二次函数常用公式、结论及训练

1、第 页共16页第 页共16页竺婴初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、常用公式或结论（1）横线段的长=x-x=x-x=横标之差的绝对值（用于情况不明）。大小右左纵线段的长=y-y=y-y=纵标之差的绝对值（用于情况不明）。大小上下（2）点轴距离：点P（X0,y0）到X轴的距离为y到Y轴的距离为|xo|。（3）两点间的距离公式：若A（x1,y1），B（xy贝UAB二J（xx）2+（yy）21122N1212（4）点到直线的距离：点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0（其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算）的距离为：d，血+B0+CI7A2+B2（5）中点坐标公式：若A）,Bg

2、j），则线段AB的中点坐标为（号26）直线的斜率公式：若A（xi，yi）,B（x2，y2）匡齐），则直线AB的斜率为:yy=12,ABxx12（沁）7）两直线平行的结论：已知直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2若也，则k=k2；若k1=k2，且b2，则中2。（8）两直线垂直的结论：已知直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2若11丄12，则kl.k2=-1;若kl.k2=-1，贝1丄12（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）截得的弦长公式是:AB=1,

3、k2x一x=1,k2（x,x）2一4xx证明如下：设直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）交于A（xy1）,B（x2,y2）两点,由两点间的距离公式可得：AB=（x）2,（y歹2）2,因为A（X,y1）,B（x2,y2）两点是直线y=kx+n与抛物线抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）的交点，所以A(xpy1),B(x2,y2)两点也在直线y=kx+n上,yi=kx1+n,y2=kx2+n,*.y1-y2=(kx1+n)(kx2+n)=kx1-kx2=k(x1-x2),AB=(x一x)2+k2(x一x)2=(1+k2)(x一x)2=121212=1,k2

4、(x,x)2一4xx1212而X,x2显然是直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）组成方程组后，消去y（用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x1+x2,x1x2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。（10）由特殊数据得到或联想的结论：已知点的坐标或线段的长度中若含有2、3等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若K=3，则直线-3与X轴的夹角为300；若K=1；

5、则直线与X轴的夹角为450；若K=3，则直线与X轴的夹角为600教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。二、基本公式或结论训练破解函数难题的基石横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度二x-x】。大小TOC o 1-5 h z若A(2,0),B(10,0),则AB二。若A(-2,0),B(-4,0),则AB二。若M(-3,0)，N(10,0)，则MN二。若0(0,0)，A(6,0)，则0A二。若O(0,0)，A(-4,0)，则OA二。若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端，则OA二_。若O(0,0),A(t,0)

6、,且A在O的左端，则OA二。TOC o 1-5 h z若A(-2t,6),B(31,6),且A在B的右端，则AB二。若A(4t,m),B(l-2t,m)，且B在A的左端，则AB二。若P(2m+3,a),M(l-m,a),且P在M的右端，则PM二。注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。纵线段的长度计算：【特点：两端点的X标相等，长度二y-y】。大小TOC o 1-5 h z若A(0,5)，B(0,7)，则AB二。若A(0，-4)，B(0，-8),则AB二。若A(0,2)，B(0，-6)，则AB二。若A(0,0)，B(0，-9),则AB二。若A(0,0)，B(

7、0,-6)，则AB二。若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA二。若O(0,0)，A(0，t),且A在O的下端，则OA二。若A(6，-4t),B(6,31),且A在B的上端，则AB二。若M(m,l-2t),N(m,3-41),且M在N的下端，则MN二。若P(t,3n+2),M(t,l-2n),且P在M的上端，则PM二。注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。点轴距离：一个点(x，y)到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值(即y)，到y轴TOC o 1-5 h z标标标的距离等于该点的x标的绝对值(即x)。标点(-4,-3)到x轴的距离为，到y轴的距

8、离为。若点A(1-21,122t-3)在第一象限，则点A到x轴的距离为_，到y轴的距离为。若点M(t,124t3)在第二象限，则点M到X轴的距离为_;到丫轴的距离为_。若点A(-1,21-1)在第三象限，则点A到x轴的距离为到y轴的距离为。若点N(1，-12+21-3)点在第四象限，则点N到x轴的距离为到y轴的距离为。若点P(1,12+21-3)在x轴上方，则点P到x轴的距离为。若点Q(t,t2-21-6)在x轴下方，则点Q到x轴的距离为TOC o 1-5 h z若点D(t,t2+4t-5)在丫轴左侧，则点D到y轴的距离为。若点E(n,2n+6)在y轴的右侧，则点E到y轴的距离为。若动点P(t

9、,t2-21+3)在x轴上方，且在y轴的左侧，则点P到x轴的距离为，到y轴的距离为。若动点P(t，t2-21+3)在x轴上方，且在y轴的右侧，则点P到x轴的距离为，到y轴的距离为。若动点P(t，t2-21+3)在x轴下方，且在y轴的左侧，则点Px轴的距离为，到y轴的距离为。若动点P(t，t2-21+3)在x轴下方，且在y轴的右侧，则点P到x轴的距离为，到y轴的距离为。注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域(例如：动点P在抛物线y=X2-2x+3上位于x轴下方，y轴右侧的图象上运动)，以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及

10、点轴距离是等于相应x(或)的相反数，标标还是其本身。中点坐标的计算：若【A(x,y),B(x,y)，则线段AB的中点坐标为(兀+xy+y)】112212,1222TOC o 1-5 h z若A(4,3),B(6,7),则AB中点为。若M(0,-6),N(6,-4),则MN的中点坐标为。若P(1,-3),Q(1,),则PQ的中点坐标为。232若A(l,2),B(-3,4),且B为AM的中点，则M点的坐标为。若A(-1,3),B(0,2),且A为BP中点，则P点坐标为。点P(5,0)关于直线x=2的对称点的坐标为。点P(6,0)关于直线x=l的对称点的坐标为。点P(6,2)关于直线x=3的对称点的

