数学分析 第二章课件函数1

1、数学分析研究：连续量间的依赖关系抽象出函数的概念 包括了离散量间的依赖关系第二章 函数X 称为函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量. 当 x 变化时. y 按法则 f 相应地变化. 记f (X) = y = f (x), xX 称 f (X)为函数 f 的值域.1 函数概念定义2.1设给定实数集合 X . 若存在一对应法则 f，使得对于 X 中的任一实数 x，存在唯一的实数 y R 与之对应，则称 f 是定义在 X 上的函数, 记为 f : X R或 f : x y也可记为 y = f (x), x X .定义域 (通常指自然定义域)对应法则 (关系)两个函数相等定义域相同对应法则

2、也相同1. 确定函数的两要素例如：与 相等吗？ 2. 一些常用的函数 x是定义在全体实数 R 上的函数, 但函数值是整数, 是离散的, 称此函数为取整函数记为：y = x, x (-, +).即 y 为不超过 x 的最大整数.于是有3.14 = 3, 3 = 3, -0.5 = -1,-3.14 = -4, -3 = -3设 X = R = (-, +), 对应法则为 f ,例1一般有x x x + 1 或 0 x - x 1若记 g(x) = x x, 得到一个新函数 g(x),定义域 ( ， )值域 0, 1) 我们都知道：几何图形是表示函数的一种重要方法，是研究函数最重要的工具之一。 函

3、数定义域的不同部分由不同的表达式表示，这样定义的函数称为分段函数。Oyx例2注意：分段函数是一个函数，不是两个或几个函数，只是在定义域内不同的范围对应关系不同，不能由同一个表达式表出。 这个函数称为狄利克雷函数值域：f (X) = 0, 1显然图形无法画出例3定义域为：2k x (2k + 1) , k = 0, 1, 2, . 这是一个特殊函数，对其定义域内任一点，其函数值均为常数 c .例4常值函数 f (x) = c, x X例53.函数的几种特性一、函数的奇偶性 设 X 是关于原点对称的 (即 若 xX, 则 -xX )， f 是定义在 X 上的函数. 若对任意 x X，有 f (-x

4、) = -f (x), 则称 f (x) 为奇函数；若对任意 x X，有 f (x) = f (-x), 则称 f (x) 为偶函数.定义2.2奇函数的图形特点是关于原点对称，而偶函数的图形特点是关于 y 轴对称。奇函数 y = x3偶函数 y = x2图形的对称性注意：定义中的等号为严格不等时，分别称为严格单调上升和严格单调下降，单调上升和单调下降函数统称单调函数设 f (x) 是定义在 X 上的函数，若对任意x1, x2X，当 x1 x2 ，有 f (x1) f (x2)， 则称 f (x) 在 X 上单调上升或单调递增；若对任意x1, x2X，当 x1 0, 对任意 xX，(x + T)

5、 X，有 f (x + T) = f(x), 则称 f(x) 是周期函数，T 称为 f (x) 的周期.定义2.4三、函数的周期性比较典型的如：三角函数.没有最小周期的函数任意正有理数都是它的周期，而正有理数是没有最小（正有理）数的 .周期函数的图形周期函数的图形可以将一个周期上的图形逐段平移而得到。只要知道了函数在一个周期上的图形，便可以作出整个函数的图形 .例如：y = x x 在 (-, +) 上是有界的，因为存在 M = 1, 使得当 x (-, +) 时，有 | x x | 1成立. 设 f (x) 在 X 上有定义. 若存在 M 0, 对任意 xX，有|f (x)| M，则称 f

6、(x) 在 X 上有界。定义2.5四、函数的有界性f(x) 在 X 上有界的充要条件是存在 A, B，使得证明：必要性：已知有界，即等价于取必要性得证充分性：已知即充分性得证，命题证完命题2.1通常称 A 为 f（x）在 X 上的下界通常称 B 为 f（x）在 X 上的上界函数的无界性设 f (x) 在 X 上有定义。若对任意 M 0, 都存在一 xMX，使得 | f (xM ) | M，则称 f (x)在 X 上无界。例证明：在 (0, 1) 内无界.注意：以上四个性质均为区间性质 约定：称函数具有某种性质（或称函数是*函数）是指函数在其自然定义域内具有这种性质。2、复合函数与反函数函数 四

7、则运算 复合运算 取反函数运算 函数运算定义域为 X, 且的定义域为 X . 更一般的如果则定义域为 定义2.61、复合函数 定义在 X 上的函数，称为 f 与 g 的复合函数，有时也记为 . u 称为中间变量.设函数的定义域为U，的，则是定义中条件注：不是任意两个函数都可进行复合而成为复合函数保证了复合函数 f (g(x)设求解：的定义域都是所以存在复合函数又5x+31当且仅当, 所以例1本题说明思考题：两个分段函数的复合函数设求解：，即是定义在X上的函数，如果对值域的每个y，都有唯一的使得则这样定义的 x 作为 y的函数，称为 f 的反函数，记为的反函数记为：定义2.72、反函数 如果通常注:函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递