高中数学选修2-2配人教A版-课后习题word-第二章　推理与证明2.2.2　反证法

1、2.2.2反证法课后篇巩固提升基础巩固1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是()A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至少有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于60解析“至少有一个不大于60”的否定为“全部都大于60”.答案B2.设a,b是两个实数,能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是() A.a+b1B.a+b=2C.ab1D.a+b2解析对于A,若a=12,b=23,则a+b1,因此A推不出;对于B,若a=b=1,则a+b=2,故B推不出;对于C,若a=-2,b=-3,则ab1,故C推不出;对于D,a+b2,满足“a,

2、b中至少有一个大于1”的条件,利用反证法:若a1,b1,则a+b2与已知a+b2矛盾,因此假设不正确,故原结论正确.故选D.答案D3.下列说法不正确的是()A.命题:“x,yR,若|x-1|+|y-1|=0,则x=y=1”,用反证法证明时应假设x1或y1B.三角形的内角中至少有一个不大于60度C.若-1,x,y,z,-4成等比数列,则y=2D.命题:“m0,1,使得x+1x2m”的否定形式是:“m0,1,总有x+1x2m”解析对于A选项,反证法假设时,假设“x1或y1”,故A选项说法正确;对于B选项,假设三个内角都大于60度,则内角和大于180度,故假设不成立,故B选项说法正确;对于C选项,假

3、设等比数列公比为q(q0),则y=(-1)q20,b0,c0,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析若P0,Q0,R0,则必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R0.因为当PQR0时,若P,Q,R不同时大于零,则P,Q,R中必有两个负数,一个正数,不妨设P0,Q0,即a+bc,b+ca,两式相加得b0,Q0,R0.答案C5.设x,yR,用反证法证明命题“如果x2+y24,那么|x|2且|y|2”时,应先假设“”.答案|x|2或|y|26.和两条异面

4、直线AB,CD都相交的两条直线AC,BD的位置关系是.解析假设AC与BD共面于平面,则A,C,B,D都在平面内,于是AB,CD,这与AB,CD异面相矛盾,故AC与BD异面.答案异面7.完成下列反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,a7是由数字1,2,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.与矛盾,故p为偶数.解析由假设p为奇数可知(a1-1),(a2-2),(a7-7)

5、均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0为奇数,这与0为偶数矛盾.答案a1-1,a2-2,a7-7奇数08.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0,证明直线l1与直线l2相交.证明假设直线l1与l2不相交,则l1与l2平行,由直线l1与l2的方程可知实数k1,k2分别为两直线的斜率,则有k1=k2,代入k1k2+2=0,消去k1,得k22+2=0,k2无实数解,这与已知k2为实数矛盾,所以k1k2,即l1与l2相交.9.已知ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,三边互不相等,且满足

6、b2ac.(1)比较ba与cb的大小,并证明你的结论;(2)求证:B不可能是钝角.(1)解大小关系为bacb.证明如下:要证bacb,只需证ba0,只需证b2ac,(已知条件)故所得大小关系bacb正确.(2)证明假设B是钝角,则cos B2ac-b22acac-b22ac0,这与cos B0矛盾,故假设不成立.所以B不可能是钝角.10.已知函数f(x)在R上是增函数,a,bR.(1)求证:如果a+b0,那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立?并证明你的结论.(1)证明当a+b0时,a-b且b-a,f(a)f(-b),f(b)f(-a),f(a)

7、+f(b)f(-a)+f(-b).(2)解(1)中命题的逆命题:如果f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),那么a+b0.此命题成立,用反证法证明如下:假设a+b0,则a-b,f(a)f(-b),同理可得f(b)f(-a),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾,故假设不成立,a+b0成立,即(1)中命题的逆命题成立.能力提升1.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于() A.0B.13C.12D.1解析三个数a,b,c的和为1,其平均数为13,故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a,b,c都小于13,则a

8、+b+c1与已知矛盾.答案B2.定义方程f(x)=f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,如果函数g(x)=x与h(x)=ln(x+1)的“新驻点”分别为,那么和的大小关系是.解析由题可得g(x)=1,h(x)=1x+1,所以=1,ln(+1)=1+1,假设=1,则+12,则01+112,所以0ln(+1)12=lne,1+1e2,0.答案3.已知xR,a=13x2+x,b=-3x+4,c=23x2,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.证明假设a,b,c都小于1,即a1,b1,c1,则a+b+c3.而a+b+c=13x2+x+(-3x+4)+23x2=x2-2x+4=(x-1)2+

9、33,这与a+b+c3矛盾,因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于1.4.等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+32.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=Snn(nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解设公差为d,由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,d=2,故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).(2)证明由(1)得bn=Snn=n+2.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则bq2=bpbr,即(q+2)2=(p+2)(r+2),(q2-pr)+(2q-p-r)2=0.p,q,rN*,q2-pr=0,2q-p-r=0,p+r22=pr,(p-r)2=0,p=r,这与pr矛盾.所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.5.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0