z值（例如z0），试确定随时间变化的轨迹。磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值。 解：（1）由麦克斯韦方程可得 对上式积分，得磁场强度瞬时值为 故坡印廷矢量的瞬时值 （2）因为的

21、模和幅角分别为， 所以，随时间变化的轨迹是圆。（3）磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为 例5.7 试将麦克斯韦方程组写成8个标量方程。解：已知麦克斯韦方程组的积分形式为：微分形式为：又因为直角坐标系中 ，柱坐标系中，球坐标系中，(1) 直角坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为：，麦克斯韦的微分方程可写为：， ， (2)柱坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为：，麦克斯韦的微分方程可写为：， ， (3)球坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为：，麦克斯韦的微分方程可写为：， ，例5.8 已知在空气中，求和。解：由于电场强度应满足空气中的波动方程由于，有 且代入中，有解得又由麦克斯韦方

22、程有 ，例 5.9 设电场强度和磁场强度分别为和，证明其坡印廷矢量的平均值为：证明： ，由坡印廷定理有例5.10 在和的均匀区域中，有，如果波长为，求和。解：介质中相速度 由题可知，由麦克斯韦方程有 故有 ，第6章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播例6.1 电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为试求：工作频率。磁场强度矢量的复数表达式。坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。解：（1）由题意可得 所以工作频率 （2）磁场强度矢量的复数表达式为 其中波阻抗。（3）坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。电磁波的瞬时值为 （V/m） （A/m）所以，坡印廷矢量的瞬时值 (W/)同理可得坡印廷矢量的时间平

23、均值 (W/)例6.2 理想介质中，有一均匀平面电场波沿z方向传播，。当时，在处，电场强度的振幅，介质的。求当时，在z62(m)处的电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量。解：根据题意，设均匀平面电场为 式中， 所以 （）当，z62m时，电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量为 () ()例6.3 已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为试求：（1）波长、转播方向单位矢量及转播方向与z轴的夹角（2）常数A（3）电场强度复矢量。解：（1）波长、转播方向与z轴的夹角分别为， ，（2）解得。（3）电场强度矢量例6.4 设无界理想媒质，有电场强度复矢量：(1) 是否满足。（2）由求磁场强度复矢量，

24、并说明是否表示电磁波。解：采用直角坐标系。(1) 考虑到同理，可得 (2) 根据题意可知，波阵面均为均匀平面，传播介质为理想媒质，故有所以，所形成的场在空间均无能量传播，即均不能表示电磁波。例6.5 假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为（1）电场强度的振幅、波矢量和波长。（2）电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。解：（1）依题意知，电场强度的振幅 而 ， 故波长 所以波矢量 （2）电场强度的瞬时表达式为磁场强度矢量的瞬时表达式为其中 例6.6 为了抑制无线电干扰室内电子设备，通常采用厚度为5个趋肤深度的一层铜皮（）包裹该室。若要求屏蔽的频率是10kHz100MHz，铜皮的厚度应是多

25、少。解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽10kHz时所对应的厚度。因为趋肤深度所以，铜皮的最小厚度。例6.7 如果要求电子仪器的铝外壳（）至少为5个趋肤深度，为防止20kHz200MHz的无线电干扰，铝外壳应取多厚。解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽20kHz时所对应的厚度。 因为铝壳为5个趋肤深度，故铝壳的厚度应为例6.8 已知平面波的电场强度试确定其传播方向和极化状态，并判断它是否为横电磁波。解：传播方向上的单位矢量，即E的所有分量均与其传播方向垂直，所以此波为横电磁波。显然均与垂直。又因为上式中两个分量的振幅并不相等，所以此电磁波

26、为右旋椭圆极化波。例6.9 假设真空中一平面电磁波的波矢量，其电场强度的振幅，极化于z轴方向。试求：电场强度的瞬时表达式。对应的磁场强度矢量。解：电场强度的瞬时表达式为 其中 （2）对应的磁场强度矢量为 例6.10 真空中一平面电磁波的电场强度矢量为 此电磁波是何种极化？旋向如何？写出对应的磁场强度矢量。 解：此电磁波的x分量的相位滞后于y分量的相位，且两分量的振幅相等，故此波为左旋圆极化波。其对应的磁场强度矢量为例6.11 证明任意方向极化的线极化波可以分解为振幅相同的左旋极化波和右旋极化波的迭加。证明：设线极化波的传播方向为，取电场强度的方向平行于轴，有其中为左旋极化波，为右旋极化波，二者

27、振幅相等。例6.12 已知在自由空间中传播的电磁波电场强度为，试问：(1)该波是不是均匀平面波？(2)试求波的频率、波长和相速；(3)试求磁场强度的表达式；(4)指出波的传播方向。解：要判断电磁波是不是均匀平面波，首先需要确定该电磁波的波阵面，如果垂直于波传播方向的波阵面为平面，则波为平面波；若平面波的电磁场在波阵面上的分布不随坐标变化，则波为均匀平面波。(1)由给出的电场强度可知，电磁波的转播空间为直角坐标系，电磁波的等相位面（波阵面）为，随着时间的增加，等相位面向方向传播，波阵面为XOY平面，在XOY平面上，且，故此电磁波为均匀平面电磁波。(2)自由空间即指无源的真空区域，真空中的光速，故

28、此电磁波的相速度；由可知，波的角频率，波数，故有：频率，波长。第8章 导行电磁波例8.1 什么叫截止波长？为什么只要的波才能在波导中传输？解：导行波系统中，对于不同频率的电磁波有两种工作状态传输与截止。介于传输与截止之间的临界状态，即由所确定的状态，该状态所确定的频率称为截止频率，该频率所对应的波长称为截止波长。由于只有在时才能存在导行波，则由可知，此时应有 即 所以，只有或的电磁波才能在波导中传输。例8.2 何谓工作波长，截止波长和波导波长？它们有何区别和联系？解：工作波长就是TEM波的相波长。它由频率和光速所确定，即 式中，C为光速，称为自由空间的工作波长，且。截止波长是由截止频率所确定的

29、波长，且 波导波长是理想导波系统中的相波长，即导波系统内电磁波的相位改变所经过的距离。波导波长与的关系为 例8.3 何谓相速和群速？为什么空气填充波导中波的相速大于光速，群速小于光速？解：相速是电磁波等相位点移动的速度。群速是包络波上某一恒定相位点移动的速度。根据平面波斜入射理论，波导内的导行波可以被看成平面波向理想金属表面斜入射得到的，如图8.1所示。从图中可以看出，由于理想导体边界的作用，平面波从等相位面D上的A点到等相位面B上的M点和F点所走过的距离是不同的，。但在相同的时间内，相位改变量相同。这必要求沿即Z轴方向的导行波的相速比沿方向的平面波的相速大。对于空气媒质，则有。MCBADEF图8.1从图中还可以看出，平面波从A传到M点，但其能量只是从A传到E点，显然，故能量传播的速度。对于空气媒质，根据相对论，任何物质的运动速度都不能超过光速，所以，群速这一体现电磁波物质特性，表征电磁波能量传播快慢的物理量的确小于光速。例8.4 何谓波导的色散特性？波导为什么存在色散特性？解：波导中波的相速和群速都是频率（活波长）的函数。这种相速随频率的变化而改变的特性称为波的色散特性。因此，波导中传输的导行波属于色散型波。波导中电磁波产生色散的原因是由波导系统本身的特性所导致的，即波导传输结构特定的边界条件使得波导内只能传输这