新人教版九年级上册初中数学期末复习全册真题专项训练

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档一元二次方程及其应用一.选择题1（2019浙江杭州3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A2x+3（72x）30B3x+2（72x）30C2x+3（30 x）72D3x+2（30 x）72【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案【解析】解：设男生有x人，则女生（30 x）人，根据题意可得：3x+2（30 x）72【答案】D【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键.2. （2019河北2分）小刚在解关于x

2、的方程ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2则原方程的根的情况是（）A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x1D有两个相等的实数根【解析】解：小刚在解关于x的方程ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1，（1）24+c0，解得：c3，故原方程中c5，则b24ac1641540，则原方程的根的情况是不存在实数根【答案】A3. （2019河南3分）一元二次方程（x+1）（x1）2x+3的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【分析】先化成一般式

3、后，在求根的判别式【解析】解：原方程可化为：x22x40，a1，b2，c4，（2）241（4）200，方程由两个不相等的实数根【答案】A【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键4.（2019四川自贡4分）关于x的一元二次方程x22x+m0无实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1【分析】利用判别式的意义得到（2）24m0，然后解不等式即可【解析】解：根据题意得（2）24m0，解得m1【答案】D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等

4、的两个实数根；当0时，方程无实数根5.（2019广东省广州市3分）关于x的一元二次方程x2（k1）xk+20有两个实数根x1，x2，若（x1x2+2）（x1x22）+2x1x23，则k的值（）A0或2B2或2C2D2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2k1，x1x2k+2，结合（x1x2+2）（x1x22）+2x1x23可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解【解析】解：关于x的一元二次方程x2（k1）xk+20的两个实数根为x1，x2，x1+x2k1，x1x2k+2（x1x2+2）（x1x22）+2x1

5、x23，即（x1+x2）22x1x243，（k1）2+2k443，解得：k2关于x的一元二次方程x2（k1）xk+20有实数根，（k1）241（k+2）0，解得：k21或k21，k2【答案】D【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1x2+2）（x1x22）+2x1x23，求出k的值是解题的关键二.填空题1. （2019铜仁4分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为 【解析】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，

6、由题意得：5（1+x）27.2，解得：x10.220%，x22.2（不合题意舍去）答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%故答案是：20%2. （2019广西贺州8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即

7、可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入2018年该贫困户的家庭年人均纯收入（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论【解析】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）23600，解得：x10.220%，x22.2（舍去）答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%（2）3600（1+20%）4320（元），43204200答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元【点评】本题考

8、查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键3. （2019广东省广州市12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率【分析】（1）2020年全省5G基站的数量目前广东5G基站的数量4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年

9、平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】解：（1）1.546（万座）答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）217.34，解得：x10.770%，x22.7（舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键三.解答题1. （2019江苏无锡8分）解方程：（1）x22x50；（2）【分析】（1）利

10、用公式法求解可得；（2）两边都乘以（x+1）（x2）化为整式方程，解之求得x的值，继而检验即可得【解析】解：（1）a1，b2，c5，441（5）240，则x1，；（2）两边都乘以（x+1）（x2），得：x+14（x2），解得x3，经检验x3是方程的解【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键二次函数 一.选择题1. （2019贵阳3分）在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1）都在直线yx+上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的

11、取值范围是（）Aa2BaC1a或a2D2a【分析】分a0，a0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围【解答】解：抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，令x+ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2【答案】C【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键2. （2019河南3分）已知抛物线yx2+bx+4经过（2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A2B4C2D4【分析】根据（2，n）和（4，n）可以确定函

12、数的对称轴x1，再由对称轴的x即可求解；【解答】解：抛物线yx2+bx+4经过（2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x1，1，b2；yx2+2x+4，将点（2，n）代入函数解析式，可得n4；【答案】B【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键3.（2019天津3分）二次函数是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：且当x=时，与其对应的函数值，有下列结论：； - 2和3是关于x的方程的两个根；。其中，正确结论的个数是A.0 B.1 C. 2 D.3【答案】C【解析】由表格可知，二次函数过点（0，-2），（1，-2），对称轴为，c= - 2

