北师大版九年级上册数学教学课件6.2 第2课时 反比例函数的性质

1、经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用6.2 反比例函数的图象与性质第六章 反比例函数第2课时反比例函数的性质学习目标1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质. (重点)2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点)3. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点)导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？反比例函数的图象是双曲线复习引入问题1 问题2 反比例函数的性质一讲授新课例

2、1 画反比例函数 与 的图象.合作探究提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.解：列表如下：x65432112345611.21.52366321.51.2122.43466432.42O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点56xy432112345634156123456连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？(3) 对于反比例函数 (k0)，考

3、虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.反比例函数 (k0) 的图象和性质：观察与思考 当 k =2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗？ yxOyxOyxO反比例函数 (k0) 的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳： (1) 当 k 0 时，双曲线的两支分

4、别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k ”“”或“=”).练一练例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.反比例函数的图象和性质的初步运用二练一练 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值解：由题意得 m210=1，且 3m80 解得 m=3.例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随

5、 x 的增大而减小.(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 .(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以

6、m50，解得m5.(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时， y1y2.练一练已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3) (1) 求这个函数的表达式；解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例

7、函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上 (3) 当 3 x 0， 当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3 x 1 时，6 y 2.反比例函数解析式中 k 的几何意义三1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 合作探究5123415xyOPS1 S2P (2，2) Q (4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值

8、S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P (1，4)Q (2，2)2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQS1 S2由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为 (a，b)AB点 P (a，b) 在函数 的图象上， ，即 ab=k. S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a

9、0，b 0的情况. 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：QAO与QBO的 面积和 k 的关系是 SQAO=SQBO= .Q对于反比例函数 ，AB|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性A. SA SBSC B. SASBSCC. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E. 设 POA 的面积为 S1，则 S1= ；梯形CEAD的面积为 S2，则 S

10、1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.典例精析2S1S2S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 S3FS1S2S3yDBACx例6 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/x 轴

11、交反比例函数 (x0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =_.325 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x0) 和 (x0)的图象交于点P，Q，若POQ 的面积为 8，则k =_.QPOxMy10练一练例7 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线 上，且 x2x1 = 4，y1y2 =2. 分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面

12、积为 14，那么双曲线的解析式为 .解得 k = 6.双曲线的解析式为 .解析： x2x1 = 4，y1y2 =2，BG = 4，AG =5，SABG =452=10.由反比例函数面积的不变性可知，S长方形ACOE = S长方形BDOF = k . S五边形 AEODB = S四边形ACOE +S四边形BDOF S四边形FOCG+ SABG = k + k 2+4=14. 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，ACx 轴于点C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若ABP 的面积为6，则 k = .24练一练E F 解析：作AEy 轴于点 E，BFx 轴于点 F

13、.P 是 AC 的中点，S四边形OCPD= S四边形ACOE= S四边形BDOF = k，SABP= S四边形BFCP，= (S四边形BDOFS四边形OCPD)= (k k)= k = 6.k =24. 1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是_. 2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (1，12) 和点 (10，1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (填序号).(1)(3)m 2当堂练习A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点

14、， 过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) OBAPxyA4. 已知反比例函数 y = mxm5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值.解：因为反比例函数 y = mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有m25=1，m0，解得 m=2.5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，4). (1) 求 k 的值；解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，4)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，解得 k = 8.(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.(3) 画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4) 点 B (1，8) ，C (3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 .6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；AyOBx解：y=x + 2 ， 解得 x = 4， y =2 所以A(2，4)