新沪教版九年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的基本概念和性质知识讲解（提高） 【学习目标】1知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，圆的对称性进行计算或证明；3情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定

2、圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释： 定点为圆心，定长为半径；圆指的是圆周，而不是圆面；强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； 圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：圆有无数条对称轴； 因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的

3、对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是O的直径，CD是O中任意一条弦，求证：ABCD.证明：连结OC、ODAB=AO+OB=CO+ODCD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)直径AB是O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间

4、的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：半圆是弧，而弧不一定是半圆；无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清：356996 ：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； 圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1已知：如图

5、，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OC=OB=OD，点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形【答案】C.2 （2016春海口校级月考）如图所示，AB为O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，AEC=20求AOC

6、的度数【思路点拨】连接OD，如图，由AB=2DE，AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形的性质得DOE=E=20，再利用三角形外角性质得到CDO=40，加上C=ODC=40，然后再利用三角形外角性质即可计算出AOC【答案与解析】解：连接OD，如图，AB=2DE，而AB=2OD，OD=DE，DOE=E=20，CDO=DOE+E=40，而OC=OD，C=ODC=40，AOC=C+E=60【总结升华】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了等腰三角形的性质 类型二、圆及有关概念3（2015秋丹阳市校级月考）下列说法中，正确的是（）A两个

7、半圆是等弧B同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C长度相等的弧是等弧D同圆中优弧与劣弧的差必是优弧【答案】 B.【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；C、长度相等的弧是等弧，错误；D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选B【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.举一反三：【变式】 （2015秋邗江区校级月考）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A2B3C4D5【答案】B.提示：由图可知，点A、B、E、C是O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条故选B类型三、圆的对

8、称性4圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？【答案与解析】如图所示,分两种情况:（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，所以圆O的半径为. 图1 图2（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径.综上所述，所求圆的半径为6或4.【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情

9、况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想. 举一反三：【变式1】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（ ）.A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm【答案】C.【高清： 356996 ：知识讲解二-四】【变式2】（1）过_上的三个点确定一个圆（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_ 【答案】（1）不在同一直线；（2） 圆的旋转不变性；5如图，O的直径

10、为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 . 【答案】3OP5.【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OPAB时，OP最短直径为10，弦AB=8OPA=90，OA=5，由圆的对称性得AP=4，由勾股定理得OP=，OP最短为3.OP的长的取值范围是3OP5.【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.举一反三：【变式】已知O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是_ _【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离所以5OP13.沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的基本概念和性质巩固练习（提高

11、）【巩固练习】一、选择题1. （2015秋睢宁县校级月考）下列说法正确的是（）A弦是直径 B半圆是弧C长度相等的弧是等弧 D过圆心的线段是直径2.下列语句中，不正确的个数是（ ） 直径是弦；弧是半圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内一定点可以作无数条直径 A1个 B2个 C3个 D4个3.如图，O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）A2条 B3条 C4条 D5条BAO第3题 第4题4.如图，已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5.已知、是同圆的两段弧，且，则弦AB与CD之间的关系为（

12、）A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定6. 如图，点A 、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式正确的是（ ）A.abc B.bca C.cab D.a=b=c 第6题 第7题二、填空题7.如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，猜想这样的P点一共有 .8.P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_9. （2016春单县期末）已知，圆A的周长是圆B的周长的4倍，那么圆A的面积是圆B的面积的 倍10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角AOB

13、所对的的长度有_ _关系；的度数有_ _关系.11.如图，已知O内一点P，过P点的最短的弦在圆内的位置是_ _；过P点的最长的弦在圆内的位置是_ _；并分别将图画出来.12.在同一平面内，1个圆把平面分成01+2=2个部分，2个圆把平面最多分成12+2=4个部分，,3个圆把平面最多分成23+2=8个部分，4个圆把平面最多分成34+2=14个部分，（1）10个圆把平面最多分成 个部分；（2）n个圆把平面最多分成 个部分.三、解答题13（2016东台市校级月考）如图，CD是O的直径，点A在DC的延长线上，A=20，AE交O于点B，且AB=OC（1）求AOB的度数（2）求EOD的度数14已知：如图，

14、AB是O的直径，AC是O的弦，AB=2，BAC=30在图中作弦AD，使AD=1，并求CAD的度数15如图所示，AB是O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC=BD （1）判断OCD的形状，并说明理由（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径故本选项错误；B、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆所以半圆是弧是正确的；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能

