《概率论与数理统计》(韩旭里-谢永钦版)习题五及答案

1、习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X估计P10X18.4【解】设尤表每次掷的点数，则X1=1E=1x2x3x4x5x6x=y9166666662x丄+2以+3心+4以+5以+6以=666666TOC o 1-5 h zoi(735从而Q(xj=e(苦)-=百-=6(2丿12又禺疋石石独立同分布.447从而EX)=E送X)=工=4x-=14,2=if=i2443535Q(X)=Q(工XJ=工Q(H)=4x=.f=l1=1丄/3所以P10vx18=P|-14|1-|40.271,j84%之间2假设一条生产线生产的产品合格率是08.要使一批产品的合格率达到在76%上的概率不小J;90%,问这

2、批产品至少耍生产多少件?1,若第】个产品是合格品,0,其他情形.而至少要生产刃件,则z=1,2,.a且XvX，E独立同分布，P=PX=08,现要求2使得WP07650.9.nYa;-0.8/1.0.76/1-0.8n台0.84?-0.8n、P一0.98x0.2J/?x08x02J/?xO8xO2由中心极限定理得 (0.84/?-0.8?一0.9,沖,查表寻整理得(101.64, #巾？一140）查表知m-140V42=1.64,曲=151.268.96,故取n=269.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位问至少供应

3、多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产【解】要确定最低的供应的电能炭，应先确定此车间同时开动的机床数目最丿、值加，而加要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,J-是我们只要供应15加单位电能就可满足要求令X表同时开动机床数目，则心（200,0.7）,E(A3=140,D(却=42,0.95=PQXm=P(Xio5的近似值.k=l【解】易知卫曙 #由中心极限定理知I,随机变最20YK-20 x5幺k-20 x5近似的z、型X2012Z=7N(0,l)100“JX20V12丁是P/105=P0.387沖1一(0.387)=0.348, 即有105)0348

4、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小J：3ni现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短J3m,则心(100,0.2)从而PXn30=lFXv30ulr30-100 x0.2100 x0.2x0.8 # #=1-(2.5)=1-0.9938=0.0062某药厂断言，该厂生产的某种药品刈丁医治一种疑难的血液病的治愈率为08.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少？若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.

5、7,问接受这一断言的概率是多少？1,0,第人治愈,其他 # #100令兀.1=1(1)XB(100,0.8),Pfl75亠冷75“-也：5-100心1=1IJlOOxO.8x0.2)=1一(一125)=0(1.25)=0.8944.(2)XB(100,0.7),100KEX、1=175=1FX575q1-75-100 x0.7x/100 x0.7x0.3=1一=1-0(1.09)=0.1379. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X,则j9=0.05,=10005(1000,0.05),E(X)

6、=50,D(X)=47,5.故FX=20=1(20-50、而而汀16.89530)6.895丿16.895300(6895丿=4.5xl06.设有30个电子器件.它们的使用寿命忌服从参数久=0.1单位：（小时）1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推令：T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】昭）=学寻10,D（7；）=A.=100,E（T）=10 x30=300,D（T）=3000.FT350-350-300/3000=1-0(0.913)=0.1814. #306x8-10/?、k10侖丿0.95=伽-2448、306x8=0.95,即0.051=

7、1 所以需272a元.10对J：一个学生而言，來参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长來参加会议的概率分别为0.05,0.8,015若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？（2）求有1名家长來参加会议的学生数不多340的概率-【解】（!）以&（戶12,400）记第z个学生來参加会议的家长数则孟的分布律为012P0.05080.15易知E(JVJ=11)Q(&)=0.191,2,.,400.400而X=工X-由中心极限定理得400耳注警N(0,l).74x19工尤-400 x1.11=

8、7400 x0.19J：是PX450=lFX5450ul450-400 x1.174x19=1一0（1.147）=0.1357.（2）以Y记有一名家长來参加会议的学生数.则YB（400,0.8）由拉普拉斯中心极限定理得/400 x0.8x0.2丿11.设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则XB（10000,0.515）耍求女孩个数不少男孩个数的概率，即求F005OOO.由中心极限定理有PX5000：00-10000 x0.515=1-0=0.00135.IJ10000 x0.515x0.485丿12设有1000个人

9、独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为09.以95%概率估计,在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用&表第？个人能够按时进入掩蔽体（?=1,2,1000）.令S,产Y1+Z+X10Q0（1）设至少有加人能够进入掩蔽体，要求/0.95,事件msn=1000 x0.9尹-900171000 x0.9x0.1硕)由中心极限定理知:Pm0.95.5/1000 x0.9x0.1丿从而加-900、790?0.05,所以加=9005.65=884.35=884人（2）设至多有M人能进入掩蔽体，耍求P00.95.加卡“M900I查表知一=165M=90OH565=

10、91565=916人.丁90在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费求：（1）保险公司没有利润的概率为多人；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多人？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则灼（10000,0.006）.（1）公司没有利润当且仅当“1000卫=10000X12”即120”.J：是所求概率为PX=1201V10000 x0.006x0.994120-10000 x0.006(p0000 x0.006x0.994 # (60-i(60/594)2e21=J_L

11、_TOC o 1-5 h zl/5964丿J5964=0.0517xZ30*0（2）因为缴公司利润60000当且仅当0r60nJ：是所求概率为(60-10000 x0.006、0-10000 x0.006)IVlOOOOx0.006x0.994丿QlOOOOx0.006x0.994)P0X60DTOC o 1-5 h zr60=6的估计-（2001研考）【解】令z=Y-r,有E(Z)=0,D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2%Jq(X)阿込=3.所以P|Z-（Z）|6=PX-Y6D（X7）=2=丄.6-3612某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在随机

12、抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少丁74户且不多丁T0户的概率近似值-（1988研考）【解】（1）X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2,因此，XB（100,0.2）,故X的概率分布是PX=k=CfgO/O.*00,上=1,2,100.（2）被盗索赔户不少F14户且不多J-30户的概率即为事件14X3069概率由中心极限定理，得r14-100 x0.2lJ100 x02x08丿P1430f30-100 x0.27100 x0.2x0.8丿=(2.5)-(一15)=0.994-933=0.927.生产线生产的产品成箱包装，每箱的重鼠是随机的假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最人载重帚为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大F0.977【解】设乂（R2“）是装运！箱