11、坐标为。点Q(4,3)关于直线x=3的对称点的坐标为。点皿(一4,2)关于直线x=2的对称点的坐标为。点P(4,3)关于直线x=1的对称点的坐标为。第 页共16页2第 页共16页点皿(一4,2)关于直线y=1的对称点的坐标为。点丁(4,3)关于直线y=1的对称点的坐标为。点0(0,3)关于x轴的对称点的坐标为。点“(4,0)关于y轴的对称点的坐标为。由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个k值之积为-1.】某直线与直线y=2x+3平行，且过点(1,-1),求此直线的解析式。某直线与直线y二1x+1平行，且过点(2，3)，求此直线的解析式。2某直线与直线

12、y二2x5平行，且过点(-3，0)，求此直线的解析式。3某直线与y轴交于点P(0,3)，且与直线y二1x1平行,求此直线的解2析式。某直线与x轴交于点P(-2,0)，且与直线y二1x+4平行，求此直线的解析式。某直线与直线y=2x-l垂直，且过点(2,1),求此直线的解析式。某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点(3,2),求此直线的解析式。某直线与直线y二2x1垂直，且过点(2,-1)，求此直线的解析式。3某直线与直线y二_1x_4垂直，且过点(1,-2)，求此直线的解析式。2某直线与x轴交于点P(-4,0),且与直线y二_2x5垂直，求此直线3的解析式。两点间的距离公式：若A(x,y),B

13、(x,y),则AB=(X1_x2)2+(yi_y2)211221212TOC o 1-5 h z若A(-2,0),B(0,3),则AB=。若P(-2,3),Q(1,-1),则PQ二。若M(0,2),N(-2,5),则MN二。若P(1,o),Q(0,3),则PQ=若A(2，-3),B(-1,2),则AB=311(6)若P(4,2)，B(_4，_i)，则PB=311(7)若卩(4,2),B(盲1，则PB=21(8)若P(-4,4),M(-2，1),则PM=则AB=222(9)若A(5,3),B(5，422若A(-3，1),B(2，-2)，则AB=。若A(2,0),B(3,0),则AB=。若P(0,

14、-4),Q(0,-2),则PQ二若P(3,0),Q(4,0),则PQ二。若P(1,-4),Q(2,0),则PQ二（七）直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值】可由两个点的坐标直接求得:若A（x1,y1），B化）（哲几），则直线AB的斜率为AByy129xx12（xd）第 #页共16页2第 #页共16页例题：若A(2，-3)，B(-1,4)，则k=AB解：.A(2，-3)，B(-1,4)，.k=(3)4AB2(1)第 #页共16页2第 #页共16页第 页共16页2第 #页共16页若A(0，2)，B(3，0)，则kAB=TOC o 1-5 h z若A(1，-2)，B(-3

15、，1)，则kAB=。若M(-3，1)，N(-2,4)，则kMN=。若P(1，-4)，Q(-1，2)，则kpQ=。若C(-1，1)，Q(-2，-3)，则kcQ=若已(3,-I),F(-3,-2)，则kEF=若M(-5,-3),Q(-l,-2),则kMQ=若P(-3,4),Q(-1,4),则kpQ=八）点到直线的距离公式：点P（x,y）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）00的距离公式为：d=AxoBo+CA2+B2；运用该公式时,要先把一次函数y=kx+b化第 #页共16页2第 #页共16页第 页共16页2第 #页共16页为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写x

16、项，再写y项，最后写常数项,等号右边必须是0）。12例题：求点P（2,-3）到直线y=2x一3的距离。12解：先把直线y=2x3化为一般式3x-6y-4=0所以|3x26x(3)4_45、(-6)23的值就是把点（x，y0）对应代入代数式Ax+By+C中。（1）求点P（-2,1）到直线y=x+2的距离。求点Q(1,-4)到直线y=2x-l的距离.求点A(1,2)到直线y=2x1的距离.求点M(0,-3)到直线y=3x1的距离.求点P(-2,0)到直线y=2X4的距离.求点K(3,-2)到直线y=13x的距离.求点P(-3,-1)到直线y=2X3的距离.(8)求点P(-2,-1)到直线y=1X,

17、2的距离.(9)求点Q(-2，-3)到直线y=4x一2的距离.求点P-号)到直线y=x-的距离.424求点N(-2,-3)到直线y=2x,3的距离.求点D(-2,3)到直线y=1x1的距离.5423求点E(-3,-2)到直线y=31x的距离.5324九)一个点关于一条斜直线的对称点：求点A(-2,3)关于直线y=x-2的对称点坐标。求点B(3，-1,)关于直线y=2x-5的对称点坐标.求点Q(3，2,)关于直线y=-3x+5的对称点坐标。求点N(1,-2,)关于直线y二2x-3的对称点坐标。12求点D(2厂3)关于直线y=-2x+l的对称点坐标。D_3_1求点E(3,2)关于直线y二4x2的对称点坐标。十)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长：求直线y=x+2与抛物线y=X22x3截得的长。求直线y=-x+3与抛物线y=2X23x1截得的弦长。求直线y=2x-1与抛物线y=3X22x4截得的弦长。求直线y二x+1与双曲线y=2/x截得的弦长。求直线y=-2x-3与双曲线y=3/x截得的弦长。求直线y二-x+3与双曲线y=l/x截得的弦长。求直线y=3x-5与双曲线y=l/x截得的弦长。(十一)求下列二次函数的最值(运用配方法，公公法，公代法三种方法求解)第 #页共16页2第 #页共16页第 #页共16页2第 #页共16页1)y=2x2-3x-1