15、够重合故本选项错误；D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误故选B2.【答案】C；【解析】直径是弦符合弦的定义正确；弧是半圆，这句话不对，可能是半圆，也可能使优弧或劣弧；长度相等的弧是等弧，这句话不符合等弧的定义：能够完全重合的弧，故错误；经过圆内一定点只能作一条直径所以原题不正确. 故都不正确. 3.【答案】B；【解析】图中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共三条. 4.【答案】C；【解析】在弦AB所在直线的两侧分别有1个和两个点符合要求,故选C；5.【答案】B；【解析】把两条弦转化到一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边得到.6.【答案】D；【解析】如图，连接OM、O

16、D、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM再根据同圆的半径相等，得a=b=c故选D； 二、填空题7.【答案】12.【解析】每个象限有2个符合要求的点，坐标轴上有4个点，共12个. 即：（3，4）、（4，3）、（3，-4）、（4，-3）、（-3，4）、（-4，3）、（-3，-4）、（-4，-3）、（0，5）、（0，-5）、（5，0）、（-5，0）.8.【答案】8cm，10cm；9.【答案】16【解析】设圆A的半径为a，圆B的半径为b由题意2a=42b，a=4b，A的面积：B的面积=（4b）2：b2=16：110.【答案】；相等；11.【答案】垂直于过p点的直径的弦；过p

17、点的直径. 如图： 12.【答案】（1）92； （2）n2-n+2.【解析】（1）910+2=92；（2）（n-1）n+2=n2-n+2.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）连OB，如图，AB=OC，OB=OC，AB=BO，AOB=1=A=20；（2）2=A+1，2=2A，OB=OE，2=E，E=2A，DOE=A+E=3A=6014【答案与解析】 解： 以A圆心AD长为半径画弧与圆有两个交点D， D 再连接OD,O D ；AB是O的直径，AB=2，AD=1,AD=OD=OA=1，OAD是等边三角形.DAO=60.同理可得OA D=60.DAC=6030=30；同理可得：D AC=60+30

18、=90；综上所述：CAD的度数为30或9015【答案与解析】（1）OCD是等腰三角形 如图（1）所示，过点O作OMAB，垂足为M，由圆的对称性有MA=MB 又AC=BD， AC+MA=BD+MB， 即CM=DM 又OMCD，即OM是CD的垂直平分线， OC=OD，OCD为等腰三角形 （1） （2）（2）当点C，D在线段AB上时，（1）题的结论还存在.如图（2）所示， 同上问，作OMAB，垂足为M， 由圆的对称性，得AM=BM 又AC=BD，CM=AM-AC=BM-BD=DM， OC=OD， OCD为等腰三角形沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆心角、弧、弦、弦心距之间的

19、关系知识讲解（提高） 【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等

20、要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边

21、形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1. （2016厦门校级模拟）如图，AOB=90，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F求证：AE=BF=CD【思路点拨】连接AC，BD，根据AOB=90得出AOC的度

22、数，由等腰三角形的性质求出OFE的度数根据SAS定理得出ACODCO，故可得出ACO=OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论【答案与解析】证明：连接AC，BD，在O中，半径OAOB，C、D为弧AB的三等分点，AOC=AOB=90=30OA=OB，OAB=OBA=45，AOC=BOD=30，OEF=OAB+AOC=45+30=75，同理OFE=75，C，D是的三等分点，AC=CD=BD，在ACO与DCO中，ACODCO（SAS），ACO=OCDOEF=OAE+AOE=45+30=75，OCD=75，OEF=OCD，CDAB，AEC=OCD，ACO=AECAC=

23、AE，同理，BF=BD又AC=CD=BDAE=BF=CD【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键举一反三：【变式】（2015秋丹阳市月考）已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是 .【答案】解：连结OA、OB，如图，弦AB把圆周分成1：3两部分，AOB=360=90，OAB为等腰直角三角形，AB=OA=4故答案为4类型二、圆周角定理及应用2.（2015南京二模）如图，OA、OB是O的半径且OAOB，作OA的垂直平分线交O于点C、D，连接CB、AB求证：ABC=2CBO【答案与解析】证明：连接O

24、C、AC，如图，CD垂直平分OA，OC=ACOC=AC=OA，OAC是等边三角形，AOC=60，ABC=AOC=30，在BOC中，BOC=AOC+AOB=150，OB=OC，CBO=15，ABC=2CBO【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.举一反三：【高清： 356996 ：经典例题1-2】【变式】如图，AB是O的弦，AOB80则弦AB所对的圆周角是 .【答案】40或140.【高清：356996：经典例题4-5】3.如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则1+2=_. 【答案】90.【解析】如图，连接OE，

