高中数学人教A版（2019）必修第一册第二册知识点概要填空

必修1数学知识点

第一章、集合与常用逻辑用语

§1.1、集合的概念

1、把研究的对象统称为,把一些元素组成的总体叫做—。集合

三要素：>

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集

合O

3、蒋见数集符号表示：°正整数集合:，整数集合：—，有理数集

合：,实数集合：―.

4、集合的表示方

法：,，•

§]2、集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B

中的元素，则称集合A是集合B的o记作.

2、如果集合A=8,但存在元素xeB,且xeA,则称集合A是集合

B的.记作：.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：—.并规定：空集合是任何

集合的子集.

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，有个真

子集.

§1.3、集合间的基本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A

与B的_.记作：.

2、一般地厂山南于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A

与B的.记作：.

3、全集、补集的符号表示？

§1.4,充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，”若p,则4”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.

这时，我们就说，由Q可推出q,记作〃并且说p是q的,

q是p的.

2.充要条件

如果''若p,则q”和它的逆命题“若4则p”均是真命题，即既有p=q,

又有就记作.此时，我们就说p是q的,简称

为.

1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(1)全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“—”

表示.常见的全称量词还有，，，等.含有全称

量词的命题，叫做.

全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记

为，

读作.

(2)存在量词

短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“—”

表示.常见的存在量词还有，，，等.

含有存在量词的命题，叫做.

存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立"可用符号简记

为，

读作.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

(1)全称量词命题的否定：.全称量词命题的否定是

量词命题.

(2)存在量词命题的否定：.存在量词命题的否定是

量词命题.

第二章、一元二次函数、方程与不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较原理

a>b<^>a—b>0；

a=boa—b=0；a<b<=>a-b<0.

2.等式的基本性质

性质1如果a=6,那么；

性质2如果a=b=c,那么

性质3如果a=6,那么__________

性质4如果。=匕，那么_____;

性质5如果。=人，。工0,那么___

3.不等式的基本性质

性质1如果a>b,那么______如果。<。，那么____,__即

a>b<^>h<a

性质2如果。>人，b>c,那么—_.即a>27,b>c=a>c.

性质3如果那么.

由性质3可得，

a+h>c=a+b+(-b)>c+(一力)一〃.

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

性质4如果。>b,c>0,那么；

如果。>人，c<0,那么.

性质5如果a>b,c>d,那么.

性质6如果a>Z?>0,c>d>0,那么.

性质7如果那么(neN,>2).

2.2基本不等式

(a>0)A>()A=0A<0

1.重要不等式有当且仅当时，等号成

立.

2.基本不等式如果a>0,b>0,贝ij疯4史也，当且仅当。=人时，

2

等号成立.

土心叫做正数”，人的平均数，而叫做正数a,人的平均

2

数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数它们的几何平均数.

3.与基本不等式相关的不等式

(1)当〃,〃£/?时，有〃>W[2J，

当且仅当____时，等号成立.

(2)当a>0,〃>0时，有K,当且仅当

[2____时，等号成

a+b

立.

(3)当时，有(竺〈竺之，当且仅当

_____时，等号成

12)2

立.

4.利用基本不等式求最值

己知x>0,y〉0,那么(1)如果积呼等于定值P,那么当x=y时，

和x+y有最小值；(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，

积D有最大值.

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称

为______________.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

二次函数

1\小0|r/x/T/

y=ax++c2xu/

V

X

（«>0）的图象ox^x2I

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根

ax2+bx+c=Ob无实根

%,々（七

<x2）…=一五

（4>0的根

ax2+bx+c>0<xx丰一--I

{^x<x]^c>x2]R

(〃>0)的解集l2力

ax2+hx+c<Q

3>0)的解集

第三章函数的概念与性质

§3.1.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/，使对于集

合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数/（x）和它对

应，那么就称fB为集合A到集合B的一个—,记作：

y=f[x）,XEA.

2、一个函数的构成要素为：.如果两个函数

,则称这两个函数相等.

§3.1.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法：.

§3.2.1、单调性与最大（小）值

1、注意函数单调性证明的一般格式（三个步骤）：

§3.2.2、奇偶性

1、一般地，,那么就称函数/（x）

为—.偶函数图象关于对称.

2、一般地，如果，那么就称函数/Q）

为.奇函数图象关于对称.