13、,由图可知，所以正确；对称轴，当时，；二次函数过点（-1，m），（2，n），m=n，当时，m=a-b+c=a+a-2=2a-2，m+n=4a-4，4.（2019四川自贡4分）一次函数yax+b与反比列函数y的图象如图所示，则二次函数yax2+bx+c的大致图象是（）ABCD【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论【解答】解：一次函数y1ax+c图象过第一、二、四象限，a0，b0，0，二次函数y3ax2+bx+c开口向下，二次函数y3ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；反比例函数y2的图象在

14、第一、三象限，c0，与y轴交点在x轴上方满足上述条件的函数图象只有选项A【答案】A【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键，错误.故选C.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档5.（2019浙江杭州3分）在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）AMN1或MN+1BMN1或MN+2CMN或MN+1DMN或MN1【分析】先把两个函数化成一般

15、形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答【解答】解：y（x+a）（x+b）x2+（a+b）x+1，（a+b）24ab（ab）20，函数y（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，M2，函数y（ax+1）（bx+1）abx2+（a+b）x+1，当ab0时，（a+b）24ab（ab）20，函数y（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N2，此时MN；当ab0时，不妨令a0，ab，b0，函数y（ax+1）（bx+1）bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N1，此时MN+1；综上可知，MN或MN+1【答案】C【点评】本

16、题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数6.（2019浙江湖州3分）已知a，b是非零实数，|a|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1ax2+bx与一次函数y2ax+b的大致图象不可能是（）ABCD【分析】根据二次函数yax2+bx与一次函数yax+b（a0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题【解答】解：解得或故二次函数yax2+bx与一次函数yax+b（a0）

17、在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（0，）或点（1，a+b）在A中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，0，a+b0，故选项A错误；在B中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，由|a|b|，则a+b0，故选项B错误；在C中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，a+b0，故选项C错误；在D中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，由|a|b|，则a+b0，故选项D正确；【答案】D【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点7. （2019贵州省安顺市3

18、分）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OAOC则由抛物线的特征写出如下结论：abc0；4acb20；ab+c0；ac+b+10其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【解答】解：观察图象可知，开口方上a0，对称轴在右侧b0，与y轴交于负半轴c0，abc0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，即4acb20，故错误；当x1时yab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确设C（0，c），则OC|c|，OAOC|c|，A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c0，又c0，ac+b+10，故正确；故正确的结论有三个，【答

19、案】B8. （2019广西贺州3分）已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；ab+c0；3a+c0；当1x3时，y0，正确的是（填写序号）【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a0，根据图象与y轴交点可得c0，再根据二次函数的对称轴x1，结合a的取值可判定出b0，根据a、b、c的正负即可判断出的正误；把x1代入函数关系式yax2+bx+c中得yab+c，再根据对称性判断出的正误；把b2a代入ab+c中即可判断出的正误；利用图象可以直接看出的正误【解答】解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x1，b2a，a0，b0，abc0，故正确；把

20、x1代入函数关系式yax2+bx+c中得：yab+c，由抛物线的对称轴是直线x1，且过点（3，0），可得当x1时，y0，ab+c0，故错误；b2a，a（2a）+c0，即：3a+c0，故正确；由图形可以直接看出正确故答案为：【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）9. （201

21、9甘肃省庆阳市4分）将二次函数yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为y（x2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1，所以，y（x2）2+1故答案为：y（x2）2+1【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：ya（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：ya（xx1）（xx2）二.填空题1. （2019江苏无锡2分）某个函数具有性质：当x0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是yx2（答案不唯一）（只要写出一个符合题意的答案即可）【分析】根据函数的性质

22、写出一个反比例函数或二次函数为佳【解答】解：yx2中开口向上，对称轴为x0，当x0时y随着x的增大而增大，故答案为：yx2（答案不唯一）【点评】考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可2（2019广西贺州3分）已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；ab+c0；3a+c0；当1x3时，y0，正确的是（填写序号）【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a0，根据图象与y轴交点可得c0，再根据二次函数的对称轴x1，结合a的取值可判定出b0，根据a、b、c的正负即可判断出的正误；把x1代入函数关系式yax2+b

