2025届高三数学一轮总复习 第六章 专题六 几何体的外接球与内切球问题配套课件

专题六几何体的外接球与内切球问题2025年高考一轮总复习第六章

立体几何题型一定义法

定义法一般用于解决旋转体、正棱锥以及正棱柱的切、接问题.球心一般在旋转体的轴或正棱锥的高所在的直线上，解题的关键是先作轴截面并大致作出球心，再用待定系数法把关键长度设为未知数，根据外接球的球心到球面上各点距离相同、内切球的球心到各切点距离相同，最后用勾股定理等几何方法求出球的半径.[例1]已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为()A.π

3πB. 2C.2πD.3π

解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图6-1所示.设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB图6-1答案：C

[例2]棱长为1的正四面体ABCD内有一个内切球O，M为CD中点，N为BM中点，连接AN交球O于P，Q两点，则PQ的长为()解析：如图6-2所示，设△BCD的中心为E，则AE⊥平面BCD.

图6-2因为正四面体ABCD的棱长为1，作出正四面体ABCD过A，B，M三点的截面，如图6-3所示.

图6-3答案：A答案：A【题后反思】三棱锥的内切球半径可通过等体积法求得，即内切球半径r＝3V棱锥

S表.注意四棱锥不一定有内切球.【互动探究】1.某圆台的上、下底面半径分别为1和2，若该圆台的外接球的表面积为16π，则该圆台的高为__________.

解析：因为圆台上、下底面的圆心与球心在同一直线上，所以设球心到上底面的距离为d1，到下底面的距离为d2，圆台的轴截面如图D33所示.图D33图D34因此球的半径R满足R2＝r2＋d2＝12＋3＝15.所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×15＝60π.答案：60π题型二补形法

若几何体可通过补形的方法变成常见的易求外接球的几何体(如长方体、圆柱、直棱柱等)，可通过求补形后的几何体的外接球半径来确定原几何体的外接球半径.∴PA2＋PB2＋PC2＝8.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作长方体，如图6-4所示.图6-4答案：B[例5]在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝3，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为()A.C.22πB.11πD.44π解析：如图6-5，把三棱锥A-BCD补形为长方体AHDG-EBFC.图6-5长方体的外接球为三棱锥A-BCD的外接球.答案：B外接球，所得截面的面积是

[例6](多选题)在《九章算术》中，四个面都为直角三角形的四面体被称为鳖臑.如图6-6，在四面体S-ABC中，△ABC是直角三角形，AB⊥BC，点E，F分别是SB，BC的中点，且AE⊥SC，SA＝AB＝2，SC＝2，BC＝4，则下列说法正确的是()A.BC⊥平面SABB.四面体S-ABC是鳖臑C.点E是四面体S-ABC外接球的球心D.过A，E，F三点的平面截四面体S-ABC的图6-6解析：∵SA＝AB，SE＝EB，∴AE⊥SB.又AE⊥SC，SB∩SC＝S，∴AE⊥平面SBC，则AE⊥BC.又AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，故A正确.由BC⊥平面SAB，得BC⊥SA，∵AB＝2，BC＝4，又SA＝2，SC＝2

∴SA2＋AC2＝SC2，可得SA⊥AC. 而AC∩BC＝C， ∴SA⊥平面ABC. 综上所述，四面体S-ABC的四个面都是直角三角形，四面体S-ABC是鳖臑，故B正确. ∵△SAC，△SBC都是以SC为斜边的直角三角形，则SC的中点G为四面体S-ABC外接球球心，故C错误.

如图6-7所示，把四面体S-ABC补全为长方体ABCD-SPMN，其中SA，AB，BC为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱，点H为PM中点.图6-7答案：ABD【互动探究】解析：如图D35所示，把正四面体P-ABC补全为正方体AMPN-HBGC，其中正四面体的楞均为正方体表面的对角线.正四面体P-ABC外接球的球心为正方体的中心O，F为AC中点，连接OF.图D35∵点Q是球面上任意一点，答案：C

4.(多选题)如图6-8，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，点G为线段AF上的动点.下列说法正确的是()A.DF⊥平面AECB.多面体ABCDEF的外接球的表面积为3π图6-8解析：如图D36所示建立空间直角坐标系.图D36D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(0，0，1)，F(1，1，1).又AC∩AE＝A，∴DF⊥平面AEC，故A正确.

∵底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，∴几何体ABCDEF可以补成一个棱长为1的正方体，如图D37所示.图D37

取DF的中点O，可得O为正方体外接球的球心，即O为几何体ABCDEF外接球的球心.∴几何体ABCDEF的外接球的半径为R＝其表面积为S＝4πR2＝3π，故B正确.如图D38所示，把△ADF沿AF折成与△BAF共面，连接BD.图D38答案：ABD【题后反思】补形法的注意事项

(1)若几何体存在三条两两互相垂直的棱，可通过构造墙角模型把几何体补形为长方体(如图6-9)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出外接球的半径R.图6-9

(2)若三棱锥的对棱两两等长，则可把六条棱看作是长方体六个面的对角线(如图6-10)，通过列方程组的方式求出长方体的体对角线的长度，外接球的半径R为长方体的体对角线的一半.特别地，正四面体可补形成正方体，这也是正四面体常用的建系方式之一.图6-10

(3)需要注意的是，原几何体的顶点必须是补形后几何体的顶点，否则不能通过补形法来求外接球.

题型三利用三角形的外心探索外接球BD⊥CD.将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面体A′BCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为()

解析：如图6-11，设BD，BC的中点分别为E，F，连接A′E，EF. ∵点F为底面Rt△BCD的外心， ∴四面体A′BCD的外接球的球心必在过点F且与平面BCD垂直的直线l1上.又点E为Rt△A′BD的外心，图6-11∴外接球的球心必在过点E且与平面A′BD垂直的直线l2

上.∴球心为l1

与l2

的交点.又FE∥CD，CD⊥BD，∴FE⊥平面A′BD.∴球心为点F.又A′B＝A′D＝CD＝1，答案：A

【题后反思】(1)三棱锥外接球的球心在三棱锥各个面上的正投影为各个面三角形的外心. (2)若三棱锥中有一条侧棱与底面垂直，则三棱锥外接球的半

，其中r是底面三角形外接圆的半径，h是三棱径R＝锥的高.

【互动探究】

5.在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD绕直线BD旋转到△A′BD，使得四面体A′BCD外接球的表面积为18π，则此时二面角A′-BD-C的余弦值为()

解析：如图D39所示，取BD的中点E，连接A′E，CE，则BD⊥A′E，BD⊥CE.由题意可知△A′BD和△BCD都是边长为3的等边三角形，设M