§3.3、塞函数

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

1.〃次方根与分数指数第

(1)方根

如果x"=a,那么x叫做a的“次方根，其中〃>1,且〃wN*.

①当〃是奇数时，正数的〃次方根是正数，负数的〃方根是负数.这时，a

的〃方根用符号—表示.

②当〃是偶数时，正数的〃次方根有—，这两个数互为.这时，正

数a的正的〃次方根用符号—表示，负的〃次方根用符号表示.正

的〃次方根与负的〃次方根可以合并写成(«>0).

负数—偶次方根.

0的任何次方根都是—，记作.

式子标叫做一，这里〃叫做—，。叫做.

关于根式有下面两个等式：

(标)"=a；

a,〃为奇数

一［4，”为偶数.

2.分数指数幕

(1)正分数指数第

1

a'-y/a^"(«>0,rn,nGN*,n>1).

0的正分数指数辱等于—.

(2)负分数指数塞

11

an=—^=—j=(a>0,m,neN*,n>1).

m

Q不\Ja

0的负分数指数基没有意义.

(3)有理数指数塞的运算性质

①(«>0.r,seQ)；

②(a'Y=ar'(a>0,r,seQ)；

@(ah)'=a'b'(«>0,b>0,reQ).

3.无理数指数幕及其运算性质

(1)无理数指数塞的概念

当x是无理数时，优是.

(2)实数指数塞的运算性质

整数指数基的运算性质也适用于实数指数累，即对于任意实数r,s,均

有下面的运算性质.

rsr+s

①0o=a(«>0,r,sGR)；

②(a)=a"(a>0,r,sGR)；

③(a0)'=a7/(a>0,b>0,rwR).

4.2指数函数

1.指数函数的概念

函数y=a'(a>0,且。工1)叫做,其中指数x是自变量，定

义域是___.

2.指数施的图象和性质

一般地，指数函数y=a*(a>0,且的图象和性质如下表所示:

(2)在R上是_函数(2)在R上是____函数

4.3对数

1.对数的概念

一般地，如果相=N(a>O,aHl),那么数x叫做以。为底N的对数，

记作.

其中。叫做对数的,N叫做.当a>0,且awl时，

a*=N=x=logoN.

2.两个重要的对数

(1)常用对数：以—为底的对数叫做常用对数，并把logmN记为—.

(2)自然对数：以e(e是无理数，e=2.71828…)为底的对数叫做自

然对数，并把log,N记作_.

3.关于对数的几个结论

(1)负数和。没有对数；(2)log“1=0；(3)log"=L

4.对数的运算

如果a>0,且,M>0，N>0,那么

log”(MN)=logaM+log.N；loga普=log„M-log„N；

log”M"=〃logaM(〃£/?).

5.换底公式：(a>0,且awl,b>0,c>0,

cwl).

4.4对数函数

1.对数函数的概念

一般地，函数y=log“x（。＞0,且。羊1）叫做，其中光是自

变量，定义域是.

2.对数函数的图象和性质

定义域（O,”）

值域R

（1）过定点____,即当x=l时，y=O.

性质

（2）增函数（2）减函数

3.反函数

指数函数y=a*（。＞0,且。片1）与对数函数y=logaX（a＞0,且

。工1）互为,它们的定义域与值域正好.互为反函数的两个函

数的图象关于直线对称.

4.5函数的应用（二）

1.函数的零点与方程的解

方程的根与函数的零点

1,方程"r）=0有实根o函数y=/（x）的图象=函数

y=/⑴有_--

2、性质：如果函数y=/（x）在区间［a,"上的图象是连续不断的一条

曲线，并且，那么，函数y=/（x）在区间（“,方）内有零点，

即存在ce（a,b）,使得,这个c也就是方程/（x）=0的

第五章、三角函数

§5.1.1、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

2、与角a终边相同的角的集合：.

3、与角a终边共线的角的集合：.

§5.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做.

2>|a|=—.

r

3、弧长公式:I—"成=Idzl/?.

-------18011

4、扇形面积公式:S=.

§5.2.1、任意角的三角函数

1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么:

sina=,cosa=,tana=

2、设点A（x0,光）为角a终边上任意一点，那么：（设r=+）

sina=,cosa=，tana-

3、sina,cosa,tana在四个象限的符号和三角函数线的画法.

