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1、第 页共3页阿氏圆模型-宫明璐（19.11.27）【问题背景】“PA+k PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点 P所在图像的不同来分类， 一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点 P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【知识储备】线段最值问题常用原理： 角形的三边关系：两边之和

2、大于第三边，两边之差小于第三边；点间线段最短；结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（二）点P在圆上运动 “阿氏圆”问题如图所示2-1-1 , OO的半径为r,点A、B都在。O外，P为。O上的动点，已知 r=k OB.连 接PA、PB,则当“PA+k-PB”的值最小时，P点的位置如何确定？图 2-1-1图 2-1-2图 2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“ k - PB”的大小， （如图2-1-2 ）在线段OB上截取OC使OC=k- r,则可说明 BPO与APCO相似，即 k - PB=PC本题求“PA+k-PB的最小值车t化为求“ PA+PC的最小值，即 A、P、

3、C三点共线时最小（如图 2-1-3 ）,本题得解。【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足 PA=kPB( kwi)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。“阿氏圆” 一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O (将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接)，则连接 OP、 OB ;第二步：计算出所连接的这两条线段OP、 OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP /OB k;第四步：在 OB上取点 C,使得 OC /OP OP /OB ;第五步：连接 AC,与圆O交点即为点 P.【模型类比】“阿氏圆”构造共边共角型相似P动生构造 PABA CAP 推出 PA 人 2 AB AC即：半径的平方=原有线段构造线段【问题解决】1.如图1,抛物线y=ax2+ (a+3) x+3 (aO与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,在x轴上有一动 点E (m, 0) (0vm4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线于点 P,过点P作PMLAB 于点M .(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设/ PMN的周长为Ci, AEN的周长为C2,若二,求m的值；(3)如图2,在(2)条件下，将线

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