23、x+c中得yab+c，再根据对称性判断出的正误；把b2a代入ab+c中即可判断出的正误；利用图象可以直接看出的正误【解答】解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x1，b2a，a0，b0，abc0，故正确；把x1代入函数关系式yax2+bx+c中得：yab+c，由抛物线的对称轴是直线x1，且过点（3，0），可得当x1时，y0，ab+c0，故错误；b2a，a（2a）+c0，即：3a+c0，故正确；由图形可以直接看出正确故答案为：【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数

24、a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）3. （2019甘肃省庆阳市4分）将二次函数yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为y（x2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1，所以，y（x2）2+1故答案为：y（x2）2+1【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：ya（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：ya

25、（xx1）（xx2）三.解答题1. （2019河北12分）如图，若b是正数，直线l：yb与y轴交于点A；直线a：yxb与y轴交于点B；抛物线L：yx2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D（1）若AB8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x00，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b2019和b2019.5时“美点”的个数【解答】解：（1）当x0吋，

26、yxbb，B （0，b），AB8，而A（0，b），b（b）8，b4L：yx2+4x，L的对称轴x2，当x2吋，yx42，L的对称轴与a的交点为（2，2 ）； （2）y（x）2+，L的顶点C（）点C在l下方，C与l的距离b（b2）2+11，点C与1距离的最大值为1；（3）由題意得，即y1+y22y3， 得b+x0b2（x02+bx0）解得x00或x0b但x0#0，取x0b，对于L，当y0吋，0 x2+bx，即0 x（xb），解得x10，x2b，b0，右交点D（b，0）点（x0，0）与点D间的距离b（b）（4）当b2019时，抛物线解析式L：yx2+2019x 直线解析式a：yx2019联立上述两

27、个解析式可得：x11，x22019，可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且1和2019之间（包括1和2019）共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2021个整数点总计4042个点，这两段图象交点有2个点重复重复，美点”的个数：404224040（个）；当b2019.5时，抛物线解析式L：yx2+2019.5x，直线解析式a：yx2019.5，联立上述两个解析式可得：x11，x22019.5，当x取整数时，在一次函数yx2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数yx+2019.5x图象上，当x为偶数时，函

28、数值y可取整数，可知1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个故b2019时“美点”的个数为4040个，b2019.5时“美点”的个数为1010个2.（2019江苏无锡10分）已知二次函数yax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OAOB），与y轴交于点CD为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：CE2：1（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC若BCE的面积

29、为8，求二次函数的解析式；若BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围【分析】（1）确定C（0，4），则OAOB，则对称轴在y轴右侧，即，即可求解；（2）过点D作DMOy，则，求出D（m，6），B（4m，0）、OE8，由SBEF44m8，即可求解；分CDB为锐角、当BCD为锐角时，两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）令x0，则y4，C（0，4），OAOB，对称轴在y轴右侧，即a0，b0；（2）过点D作DMOy，则，设A（2m，0）m0，则AO2m，DMmOC4，CM2，D（m，6），B（4m，0），则，OE8，SBEF44m8，m1，A（2，0），B（4，0），设ya（x+2）（x4），

30、即yax22ax8a，令x0，则y8a，C（0，8a），8a4，a，；由知B（4m，0）C（0，4）D（m，6），则CBD一定为锐角，CB216m2+16，CD2m2+4，DB29m2+36，当CDB为锐角时，CD2+DB2CB2，m2+4+9m2+3616m2+16，解得2m2；当BCD为锐角时，CD2+CB2DB2，m2+4+16m2+169m2+36，解得，综上：，；故：【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例、勾股定理运用等，其中（1），用平行线分线段成比例，是本题解题的关键3. （2019江苏宿迁10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规

