数学建模包第八章层次分析法

1、数学建模中的层次分析法层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介 一、层次分析法基本原理分解建立 确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相 对重要性权向量综合决策二、层次分析法基本步骤一、确定权系数设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：y=w1x2+w2x2+ +wnx 是综合评

2、判函数。w1,w2, wn是权重系数，其满足：wi0 ,对权重系数的量化过程（1）成对比较从 x1,x2,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。（2）建立逆对称矩阵由xi/xj建立n阶方阵A (3) 迭代按下列方法求向量迭代序列：e0=( 1/n 1/n 1/n)T ek=Aek

3、-1 | ek|为Aek-1 的n个分量之和ek= ek / | ek| , k=1,2, 数列 ek是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1 a2 an) 于是取权重系数wi=ai例1：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性有一名专家经成对，赋值：x1/x2=1 x1/x3=1 /5 x2/x3=1/3 于是得到逆对称矩阵由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上

4、公式算出的便是作品综合评分y。目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺

5、度 设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性A成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1, , Cn对O的权向量选择旅游地成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即一致阵性质成对比较阵和权向量2 4 6 8比较尺度aij Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其

6、互反数1,1/2, , 1/9尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强aij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。 便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重RI000.580.9

7、01.121.241.321.411.451.491.51 n1234567891110为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对

8、第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵CnBn最大特征根 1 2 n 权向量 w1(3) w2(3) wn(3) （2）考虑第3层对第2层由19尺度得权向量矩阵 （3）组合权向量（4）组合一致性检验第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58 (n=3), CIk

9、 均可通过一致性检验 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T旅游决策问题计算结果权向量C对U0.2640.4760.0540.0980.109m(2)CI(2)CR(2)5.0720.0180.016 准则C方案PC1C2C3C4C5组合权向量P对U权向量P对CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.667

10、0.455m(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.019再谈层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向

11、量第1层O第2层C1,Cn第3层P1, Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵二. 层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择

12、贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1 国家实力分析例2 工作选择通过组合一致性检验过河的效益 A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3 横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价 A经济代价 B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3 横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果

13、直接经济效益 C11间接经济效益 C12社会效益 C13学识水平 C21学术创新 C22技术水平 C23技术创新 C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4 科技成果的综合评价 例5 某单位招聘工作人员，考核指标有 x1= “语文知识” x2= “外语知识” x3= “国内外政治经济时事知识” x4= “计算机操作能力” x5= “公关能力” x6= “容貌与气质” x7=“体形高矮与胖瘦” x8= “音色”由此建立层次结构模型如下：对象的综合分知识能力表现x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.5000.1540.346 0.2500.750 0.4920.36

14、10.147 评价指标对应于目标层的权向量评价公式层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应用 2002年全国大学生数学建模竞赛B题： 已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的算法。 一、 问题的提出 已给的29种方案分为两种类型 1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从09十个号码中任选6个基本号码（可重复），从04中选一个特别号码，构成一注 。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级； 表1： “传统型” 中奖办法中 奖等 级10 选 6+1（6+1/10） 基 本

15、号 码 特别号码选7中一等奖abcdef g 6+1二等奖abcdef 6三等奖abcdeX Xbcdef 5四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef4五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 3六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 2 2、“乐透型”有多种不同的形式 如“33选7”的方案：投注者从0133个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。 表2： “透乐型”（7/33）中奖办法中 奖等 级33 选 7（7/33）基 本 号 码 特别号码说 明一等奖 选7

16、中（7）二等奖 选7中（6+1）三等奖选7中（6）四等奖 选7中（5+1）五等奖选7中（5）六等奖 选7中（4+1）七等奖选7中（4） 二、各方案各奖项获奖概率的计算 29种方案的获奖概率分为4类 ： K1：10选6+1型，带限定条件的可重复排列； K2：n选m型，有特别号码，带限定条件的组合； K3：n选m+1型，有特别号码，带限定条件的组合； K4：n选m型，无特别号码，组合； 三、各高项奖奖金额的计算当期销售总额总奖金比例 低项奖总额 单项奖比例 一等奖奖金额 （万元）其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底金额；Qij为第 i 种方案得第 j 等奖的单项奖比例； M为当期销售总额；n为低项奖总额； Q为总奖金比例。 四、层次分析模型彩票中奖方案选择 高项奖中奖率一等奖奖金额中奖率Pi方