高中数学必修5配北师版-课后习题Word版-第一章　数列§3　3.2　等比数列的前n项和

1、3.2等比数列的前n项和A组1.已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn.若q=2,S2=6,则S3=()A.8B.12C.14D.16解析由题意S2=a1+2a1=6,所以a1=2,所以a3=222=8,S3=S2+a3=6+8=14.故选C.答案C2.设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()A.3B.4C.5D.6解析由题意知,3S3=a4-2,3S2=a3-2,两式相减,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,则q=a4a3=4.答案B3.若数列an的前n项和Sn=an-1(aR,且a0),则此数列是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列

2、或等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析当n=1时,a1=S1=a-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).当a-1=0,即a=1时,该数列为等差数列,当a1时,该数列为等比数列.答案C4.公比q-1的等比数列的前3项,前6项,前9项的和分别为S3,S6,S9,则下面等式成立的是()A.S3+S6=S9B.S62=S3S9C.S3+S6-S9=S62D.S32+S62=S3(S6+S9)解析由题意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.(S6-S3)2=S3(S9-S6),整理得S32+S62=S3(S6+S9).答案

3、D5.设Sn是等比数列an的前n项和,若S3=4,a4+a5+a6=6,则S9S6=()A.32B.1910C.53D.196解析S3=4,a4+a5+a6=6,S6=4+6=10.an为等比数列,且显然Sn0,S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,(S6-S3)2=S3(S9-S6),即(10-4)2=4(S9-10),解得S9=19,S9S6=1910.故选B.答案B6.设等比数列an的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=.解析设等比数列an的公比为q,很明显q1,则1-q61-q=41-q31-q,解得q3=3,所以a4=a1q3=3.答案37.已知lg x+lg x2+

4、lg x10=110,则lg x+lg2x+lg10 x=.答案2 0468.已知在等比数列an中,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+anan+1=.解析设数列an的公比为q,由a2=2,a5=a2q3=14,得q=12,a1=a2q=4.anan+1an-1an=an+1an-1=an-1q2an-1=q2=14为常数(n2),数列anan+1是以a1a2=42=8为首项,以14为公比的等比数列,a1a2+a2a3+anan+1=81-14n1-14=323(1-4-n).答案323(1-4-n)9.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5

5、.(1)求an的通项公式;(2)求b1+b3+b5+b2n-1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10,解得d=2,所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9,解得q2=3,所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3n-12.10.设Sn为数列an的前n项和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n2且nN+).(1)证明:an+1为等比数列;(2)求an的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列.(1)证明a3=7,a3=3a2-2,

6、a2=3,an=2an-1+1,a1=1,an+1an-1+1=2an-1+2an-1+1=2(n2,且nN+),an+1是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知,an+1=2n,an=2n-1,Sn=2-2n+11-2-n=2n+1-n-2,n+Sn-2an=n+2n+1-n-2-2(2n-1)=0,n+Sn=2an,即n,an,Sn成等差数列.B组1.已知等比数列an的前n项和为Sn,则下列一定成立的是()A.若a30,则a2 0210,则a2 0200,则S2 0210D.若a40,则S2 0200解析若a30,则a3=a1q20,因此a10,当公比q0时,任意nN+,an0,

7、故有S2 0210,当公比q0时,q2 0210,故答案为C.答案C2.已知数列an的通项公式an=log(n+1)(n+2)(nN+),我们把使a1a2a3an为整数的n叫作优数,则在(0,2 021)内所有优数的和为()A.1 024B.2 012C.2 026D.2 036解析由题意,因为an=log(n+1)(n+2)(nN+),所以a1a2a3an=log23log34logn+1(n+2)=lg3lg2lg4lg3lg(n+2)lg(n+1)=lg(n+2)lg2=log2(n+2).若要使得log2(n+2)为整数,则n+2=2k,即n=2k-2,kN+,所以在(0,2 021内

8、所有的整数为22-2,23-2,210-2,所以所有“优数”的和为22-2+23-2+210-2=22+23+210-29=4(1-29)1-2-29=2 026.故选C.答案C3.正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的6条对角线又围成了一个正六边形A2B2C2D2E2F2,如此继续下去,则n个正六边形的面积和Tn是.解析如图,A1B1=1,A1B1C1=120,B2C2=13A1C1=33,即每进行一次,正六边形的边长为原来的33倍.第一个正六边形的面积为S1=332,第n个正六边形的面积为Sn=S113n-1,所以n个正六边形的面积和Tn=S11-(13)n1-13=9341-1

9、3n.答案9341-13n4.设数列xn满足lg xn+1=1+lg xn(nN+),且x1+x2+x100=100,则x101+x102+x200=.解析由lg xn+1=1+lg xn,得lg xn+1=lg(10 xn),即xn+1xn=10.故x101+x102+x200=q100(x1+x2+x100)=10100100=10102.答案101025.已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析x2-5x+4=0的两根为1和4,又an为递增数列,a1=1,a3=4,q=2.S6=1(1-26)1-2=63.答案636.

10、已知数列nan的前n项和为2n-1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列n2an的前n项和Sn.解(1)记数列nan的前n项和为Tn,则Tn=2n-1.当n2时,nan=Tn-Tn-1=2n-1,则an=2n-1n,又a1=T1=1也满足an=2n-1n,所以an的通项公式为an=2n-1n(nN+).(2)由(1)知n2an=n2n-1,则Sn=1+22+322+n2n-1,2Sn=2+222+323+n2n,-得-Sn=1+2+22+2n-1-n2n,即-Sn=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,故Sn=(n-1)2n+1.7.设数列bn的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,数列an为等差数列,且a5=14,a7=20.(1)求数列bn的通项公式;(2)若cn=anbn(n=1,2,3),Tn为数列cn的前n项和,求Tn.解(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=23.当n2时,由bn=2-2Sn及bn-1=2-2Sn-1,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即bnbn-1=13,所以bn是以23为首项,13为公比的等比数列,所以bn=23n.(2)由数列an为等差数列,公差d=12(a7-a5)=3,a1=a5-4d=2,可得an=3n-1.从而cn=anbn=2(3n-1)13n,所以Tn=