31、定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件设销售单价增加x元，每天售出y件（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意得到w（x30）2+2450，根据二次函数的性质得到当x30时，w随x的增大而增大，于是得到结论【解答】解：（1）根据题意得，yx+50；（2）根据题意得，（40+x）（x+50）2250，解得：x

32、150，x210，每件利润不能超过60元，x10，答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；（3）根据题意得，w（40+x）（x+50）x2+30 x+2000（x30）2+2450，a0，当x30时，w随x的增大而增大，当x20时，w增大2400，答：当x为20时w最大，最大值是2400元【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键4. （2019江苏宿迁12分）如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2AC

33、O求点P的坐标；（3）如图，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论若点P在x轴下方，延长AP到H，使AHAB构造等腰ABH，作BH中点G，即有PAB2BAG2ACO，利用ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H，求得直线A

34、H的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3） 解得：抛物线的函数表达式为yx2+2x3（2）若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AHAB，过点B作BIx轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HIBI于点I当x2+2x30，解得：x13，x21B（3，0）A（1，0），C（0，3）OA1，OC3，AC，AB4RtAOC中，sinACO，cosACOABAH，

35、G为BH中点AGBH，BGGHBAGHAG，即PAB2BAGPAB2ACOBAGACORtABG中，AGB90，sinBAGBGABBH2BGHBI+ABGABG+BAG90HBIBAGACORtBHI中，BIH90，sinHBI，cosHBIHIBH，BIBHxH3+，yH，即H（，）设直线AH解析式为ykx+a 解得：直线AH：yx 解得：（即点A），P（，）若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AHAH，则H与H关于x轴对称H（，）设直线AH解析式为ykx+a 解得：直线AH：yx+ 解得：（即点A），P（，）综上所述，点P的坐标为（，）或（，）（3）DM+DN为定值抛物线yx2+2x3

36、的对称轴为：直线x1D（1，0），xMxN1设Q（t，t2+2t3）（3t1）设直线AQ解析式为ydx+e 解得：直线AQ：y（t+3）xt3当x1时，yMt3t32t6DM0（2t6）2t+6设直线BQ解析式为ymx+n 解得：直线BQ：y（t1）x+3t3当x1时，yNt+1+3t32t2DN0（2t2）2t+2DM+DN2t+6+（2t+2）8，为定值【点评】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算6. （2 019江苏盐

37、城14分）如图所示二次函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点，点B在点A的右側，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0.（1）求A、B两点的横坐标；（2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.7. （2019河南11分）如图，抛物线yax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线yx2经过点A，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m当PCM是直角三角形时，求点P的坐标；作点B关于点C的对

38、称点B，则平面内存在直线l，使点M，B，B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：ykx+b的解析式（k，b可用含m的式子表示）【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）由PMx轴可得出PMC90，分MPC90及PCM90两种情况考虑：（i）当MPC90时，PCx轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当PCM90时，设PC与x轴交于点D，易证AOCCOD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解

39、析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标综上，此问得解；利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B，P的坐标，根据点P，B的坐标，利用待定系数法可求出直线PB的解析式，结合题意可知：直线l过点C，且直线l直线PB，再结合点C的坐标即可求出直线l的解析式【解答】解：（1）当x0时，yx22，点C的坐标为（0，2）；当y0时，x20，解得：x4，点A的坐标为（4，0）将A（4，0），C（0，2）代入yax2+x+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx2+x2（2）PMx轴，PMC90，分两种情况考虑，如图1所示（i）当MPC90时，PCx轴，点P的纵坐标为2当y2时，

40、x2+x22，解得：x12，x20，点P的坐标为（2，2）；（ii）当PCM90时，设PC与x轴交于点DOAC+OCA90，OCA+OCD90，OACOCD又AOCCOD90，AOCCOD，即，OD1，点D的坐标为（1，0）设直线PC的解析式为ykx+b（k0），将C（0，2），D（1，0）代入ykx+b，得：，解得：，直线PC的解析式为y2x2联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点P的坐标为（6，10）综上所述：当PCM是直角三角形时，点P的坐标为（2，2）或（6，10）当y0时，x2+x20，解得：x14，x22，点B的坐标为（2，0）点C的坐标为（0，2），点B，B关于点

