几何模型之二图形中的最短距离定值及不等式问题

1、学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富 课 题几何模型之二：图形中的最短距离、定值及不等式问题教学内容知识框架在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。 运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。【例题精讲】 最短路径和几何不等式问题：考查知识点-：“两

2、点之间线段最短”，“两边之和大于第三边”，“斜边大于直角边”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型-“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。最短路径和几何不等式问题的两种基本模型-： 、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最

3、大值”时，大都应用这一模型。 解题总思路-找点关于线的对称点实现“折”转“直”，较难的会出现“三折线”转“直”等变式问题考查。二最短距离中的数形结合：例：求代数式的最小值.三立体几何中的最短路径问题：（1）台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？（2）圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油

4、罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？ABABc变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。（3）正方体问题 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） （C）2 （D）1（4）长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点

5、C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示， 路线1即为所求。长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）ABECBD图1模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；OABC图2P（2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；（3）如图3，是内一点，OABPRQ图3分别是

6、上的动点，求周长的最小值问题探究（1）如图 = 1 * GB3 ，四边形是正方形， ，为边的中点，为上的一个动点，求的最小值；（2）如图 = 2 * GB3 ，若四边形是菱形， ，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；问题解决（3）如图 = 3 * GB3 ，若四边形是矩形， ，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；ADBCADBCEP第25题图ACDB图 = 1 * GB3 图 = 2 * GB3 图 = 3 * GB3 25、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站

7、直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图

8、，并求其最小值。北东D30ABCMOEF图乙村综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？D30ABCMOEF图乙村25（本题满分12分）问题探究（1）请在图的正方形内，画出使的一个点，并说明理由（2）请在图的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由问题解决（3）如图，现在一块矩形钢板工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且请你在图中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）DCBADCBADCBA（第25题图）1、（2009年达州）在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）

9、.ADEPBC2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、3（动点，作A关于BC的对称点A，连AD交BC于P，涉及勾股定理，相似）4、（07南通）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上关于y轴对称的抛物线yax2bxc经过A、D(3，2)、P三点，且点P

10、关于直线AC的对称点在x轴上(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线yax2bxc的解析式及点P的坐标；ABO(第4题图)DxyABO(第28题图)Dxy(3)设M是y轴上的一个动点，求PMCM的取值范围yOxPDB5、（09年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点

11、的坐标 6、（09湖北荆门）一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式； 第6题（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标7、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxyBOACxyBO8

12、、（2009年衢州市）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由(2)图)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB(2)图)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A

13、4x22A8-2O-2-4y6BCD-449、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）10、（200

14、9恩施市）BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修

15、建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值11、(09陕西) 如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_12、（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则的值等于_；四边形为（ ）A平行四边形 B矩形C菱形 D正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；（3）如图3，若：，经过变换后，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值几何定值问题：

16、【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过P作PEAB于E，PFAC于F，则PE+PF= 。方法1：特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3：等面积法：连接AP，总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB 的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角

17、形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，过P作PEAB于E，PFAC于F，则PE+PF还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么?【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点， P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？为什么？过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为

18、什么？ 图1 图2 图3 图1 图2 图3过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。【问题2】已知：已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作M的切线，两条切线相交于点C.求证：ACB有定值，并求出这个定值.分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答： 此题中的不变量是弧AB，因此AMB也是不变量；不变关系是相切。问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法1：问：要证ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证ACB有定值，只需证CA

19、B+CBA是定值，只需证MAB+MBA是定值，只要AMB是定值即可。证明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的内心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB18060.ACB有定值60.方法2：问：要证ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证ACB有定值，只需证EMF是定值，只需证EMD+FMD是定值，只要AMD+BMD即AMB是定值即可。证明：在四边形CEMF中，C+EMF=180，M是ABC的内心，DMA=EMA, FMB=DMBEMD+FMD=2AMB =240EMF=120 C =180-EMF=

20、60总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径?点P是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r?问:PA2PB2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。点P放在直径AB上.得PA2PB2（Rr）2（. Rr）22（R2r2）.点P放在与直径AB垂直

21、的另一条直径上也可得PA2PB2 R2r2R2r22（R2r2）.说明PA2PB2非常有可能是定值，而且这个值为2（R2r2）证明：（直角三角形计算法）PA2PB2HA2PH2+PH2HB22PH2(OH+R)2+(R-OH)22PH22OH2+2R2=2(PH2OH2) +2R2=2r22R2解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明.特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动类型：（1）点动

22、 （2）线动 （3）旋转、平移 （4）形变解题思路：不要被动、变迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。典型例题：定量问题：定积：例1如图，若四边形RBCS是等腰梯形，=60，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为 ；问题一的变式2与右图中等式有何关系？例2 如图，已知菱形ABCD外切于O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线。求证：AMCN为定值。2、定比：例1 如图，两圆相交于点A、B，过点B引割线分别交两圆于C、D，连结AC、AD。求证：AC：AD为定值。变式练习 如图，O的半径为，Q为O外一点，QA、QB切O于A、B，P为直线上任一点，且P在O的外部，QSOP于S，则OPOS= 。例2 设是等边三角形，P是内任意一点，作三角形三边的垂线PD、PE、PF，点D、E、F是垂足。试证不管P在哪里，总有=。3、定平方和：例 如图，O的半径为R，AB、CD是O的任意两条弦且ABCD于M。求证：+为定值。变式练习 如图，内接于O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设O的半径为R。求证：（1）+是定值。（2）+是定值。4、定倒数和：例 如图，过O内