专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案

1、蚂蚁爬行 的 最短路径一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5, -3, +10, -8, -9, +12,-10.IlliIlliIlliIlliI j-10-9-S-7-6-5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 6 7 6 910回答下列问题：(1)蚂蚁最后是否回到出发点0;(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到U 0；(2)(1+51+1-31+1+101+1-81+1-91+1+121+1-101) x2=114 粒如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A

2、出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距(2006?茂名)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4.如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线 是()A. A?P?BB. A?Q?BC. A?R?BD. A?S?B解：根据两点之间线段最短可知选A.故选A.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2, 一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是()解：如图，AB=M + 21 +12 = v10 .

3、故选 C.6.正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M, 一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点M所在的面，:BC的中点为M,1所以 MC= BC=1,在直角三角形中am=1*+Q+2）=H7.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。解：将盒子展开，如图所示：1111AB=CD=DF+FC= EF+ GF= x20+ 二 x20=20cm.2222A1L8故选C.F8.正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M, 一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.解：将正方体展开，连接M、D1,根据两点之间线

4、段最短，MD=MC+CD=1+2=3, , 广 8 -VMD八MD2 +DD12 =K + 22 *3 第 7 题D域 C9.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3x3个小正方形.其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用25秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.（1）展开前面右面由勾股定理得AB=?2+3）+，瘀cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB32+（2+2），5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5-2=2.5秒. (2009?恩施州)如图，长方体的长为15,

5、宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是。解：将长方体展开，连接A、B,根据两点之间线段最短，ab=W15十为七25.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长 如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为.解：正面和上面沿AB展开如图，DC 连接AC ,AABC是直角三角形，A寸 42 + 32 = 5A1 D,:.AC = AB 2 + BC2 =4 + G + 2高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，如图所示：有一个长、宽都是2米，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。解：由

6、题意得，路径一：ab顼3+2片2七，.用路径二：AB顼2+2)+3七5；路径三：AB顼3+N尸+砂=,嚣f%9 5,.5米为最短路径.如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：蚂蚁经过的最短路程；蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为徂5+3)2+辱二亢 (cm)；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为供4+矿+52 =褐(cm),或我冬+5尸+32二,，就(cm) 所以蚂蚁经过的最短路程是，商cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm

7、+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm.如图，在一个长为50cm,宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少?解：图cm.cm.AB = V902+303 = 30VI0 印 94.7点二佬部+7芦=如孟:松顷.cmv.采用图3的爬法路程最短，为危艺侦cm如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm. 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬 到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm， 则所走的最短线段是“顶存 =6 f5 cm

8、；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm， 所以走的最短线段是”萨商=,顽cm； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm， 所以走的最短线段是矿1萎+要=2牛53 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm. A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬 行到点B的最短路程为cm 解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3） x3cm，则蚂蚁沿台

9、阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm， 由勾股定理得：x2=202+ (2+3) x32=252,解得x=25.故答案为25.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂 蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。解：将台阶展开，如下图，因为AC=3x3+1x3=12，BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm)， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm.

10、（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm.解：PA=2x (4+2) =12，QA=5.PQ=13.故答案为：13.19.如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1,在砖的侧面展开图2上，连接AB, 则AB的长即为A处到B处的最短路程.AN图 1- 圉）解：在RtAABD中，因为AD=AN+加=5+10=15, BD=8,所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289

11、=172.所以 AB=17cm.故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.（2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角a处沿着木柜表面爬到柜角q处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;（3）求点B1到最短路径的距离.解：（1）如图， 木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACCA1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC：和AC1.（2分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C爬过的路径的长是1 = 1逐+&+$）= 97. （3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1

12、到C，爬过的路径的长是质=戒-4+守+砂=用两（4分）/1/2，故最短路径的长是妁=布9.（5分）(3)作 B1E1AC1 于 E,则日妥=技产恐=惫号二蠢/我为所求.(8分)有一圆柱体如图，高4c祖，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.D分别是E，AF的中点.行的最短距离.AC=h AD2 + CD2 就AC=AD2 + CD2 5Cm.AF=2n?5=10n. AD=5n.A故答案为：16cm.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为.解：AB=W52 +12

13、2 = 13 m 一，一，一W一，6、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高宗 的端点A到达A1，若圆柱底面半径为-，高第3题为5,则蚂蚁爬行的最短距离为解：因为圆柱底面圆的周长为2nx- =12，高为5所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为寸撰+1艘=13.故蚂蚁爬行的最短距离为13.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：DG由于圆柱体的底面周长为24cm，则 AD=24x =12cm.又因为 CD=AB=9cm,所以 AC=U12+9=i5cm.故蚂

14、蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.故答案为：15.（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm, AA1, BB1为相对的两条母线.在 AA1上有一个蜘蛛Q, QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P, PB=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点 吃苍蝇，最短的路径是cm（结果用带n和根号的式子表示）解：QA=3, PB1=2,即可把PQ放到一个直角边是4兀和5的直角三角形中，根据勾股定理得：qp=V16戒+恭同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的 中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.问题：某正方体盒

15、子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处， 如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.A解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图.示的位置，连接AM,即是这条最短路线图.27.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是.一一/n兀x 4 解：.圆锥的底面周长是4江，则4村，180.n=180即圆锥侧面展开图的圆心角是180，/ -.在圆锥侧面展开图中AP=2, AB=4，ZBAP=90，.在

16、圆锥侧面展开图中bp=20 = 盘，第5题 .这只蚂蚁爬行的最短距离是20m.故答案是：2*5 cm.28.如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，ZCOB=150，D为VB上一点，VD=K中仕.现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D.则蚂蚁爬行的最短路程是（）a 150ttx3 5解:必=F=W， .设孤BC所对的圆心角的度数为n，5tt TlWXEiT= 解得n=90，.ZCVD=90.CD=申+7=4仍29.已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且ZAOA 1=120, 一只蚂蚁欲从圆 锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点

17、A.则蚂蚁爬行的最短路程长为。第4题，c4nn2兀=180解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为泸 根据底面周长等于展开后扇形的孤长得，解得n=90，所以展开图中圆心角为90， 根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是:16 +16 =、旬 =4板2 .31.（2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是。解：由题意知底面圆的直径=2， 故底面周长等于2n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，4n兀根据底面周长等于展开后扇形的孤长得2n=，180解得n=90， 所以展开图中的

18、圆心角为90， 根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4撬232.（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6, D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为。解：由题意知，底面圆的直径AB=4,故底面周长等于4n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,根据底面周长等于展开后扇形的孤长得4n=2n兀 x 6360解得 n=120,所以展开图中ZAPD=1202=60,根据勾股定理求得ad=3所以蚂蚁爬行的最短距离为333.如图，圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆 锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形