25、则【总结升华】把圆周角转化到圆心角.举一反三：【变式】（2015玄武区二模）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，连接AC、BO，已知CAB=36，ABO=30，则D= 【答案】96；提示：解：连结OC，如图，BOC=2CAB=236=72，OB=OC，OBC=OCB，OBC=（180BOC）=（18072）=54，ABC=OBA+OBC=30+54=84，D+ABC=180，D=18084=96故答案为964.已知，如图，O上三点A、B、C，ACB=60，AB=m，试求O的直径长.【答案与解析】如图所示，作O的直径AC，连结CB， 则ACB=C=60 又AC是O的直径， ABC=90 即O的

26、直径为.【总结升华】作出O的直径，将60、直径与m都转到一个直角三角形中求解.举一反三：【高清：356996 ：经典例题6-7】【变式】如图，ABC内接于O，C45，AB4，则O的半径为（ ）A B4 C D5【答案】A.沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A120B135C150D1652已知，如图, AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC45。给出以下五个结论：EBC22.5

27、；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC，其中正确的有( )个A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第2题图 3（2015威海）如图，已知AB=AC=AD，CBD=2BDC，BAC=44，则CAD的度数为（）A68B88C90D1124如图，在O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形5如图所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 第4题图 第5题图 第6题图 6如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30

28、，O的半径为cm，则弦CD的长为( )A cm B3cm C cm D9cm二、填空题7.如图，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_. 第7题 第9题8（2015青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且A=55，E=30，则F=9如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1, ,则AED= . 10如图所示，AB、CD是O的两条互相垂直的弦，圆心角AOC130，AD、CB的延长线相交于P，则P_11.如图所示，在半径为3的O中，点B是劣弧的中点，连接AB并延长到D，使BDAB，连接AC、BC、CD，如果AB2，那么CD_ NP

29、MOAB（第12题图） （第10题图） （第11题图）12如图，MN是O的直径，MN2，点A在O上，AMN30，点B为 eq o(AN,sup8() 中点，P直径MN上的一个动点，则PAPB的最小值是 .13已知O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的两个根，则BAC的度数为_三、解答题14. （2016禅城区一模）如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）BAD=ACB；（2）AE=BE15.（2015宁波模拟）如图，等腰ABC中，AC=BC，O为ABC的外接圆，D为上一点，CEAD于E，求证：AE=BD+D

30、E16如图所示，AB是O的直径，C为的中点，CDAB于D，交AE于F，连接AC，求证：AFCF17.如图所示，O的直径AB长为6，弦AC长为2，ACB的平分线交O于点D，求四边形ADBC的面积【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】如图所示：连接BO，过点O作OEAB于点E，由题意可得：EO=BO，ABDC，可得EBO=30，故BOD=30，则BOC=150，故的度数是150故选：C2【答案】C【解析】正确.3.【答案】B 【解析】如图，AB=AC=AD，点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；CBD=2BDC，CAD=2CBD，BAC=2BDC，CAD=2BAC，而BAC=

31、44，CAD=88，故选B4.【答案】C 【解析】由弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，得AOC=60，AOC为等边三角形， 所以AO=AC，进而得到OA=OB=BC=AC，故则四边形OACB是菱形.5【答案】D 【解析】与BCE相等的角有5个，DAE=AED=ABD，BAD=BAE+DAE=BAE+ABD=BCE，同理ADO=ODE=OED=BCE，且ACD=BCE.6【答案】B 【解析】 CDB30， COB2CDB60，又AB为O的直径，CDAB， OCD30，在RtOEC中， cm， cm (cm) cm， CD3cm二、填空题7【答案】3； 8【答案】40； 【解析】A=55，E=3

32、0，EBF=A+E=85，A+BCD=180，BCD=18055=125，BCD=F+CBF，F=12585=409【答案】30； 10【答案】40； 【解析】 AOC130， ADCABC65，又ABCD， PCD906525， PADCPCD65254011【答案】； 【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧的中点，所以 OBAC，设BE=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得 22-x2=32-（3-x）2,解得，.或连接OA、OB，OABBCD，12【答案】；【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点（如图）此时PA+PB最小