41、C对称，点B的坐标为（2，4）点P的横坐标为m（m0且m0），点M的坐标为（m，0）分三种情况考虑，如图2所示：直线PB的解析式为y（m+4）x（m+4）（可利用待定系数求出）点B，B关于点C对称，点B，B，P到直线l的距离都相等，直线l过点C，且直线l直线PB，直线l的解析式为y（m+4）x2【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分MPC90及PCM90两种情况求出点P的坐标；利用待定系数法

42、及平行线的性质，求出直线l的解析式8.（2019四川自贡14分）如图，已知直线AB与抛物线C：yax2+2x+c相交于点A（1，0）和点B（2，3）两点（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入yax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M

43、作MHx轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BFBN，CFCN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可【解答】解：（1）由题意把点（1，0）、（2，3）代入yax2+2x+c，得，解得a1，c3，此抛物线C函数表达式为：yx2+2x+3；（2）如图1

44、，过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，将点（1，0）、（2，3）代入ykx+b中，得，解得，k1，b1，yABx+1，设点M（a，a2+2a+3），则K（a，a+1），则MKa2+2a+3（a+1）（a）2+，根据二次函数的性质可知，当a时，MK有最大长度，SAMB最大SAMK+SBMKMKAH+MK（xBxH）MK（xBxA）3，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大2SAMB最大2，M（，）；（3）yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线x1，当y0时，x11，x23，抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线

45、y的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则BFBN3，CFCH，由题意可列：，解得，a，F（1，）【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大9.（2019浙江杭州12分）设二次函数y（xx1）（xx2）（x1，x2是实数）（1）甲求得当x0时，y0；当x1时，y0；乙求得当x时，y若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数

46、的最小值（用含x1，x2的代数式表示）（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0 x1x21时，求证：0mn【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y（xx1）（xx2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x，当x时，y是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出mx1x2，n1x1x2+x1x2，再表示出mn，由已知0 x1x21，可求出0，0，即可求解【解答】解：（1）当x0时，y0；当x1时，y0；二次函数经过点（0，0），（1，0），x10，x21，yx（x1）x2x，当x时，y，乙说点的不对；（2）对称轴为x，当x时，y是函数的最小值；（3）二次函数

47、的图象经过（0，m）和（1，n）两点，mx1x2，n1x1x2+x1x2，mn0 x1x21，0，0，0mn【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键10.（2019浙江湖州6分）已知抛物线y2x24x+c与x轴有两个不同的交点（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y2x24x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知0；（2）求出抛物线对称轴为直线x1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【解答】解：（1）抛物线y2x24

48、x+c与x轴有两个不同的交点，b24ac168c0，c2；（2）抛物线y2x24x+c的对称轴为直线x1，A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x1时，y随x的增大而增大，mn；【点评】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键11.（2019天津10分）已知抛物线为常数，）经过点A（-1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的点.当b=2时，求抛物线的顶点坐标；点D（b，）在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值；点Q（，）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值.【解析】（I）抛物线经过点A（-1，0），1+b+c=0,即c=-b-

49、1所以当b=2时，c= - 3 ,所以顶点坐标为（1，- 4）.（II）由（I）知，c= - b-1，则因为点（b，）在抛物线上，所以b0， - b - 10点D在第四象限且在抛物线对称轴的右侧 如图，过点D作DEx轴，则E（b，0）AE=b+1，DE=b+1即AE=DE在RtADE中，ADE=DAE=45AD=AE又AM=AD，m=5b=（III）点Q（，）在抛物线上，则点Q（，）在第四象限，且在直线x=b的右侧,AM+2QM=2（AM+QM），可取点N（0，1）如图所示，过点Q作直线AN的垂线。垂足为G，QG与x轴相交于点M，有GAM=45，得AM=GM则此时点M满足题意过点Q作QHx轴于