4、诱导公式一:

sin+2k兀）=,

cos（a+2A7r）=,（其中：keZ）

tan（a+2k兀）=.

5、特殊角0°,30°,45°,60°,90°,120°,150°,180°,210

。，270。而三面函数值.

31nn2%5乃

a0*67T~2

sina

cosa

tanc

§5.2.2、同角三角函数的基本关系式

1、平方关系:.

2、商数关系:.

§5.3、三角函数的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

1、诱导公式二:2、诱导公式三:

sin（^+（z）=sin（-a）=

cos（万+a）=cos（-a）=

tan（万+a）=tan（-a）=

3、诱导公式四：4、诱导公式五：

sin(zr-a)=____________

cos(乃-a)=____________

tan(乃-a)=____________

5、诱导公式六:

.(TV]

sin—+a|=

(2J

cosI—+aI-

(2)

§两角差的余弦公式

1、cos(a一万)=___________________

§两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、cos(a+^)=2

sin(a-4)=_____________________

3、sin(a+£)=4

tan(a+⑶=.

5>tan(a-.)=.

§二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、=2sinacosa»变形：=jsin2二.

2、cos2a===,

变形1：cos2a=——-——，变形2：1-cosla

2

3、tanla=2tan;.

1-tan，a

§5.4.1、正弦、余弦函数的图象

1、作出y=5抽》与y=cosx的图像

2、对照图象写出正弦、余弦函数的相关性质：

定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期

性.

3、会用五点法作图.

§5.4.2、正弦、余弦函数的性质

1、周期函数定义:对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x

取定义域内的每一个值时，都有/(x+7j=/(x),那么函数/(x)就

叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

①丁=sinx

y=sinx的周期为;单调增区间是;单调减区间是

；对称中心是;对称轴是

最大值为最大值点为;最小值为，最小值

点是______________

②y=cosx

y=8sx的周期为一；单调增区间是；单调减区间是

对称中心是—;对称轴是最大值为

最大值点为;最小值为,最小值点是

③y=tanx

y=tanx的周期为一；单调增区间是一；对称中心是

§5.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：

作出y=tanx的图像

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：

定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

正弦:_____________________________________________________________

余弦:_____________________________________________________________

§5.5>函数y=4sin(@x+e)的图象

1、能够讲出函数y=sinx的图象和函数y=Asin(④v+°)+8的图象之

间的平移伸缩变换关系.

2、对于函数：

y=Asin(o«+e)+MA〉0,<y>0)有：振幅A,周期T=,

初相为0,相位是如+夕，频率/=.它的单调区间

,最值__________.

必修2数学知识点

第六章、平面向量

§6.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、的量叫做向量.

§6.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做，有向线段包含三个要素：_______、

2、向量A8的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作；

长度为零的向量叫做；的向量叫做

单位向量.

3、的向量叫做平行向量（或共线向量）.规

定：零向量与向量平行.

§6.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做.

§6.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形法则和平行四边形法则.

2、a+/?Wa+收.

§6.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、叫做a的相反向量.

§6.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数4与向量［的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.

记作：Aa,它的长度和方向规定如下：

⑴/。卜冈“，⑵当；1>0时，4a的方向与］的方向；当

2<0时，Aa的方向与Z的方向_______.

2、平面向量共线定理:向量击H6）与3共线，当且仅当有唯一一个

实数4,使.

§6.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那

么对于这一平面内任一向量Z,有且只有一对实数%,尤2，使

a=.

§6.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示

1、a=xi+yj={x.y］.

§6.3.3、平面向量的坐标运算

1、设。=（为，）］）,3=（%2，%），则：

⑴Q+B,（2）a—h=,

（3）4。=,⑷〃〃Box.

2、设A（x”y）,8（%,%），则：

AB=.

§6.3.4、平面向量共线的坐标表示

1、设4（司,必）,6（工2，%），。（%3，%），则

⑴线段AB中点坐标为,⑵4ABC的重心坐标为.

§6.4.1、平面向量的数量积及其含义

—»—•—*—

1、ab=.2、。在。方向上的投影为：.

3、a=.4、卜卜.5、==0.

