§11用Mathematica进行广义积分运算

1、 6用进行广义积分运算用Mathematica广义积分的命令和求定积分的命令相同，都是:Integrate,x,下限，上限bf(x)dxa6.1无穷区间上广义积分的运算例61讨论笄二dx的敛散性。xlnxIn1:二Integrate1xlnx,x,2,InfinityOut1=+a所以,Ldx发散。xlnx例6.2计算广义积分厝exdxIn2:=IntegrateExp-x，x，0，+InfinityOut2=1例6.3计算广义积分+8gx2dx。先判断广义积分0gdx和x2+2x+2,g是否收敛。In3:=Integrate1/(xA2+2x+2)，x，-Infinity，01Out3=2(

2、+i(Log1-i-Log1+i)In4:=Integrate1/(xA2+2x+2)，x，0，+Infinity1Out4=2(-i(Log1-i-Log1+i)即上面两个广义积分收敛，故原广义积分收敛。下面计算其值In5:=Integrate1/(xA2+2x+2)，x，-Infinity，+InfinityOut5=6.2瑕积分的运算 例6.5计算广义积分02dx。(1x)2解In1：=021dx(1x)2 #Outl=，即广义积分发散。例6.6计算广义积分J6(x一4)3dx。解In:=Jo(x-4)tdxOut6=32l/3-3(-l)l/322/3定积分的收敛或发散有时依据被积分表

3、达式中的某个参数而定。例如两个重要广义积分:(1)J1ldx收敛鹰1)0 xa(2)J亠收敛(若a0时，积分收敛到占，否则发散。1In1:=e1=1xaOut1=IfRea1,+,xadx一1+a1例6.8计算广义积分J,eaxsinxdx解In2：=e1=j,ea*xSinxdxOut2=IfRea0,eaxSirxdx若积分时指定参数Re(a)-1，条件表达式Re(a)0成立，则求得积分结果In3：=e1/.a-1Out3=12若指定条件表达式不成立，则Mathematica会输出整个积分式In4:=el/.a兀Integrate:idiv:Integralof严Sinxdoesnotco

4、nvergeon0,8Out4=,eaxSinxdx我们也可以在Integrate命令中加入作为参数的假设条件，或者也可以指定不用条件表达式的积分结果,下表列出了Integrate命令的选项:选项默认值说明Assumptions假设的积分条件GenerateConditionsTrue是否用条件表达式的积分结果比如例6.2中，假设Re(a)-2因为符合Re(a)0，所以Mathematica能够求出积分。In5:=Integrateea*xSinx，x，0，8，AssumptionsRea-2Out5=1+a2若假设的条件不成立，Mathematica会输出原式，如例6.1中，若假设Re(a)

5、1，则假设的条件不成立，所以Mathematical出原式In6:=Integrate1/xa，（x，1，8），AssumptionsRea1Integrate:idiv:Integralofx-adoesnotconvergeon1，8Out6=Integratex-a，x，1，8，AssumptionsRea1设GenerateConditions为False则不使用条件表达式的积分结果:In7:=Integrate1/xa，（x，1，8），GenerateConditionsFalse1Out7=-1+a练习12.61、计算下列广义积分的值:(l),#e-x2dx；(2),f丄dx； #

6、 #380)3(4)J彳x_1/3e_xdX；(5)3_0 x1dx(6)J8eaxdx； #,1力J+8dx；0ex(10)J1lnxdx0,1力J+8dx;1x2(1+x),+8xe-x2dx；02、讨论下列广义积分的敛散性: # #(1)j+81dx；1-ex(3)10 x1-x4dx;(2)J21dx；o(x-1)2(4)J2ln(tanx)dxo0 练习12.6答案1、计算下列广义积分的值:(1)解In1:=IntegrateExp-xA2,x,0,InfinityOut1=解In2:=Integrate1/xA3,x,1,Infinity1Out2=2解In3:=Integrate

7、1/xA(1/3),x,0,8Out3=6解In4:=IntegratexA(-1/3)Exp-x,x,0,InfinityOut4=Gammx解In5:=Integrate,x,0,3x-1Log1+3Out=-2+23-2(-1+Log2)+2Log2+Log-1+3-(6)解In:=JExpa*xdx0Out6=IfRe(a)0,-1Jageaxdx0 #也可以通过1上式表示，当Re(a)0,结果是-，否则无法计算，仍输出原式。a选项指定参数的取值范围：In7:=IntegrateExpa*x,x,0,00,AssumptionsTavO1Out7=-af1解In8:=+gdx1x2(1+x)Out8=1-Log2 # (8)解In9:=f+g01ExpxdxOut9=2 解In10:=J+，x*Expx2dx01Out10=2(10)解In11:=JiLogxdx0Out11=-12、讨论下列广义积分的敛散性:解In1:=J+，Xdx11ExpxOut1=所以J+，xdx收敛。11ex(2)解In2:=J2d