50、点H，则点H（，0）在RtMQH中，可知QNH=MQH=45QH=MH，QM=MH点M（m，0）m=因为AM+2QM=b=4 12. 1. （2019广西贺州12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值【分析】（1）OAOC4OB4，即可求解；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即可求解；（3）PDHPsinPFD（

51、x4x2+3x+4，即可求解【解答】解：（1）OAOC4OB4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx23x4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：ykx4，将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4，OACOCA45，PHy轴，PHDOCA45，设点P（x，x23x4），则点H（x，x4），PDHPsinPFD（x4x2+3x+4）x2+2x，0，PD有最大值，当x2时，其最大值为2，此时点P（2，6）【点评

52、】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键2. （2019广东省广州市14分）已知抛物线G：ymx22mx3有最低点（1）求二次函数ymx22mx3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m0，用配方法或公式法求得

53、对称轴和函数最小值（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，m3），即xm+1，ym3，x+y2即消去m，得到y与x的函数关系式再由m0，即求得x的取值范围（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，4），函数H图象恒过点A（2，3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围【解答】解：（1）ymx22mx3m（x1）2m3，抛物线有最低点二次函数ymx22mx3的最小值为m

54、3（2）抛物线G：ym（x1）2m3平移后的抛物线G1：ym（x1m）2m3抛物线G1顶点坐标为（m+1，m3）xm+1，ym3x+ym+1m32即x+y2，变形得yx2m0，mx1x10 x1y与x的函数关系式为yx2（x1）（3）法一：如图，函数H：yx2（x1）图象为射线x1时，y123；x2时，y224函数H的图象恒过点B（2，4）抛物线G：ym（x1）2m3x1时，ym3；x2时，ymm33抛物线G恒过点A（2，3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yByPyA点P纵坐标的取值范围为4yP3法二：整理的：m（x22x）1xx1，且x2时，方程为01不成立x2，即x22xx

55、（x2）0m0 x11x0 x（x2）0 x20 x2即1x2yPx24yP3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用3. （2019甘肃省庆阳市12分）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，

56、请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分ACAQ、ACCQ、CQAQ三种情况，分别求解即可；（3）由PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）即可求解【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12）ax2ax12a，即：12a4，解得：a，则抛物线的表达式为yx2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（4，0）、（0，4），则AC5，AB7，BC4，OABOBA4

57、5，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：yx+4，同理可得直线AC的表达式为：yx+4，设直线AC的中点为K（，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为，同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：yx+，当ACAQ时，如图1，则ACAQ5，设：QMMBn，则AM7n，由勾股定理得：（7n）2+n225，解得：n3或4（舍去4），故点Q（1，3）；当ACCQ时，如图1，CQ5，则BQBCCQ45，则QMMB，故点Q（，）；当CQAQ时，联立并解得：x（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，m2+m+4），则点Q（m，m+4），OBOC，ABCOC

58、B45PQN，PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）（m2）2+，0，PN有最大值，当m2时，PN的最大值为：【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系4. （2019贵州省安顺市14分）如图，抛物线yx2+bx+c与直线yx+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC已知A（0，3），C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点

59、，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A（0，3），C（3，0）代入yx2+bx+c得：，解得：，抛物线的解析式是yx2+x+3；（2）将直线yx+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x0或4，A （0，3），B（4，1）当点B、C、M三点不共线时，|MBMC|BC当点B、C、M三点共线时，|MBMC|BC当点、C、M三点共线时，|MBMC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在RtBEC中，由勾股定理得BC，|MBMC|取最大值为；（3）存在

60、点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似设点P坐标为（x，x2+x+3）（x0）在RtBEC中，BECE1，BCE45，在RtACO中，AOCO3，ACO45，ACB180450450900，AC3，过点P作PQPA于点P，则APQ90，过点P作PQy轴于点G，PQAAPQ90PAGQAP，PGAQPAPGAACB90当时，PAGBAC，解得x11，x20，（舍去）点P的纵坐标为12+1+36，点P为（1，6）；当时，PAGABC，3，解得x1（舍去），x20（舍去），此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）.6. （2019广西贺州12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