§6.42、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、设。=(七,%),1=(%2，＞2)，则：

(1)ab=(2)同=⑶

aJ_Bo______________

2、设4(七，y),8(占,必)，则：|丽卜.

1、正弦定理：

2、余弦定理：

cosA=.

cosB-.

cosC=_________

3、三角形面积公式:

第七章复数

[7.1]复数的概念

1、数系的扩充和复数的概念

(1)复数的定义：形如a+6/(a,bGR)的数叫做,其中i叫做

―，全体复数所构成的集合。=匕+6/|8必叫做.

(2)复数通常用字母—表示，代数形式为z=(a,bGR)，其中

a与6分别叫做复数z的—与—.

(3)复数相等：在复数集C={a+bi\a,府中任取两个数a+bi,c

+di(a,b,c,dGR),我们规定：a+bi与c+d?相等当且仅当

(4)复数的分类

①对于复数反(a,bGR),当且仅当一时，它是实数；当且仅当

—时，它是实数0;当——时，叫做虚数；当—时，叫做纯虚

数.这样，复数z=a+bi(a,bGR)可以分类如下：

复数1数实数(方=。)

(8米0)(当a=0时为纯虚数)②集合表示：

2、复数的几何意义

(1)复平面(复平面中点的表示复数的实部，点的表示复

数的虚部)

—两应

②复数z=a+6?(a,beR)<-------->平面向量.

(3)复平面上的两点间的距离公式：

(4=玉+yti,z2=x2+y2i).

(4)复数的模

①定义：向量质的模叫做复数z=a+6/(a,冷的模或绝对值.

②记法:复数z=a+bi的模记为|z|或|a++|.

③公式：|z|=|a+6/|=(.a,bJR).

如果6=0,那么z=a+加,是一个实数，它的模就等于______(a的绝对

值).

(5)共轨复数：一般地，当两个复数的实部.，虚部互为时，

这两个复数叫做互为共枕复数，虚部不等于0的两个共辗复数也叫做

一.复数z的共辗复数用—表示，即如果z=a+〃，那么二=.

(6)两个实数比较大小，但两个复数如果不全是实数就比

较大小。

(7)解复数方程若△=〃-4ac<0,在复数集C内有且仅有两个共轨

复数根x=-4吆(/?2_4ac<0)

2a

[7.2]复数的四则运算

1、复数的加、减运算及其几何意义

(1)复数的加法法则

①运算法则：设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dCR)是任意两个

复数，那么(a+反)+(c+di)=,两个复数的和

仍然是一个确定的复数.

②复数加法的几何意义：如图，复数zi+zz是以万元，落为邻边的平

行四边形的所对应的复数.

③加法运算律：对任意Z1,Z2,Z3WC,有Zi+z2=,(Zi+zz)

+z3=.

④复数加法的几何意义：两个向量函与募的和就是与复数(a+c)+

(方+冷，对应的向量，复数的加法可以按照的加法来进行.

(2)复数的减法法则

①运算法则：复数的减法是加法的；设"=a+〃，Z2=c+d/是

任意两个复数，则(a+bi)-(c+df)=,两个复数的

差是一个确定的复数.

②复数减法的几何意义：如图，复数zi—zz是从向量而靠勺终点指向向

量嘉的终点的向量所对应的复数.

2、复数的乘、除运算

(1)复数的乘法运算

①复数的乘法法则：设Zi=a+历，Zz—c+di(a,b,c,dWR),贝(jzrz

2—(a+6i)(c+di)=.

②复数乘法的运算律

对任意复数zi,z2,3GC,有

交换律Z1•Z2=z2•Z】

乘法对加法的分配律Z1(z2+z3)=ZZ2+z1Z3

结合律(Z1•Z2)•z3=Z1•(Z2•Z3)

(2)复数的除法运算

设zi=a+6i,,z2=c+di(c+0fIWO)),则

Z[a+hi(a+bt)(c—di)ac+hdhe—ad

z2c+di(c+di)(c—di)，+d5c2+建

复数的除法的实质是.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘

若分母为a-bi型，则分子、分母同乘—

3、几个重要的结论

①|Z[+Z?|2+IZ]—Z?『=2(1Z]『+1z?『)②z・z=|z『=|z|2③若z为虚数，则

|z12Hz2

4、运算律

①z"'・z"=z"'+"②(z"')"=z"'"③(Z|・ZJ=Z；・Z2”(租,

5、关于虚数单位i的一些固定结论：

①『=—1②『=7③j4=1④j"+严2+严3+产4=0

第八章立体几何初步

1、空间几何体的结构

⑴常见的多面体石凝柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、

圆台、球。

⑵棱柱:叫做棱柱。

⑶棱锥：叫棱锥。

(4)棱台：叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于

一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影

线是的。

3、空间几何体的表面积与体积

(一)多面体的表面积：

s棱柱=-----------------------s棱锥=------------------------s棱台=------------------------