33、，且等于AC的长连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60，则弧BN的度数是30，根据垂径定理得，弧 的度数是30，则AOC=90，又OA=OC=1，则AC= 13.【答案】15或75.【解析】方程x2-（2+2）x+4=0的解为x1=2，x2=2，不妨设：AB=2，AC=2 （1）如图，作OMAB于M，ONAC于N AB=2，AC=2， AM=， OA=2，在RtMAO中，MAO=45，AC=2， AN=， 在RtNAO中，NAO=30，BAC=15； （2）如图，BAC=75三、解答题14. 【答案与解析】证明：（1）BC是圆O的直径，BAC=90，BAD+CAD=90，又ADBC，AC

34、B+CAD=90，BAD=ACB；（2）弧BA等于弧AF，ACB=ABF，BAD=ACB，ABF=BAD，AE=BE15.【答案与解析】证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；在ACF和BCD中ACFBCD，CF=CD，CEAD于E，EF=DE，AE=AF+EF=BD+DE16.【答案与解析】证法一：连结BC，如图所示AB是直径，ACB90，即ACF+BCD90又CDAB，B+BCD90，ACFB点C是的中点， ，BCAE，ACFCAE，AFCF证法二：如图所示，连结BC，并延长CD交O于点HAB是直径，CDAB， 点C是的中点， ACFCAF， AFCF17.【答案与解析】AB是

35、直径，ACBADB90在RtABC中，AB6，AC2，ACB的平分线交O于点D，DCABCD，ADBD 在RtABD中，AD2+BD2AB262，ADBD 沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习垂径定理知识讲解（基础） 【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心

36、的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB6 cm，OD4 cm，则DC的长为（ ）A5 c

37、m B2.5 cm C2 cm D1 cm 【思路点拨】 欲求CD的长，只要求出O的半径r即可，可以连结OA，在RtAOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D； 【解析】连OA，由垂径定理知，所以在RtAOD中，（cm）所以DCOCODOAOD541（cm）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。举一反三：【高清：356965 ：例4-例5】【变式】如图，O中，弦AB弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。 【答案】2（2015巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若

38、AC=8cm，DE=2cm，求OD的长【答案与解析】解：E为弧AC的中点，OEAC，AD=AC=4cm，OD=OEDE=（OE2）cm，OA=OE，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，OD=OEDE=3cm【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【高清：356965 ：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且，AD=13. 求弦BC的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)

39、，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ） A5m B8m C7m D m【思路点拨】 解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题【答案】B；【解析】如图2，表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点，CDAB于D，CD表示拱高，O为的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB在RtAOD中，OA13，AD12，则OD2OA2AD213212225 OD5， CDOCOD1358，即拱高为8m【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论

40、）及勾股定理求解.4（2016惠安县模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 【思路点拨】作ODAB于D，连接OA，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长【答案与解析】解：作ODAB于D，连接OAODAB，OA=2，OD=OA=1，在RtOAD中AD=，AB=2AD=2故答案为：2【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32

41、m时是否需要采取紧急措施？请说明理由【答案】不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324， 解得R=34(m). 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2， x2-68x+256=0， 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)， DE=4m3m， 不需采取紧急措施沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习垂径定理知识讲解（提高） 【学习目标】理解圆的对称性；掌握垂径定理及其推论；3学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和

42、作图问题【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦

43、、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O的半径是 【答案】 eq r(,5).【解析】作OMAB于M、ONCD于N，连结OA， AB=CD，CE=1，ED=3， OM=EN=1，AM=2，OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，O两弦AB、CD垂直相交于H，

44、AH4，BH6，CH3，DH8，求O半径 【答案】如图所示，过点O分别作OMAB于M，ONCD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ， ， 在RtBOM中，【高清： 356965 ：例2-例3】【变式2】（2015春安岳县月考）如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长 【答案与解析】解：过O作OFCD，交CD于点F，连接OD，F为CD的中点，即CF=DF，AE=2，EB=6，AB=AE+EB=2+6=8，OA=4，OE=OAAE=42=2，在RtOEF中，DEB=30，OF=OE=1，在RtODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF=，则CD

45、=2DF=2【高清：356965 ：例2-例3】2. 已知：O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】 在O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作OMAB于点M， 并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ABCD ONCD，即ON为弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 图1 图2 (2)如图2所示，当O的圆心

46、O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在O中，直径MNAB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_【答案】2或8类型二、垂径定理的综合应用3. （2016乐山模拟）李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的根

