高中数学选修1-2配北师版-课后习题Word版模块复习课 第3课时　推理与证明

1、模块复习课MOKUAIFUXIKE第3课时推理与证明课后篇巩固提升A组1.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b4,则a,b不都大于2”时,应假设()A.a,b都不大于2B.a,b都不小于2C.a,b都大于2D.a,b不都小于2答案C解析利用反证法定义,应假设a,b都大于2,故选C.2.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的.第n行有n个数且两端的数均为1n(n2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,则第10行第4个数(从左往右数)为()A.1360B.1504C.1840D.11 260答案C解析依题

2、意,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18,1718,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19,1819,17-1818-19,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110,19110,18-1919-110,17-18-18-1918-19-19-110=1840.3.若不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围是()A.a0B.a1C.a2D.a3答案C解析原不等式可化为a-x2-2x-y2-2y=2-(x+1)2+(y+1)2.因为(x+1)2+(y+1)20,所以2-(x+1)2+(y+1)22,所以

3、使不等式恒成立的a的取值范围是a2.4.已知nN+,设平面上的n个椭圆最多能把平面分成an部分,且a1=2,a2=6,a3=14,a4=26,则an=.答案2n2-2n+2解析观察规律可知an-an-1=(n-1)4,利用累加法可得an=2n2-2n+2.5.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,xn总满足f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sin x在(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.答案332解析因为f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn,因

4、为f(x)=sin x在(0,)上是凸函数,所以f(A)+f(B)+f(C)3fA+B+C3,即sin A+sin B+sin C3sin 3=332,所以sin A+sin B+sin C的最大值是332.6.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)0是假命题,f(2)0是真命题,那么实数m的取值范围是.答案3,8)解析依题意,f(1)=3-m0,f(2)=8-m0,3m8.7.给出一个“三角形”的数表如下:此表构成的规则是:第一行是0,1,2,999,以后下一行的数是上一行相邻两个数的和.问:第四行的数中能被999整除的数是哪一项?解首先找出第四行数的构成规律.通过观察、分析,可以看出:

5、第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从上表看出:如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4.现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数.注意到第四行中最大的数是7 9802,b2,求证:a+bb,用反证法证明:cos B0.证明(1)因为a2,b2,所以01a12,01b0,ab0,又因为a+bab=1b+1a12+12=1,所以a+bb,可得AB,则A2,所以A+B,与A+B0成立.B组1.用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+13n+11”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项为()A.13k+4B.13k+

6、41k+1C.13k+2+13k+3+13k+4D.13k+2+13k+423(k+1)答案D解析当n=k时,左边为1k+1+1k+2+1k+3+13k+1,当n=k+1时,左边为1k+2+1k+3+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4,所以增加的项为1k+2+1k+3+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1+1k+2+1k+3+13k+1=13k+2+13k+423(k+1).故选D.2.(1)已知p3+q3=2,求证:p+q2.用反证法证明时,可假设p+q2;(2)若a,bR,|a|+|b|2,故错;(2)的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1,故(2)正确.

7、3.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题,甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A解析由题设知,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,甲会证明,乙、丙、丁都不会证明.故选A.4.如图所示是一个有n层(n2,nN+)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,第n层每边有n个点,则这个点阵共有个点.答案3n2-3n+1解析设第n层共有an个点,结合图形可知a1=1,a2=6

8、,an+1=an+6(n2,nN+),则an=6+(n-2)6=6n-6(n2,nN+),前n层所有点数之和为Sn=1+(n-1)6+(6n-6)2=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.5.定义运算“”:xy=x2-y2xy(x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.答案2解析xy=x2-y2xy,xy+(2y)x=x2-y2xy+(2y)2-x22yx=x2+2y22xy2x22y22xy=22xy2xy=2.其中x0,y0,当且仅当x2=2y2,即x=2y时等号成立.6.给出下列命题:双曲线x225y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点;过点

9、P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=12x;已知双曲线C:x2a2y2b2=1,若它的离心率为5,则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x;椭圆x2m+1+y2m=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,PF1F2的面积的最大值为2,则m的值为2.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)答案解析因为两曲线的焦点都在x轴上,半焦距c相等都是34,所以双曲线x225y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点,正确;过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=12x或x2=4y,不正确;已知双曲线C:x2a2y2b2=1,若它的离心率为5,则ca=5,ba=2,双曲线C的一条渐近线方程为y=

10、2x,正确;由解析式知,半焦距为1,PF1F2的面积的最大值为2,即bc=2,可得b=2,故m=4,不正确.7.已知函数f(x)=12x2+aln x(aR).(1)若f(x)在1,e上是增函数,求a的取值范围.(2)若a=1,1xe,证明:f(x)23x3.解(1)因为f(x)=x+ax,且f(x)在1,e上是增函数,所以f(x)=x+ax0在1,e上恒成立,即a-x2在1,e上恒成立,所以a-1.(2)当a=1时,f(x)=12x2+ln x,x1,e,令F(x)=f(x)-23x3=12x2+ln x-23x3,又F(x)=x+1x-2x2=(1-x)(1+x+2x2)x0,所以F(x)在1,e上是减函数,所以F(x)F(1)=12230,所以x1,e时,f