(二)多面体的体积：

唳柱=---------------%锥=---------------唳台=-

(三)旋转体的表面积和体积:

⑴圆柱侧面积；S恻面=⑵圆锥侧面积：S1M=

⑶圆台侧面积：S侧面=

⑷体积公式：

%体=--------；%£体=--------------；%体=-----------------------

⑸球的表面积和体积：

1、基本事实1:过不在一条直线上的三点，有且只有。

2、基本事实2：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线

3、基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只

有过该点的公共直线。

4、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线.

5、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

6、线线位置关系：o

7、线面位置关系：直线在平面—、直线和平面、直线和平面

8、面面位置关系：。

9、线面平行:

⑴判定：。

⑵性质：»

10、面面平行:

⑴判定：o

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

11、线面垂直:

⑴定义：如果.，那么就说这条直线

和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条都垂直，则该直线与

此平面垂直。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线o

12、面面垂直:

⑴定义：两个平面相交,如果，就说这两个

平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的,则这两个平面垂

直。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线

______________另一个平面«

第九章：统计

[9.1]随机抽样

1、抽样方法：

①(总体个数较少)②(总体个数较多)

③(总体中差异明显)

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的

机会(概率)均为_____。

2、总体分逮的估计：

⑴平均数：1=；取值为占,》2,…,4的频数分别为

fi3=1,2,k),则其平均数为；

注意：频率分布表计算平均数要取。

⑵方差与标准差：一组样本数据看,句,X”

方差：s2=；标准差：

注：方差与标准差_______,说明样本数据越稳定。

平均数反映数据水平；方差与标准差反映数据的水平。

3、获取数据的基本途径：①通过获取数据、②通过获取数据、

③通过获取数据、④通过获取数据。

[9.2]用样本估计总体

1、画频率分布直方图的步骤(画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与

组距的比值，而不是频率)

(1)求极差：极差是一组数据中与的差.

(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成组，

一般取—组距，并且组距应力求.

(3)将数据分组.

(4)列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中

频数合计应是,频率合计是—.

(5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示—.小长方形的

面积=组距X=.各小长方形的面积和等于—.)

2、其他统计图表

—直观描述各类数据占总数的比例

____________直观描述不同类别或分组数据的频数和频率

—描述数据随时间的变化趋势

3、第。百分位数

(1)定义：(第50百分位数就是,中位数是百分位数的特例,

百分位数是中位数的推广)一般地，一组数据的第0百分位数是这样一个

值，它使得这组数据中至少有曲的数据这个值，且至少有(100

_p)%的数据这个值.

(2)计算一组〃个数据的第。百分位数的步骤

第1步，按排列原始数据

第2步，计算，=—

第3步，若，不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为

;若，是整数，则第°百分位数为

(3)四分位数：25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数

据分成四等份，因此称为,其中第25百分位数也称为

或,第75百分位数也称为或

4、总体集中趋势的估计

(1)众数、中位数和平均数的定义

①众数：一组数据中出现的数

②中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于的数.如果个数是

偶数，则取的平均数

③平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数

(2)众数、中位数和平均数的比较

名称优点缺点

众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部

极端值不敏感

中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠对极端值不敏感

后的数据)的影响

平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中任何一个数据的改变都会引起平均数的

更多的信息，对样本中的极端值更加敏感数据越“离群”，对平均数的影响越大

5、总体离散程度的估计

(1)一组数据X”X2,…，的方差和标准差

若数据X”X2,…，的平均数为工则数据X”X2,…，X,,的方差

为_____________________

标准差为.

(2)总体方差和标准差

如果总体中所有个体的变量值分别为八，…，『、，总体的平均数为

R则称为总体方差，为总体标准差。

如果总体中