47、据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？【思路点拨】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M则MN为直径取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC运用垂径定理和勾股定理即可求解【答案与解析】解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M则MN为直径取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OCABBD，CDBD，ABCDAB=CDABCD为矩形AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cmAG=GC=160cm，设O的半径为R，得R2=（R40）2+1602，解得R=340cm，3402=680（cm）答：

48、这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm【点评】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练勾股定理的表达式及垂径定理的内容，注意构造直角三角形4. 不过圆心的直线l交O于C、D两点，AB是O的直径，AEl于E，BFl于F (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OAOB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论 【答案与解析】(1)如图所示， 在图中AB、CD延长线交于O外一点；在图中AB

49、、CD交于O内一点； 在图中ABCD (2)在三个图形中均有结论：线段ECDF (3)证明：过O作OGl于G由垂径定理知CGGD AEl于E，BFl于F， AEOGBF AB为直径， AOOB， EGGF， ECEGCGGFGDDF【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习垂径定理巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在O上，AC=BC，CD平分ACB，交圆O于点D， 下列结论：CD是O的直径；CD平分弦AB；CDAB其中正确的有（）A2个 B3个 C4个

50、 D5个2下面四个命题中正确的是( )A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（ ） A2 B.3 C.4 D.5 第3题 第5题 第6题4O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是、，则BAC的度数为( ) A15 B45 C75 D15或755.（2015河东区一模）如图，在ABC中，C=90，A=25，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A25B30C50D656如图，

51、EF是O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）A3cmB4cmC8cm D6cm二、填空题7如图，O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是_8如图，P为O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，O的半径为5，则OP=_ 7题图 8题图 9题图9如图，O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则O的半径等于_cm10（2016南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm11在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OEAB，

52、F为OE的中点，CDAB，则弦CD的长为 AEOFBP (第12题)12如图，点A、B是O上两点，AB=10，点P是O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点F，则EF= .三、解答题13. （2016高安市一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径14如图所示，C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，

53、PEBC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长15如图所示，已知O是MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.求证：PB=PD.若角的顶点P在圆上或圆内，中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.（2015杭州模拟）如图，O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分BED（1）求证：AB=CD；（2）若BED=60，EO=2，求DEAE的值【答案与解析】一、选择题1【答案】D 【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2【答案】D【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3【答案】B 【解析】由垂径

54、定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在RtODH中，则，由此得R=， 所以AB=3.故选 B.4.【答案】D 【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论.5【答案】C； 【解析】连接CD，在ABC中，C=90，A=25，ABC=9025=65，BC=CD，CDB=ABC=65，BCD=180CDBCBD=1806565=50，=50故选C6【答案】D 【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.二、填空题7【答案】28【答案】9【答案】 10.【答案】50【解析】解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，直线l是它的对称轴，CM=30，AN=40，CM2+O

55、M2=AN2+ON2，302+OM2=402+（70OM）2，解得：OM=40，OC=50，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm故答案为：5011【答案】.【解析】连接OC,易求CF= CD=.12.【答案】5.【解析】易证EF是APB的中位线，EF=三、解答题13.【答案与解析】解：（1）如图：（2）过圆心O作半径COAB，交AB于点D设半径为r，则AD=AB=4，OD=r2，在RtAOD中，r2=42+（r2）2，解得r=5，答：这个圆形截面的半径是5cm14.【答案与解析】因为C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CDAB.由BC=10cm，且CE：BE=3：2，

56、得CE=6cm，BE=4cm，设则解得，.15.【答案与解析】（1）证明：过O作OEPB于E，OFPD于F. PO平分MPN OE=OF，PE=PF AB=CD，BE=DF PE+BE=PF+DF PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.16.【答案与解析】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，OE平分BED，且OMAB，ONCD，OM=ON，AB=CD；（2）如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OMAB，ONCD，DN= =AM=BM，在RtEON与RtEOM中，RtEONRtEOM（HL），NE=ME，CDDNNE=ABBMME，即AE=CE，D

57、EAE=DECE=DN+NECE= +NECE=2NE，BED=60，OE平分BED，NEO=BED=30，ON=OE=1，在RtEON中，由勾股定理得：NE=，DEAE=2NE=2沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系知识讲解（提高） 【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与d、r1、r2之间的等价条件并

58、灵活应用它们解题【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置

59、关系1直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径如果O的半径为r，圆心O到

60、直线的距离为d，那么要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4切线长定理：从圆外一点可以引圆的