半导体物理1-3常见半导体的能带结构

1、1.4 常见半导体的能带结构 Energy-band of Si,Ge and GaAs1、E（k）- k 关系和等能面一、k空间等能面 设一维情况下能带极值在k=0处，且导带底附近价带顶附近E(0)分别为导带底能量和价带顶能量。（1-1）（1-2）Energy-band of Si,Ge and GaAs 对各向同性的三维晶体，以kx、ky、kz为坐标轴构成k空间，如图:其中（3-4） 设导带底位于k=0，其能值为E(0)，导带底附近（3-3） 当E(k)为某一定值的面称为等能面。可以看出，（3-4）式表示的是一系列半径为 的球面。 表示的是等能面在kykz平面上的截面图，它是一系列环绕坐标

2、原点的圆。 对各向异性的晶体，E(k)与k的关系沿不同的k方向不一定相同，反映在沿不同的k方向，电子的有效质量不一定相同，而且能带极值不一定位于k=0处。设导带底位于k0处，能量为E(k0)，在晶体中选取适当的坐标轴kx、ky、kz，并令mx*、my*、mz*分别表示沿kx、ky、kz三个方向的导带底电子的有效质量，E(k)用泰勒级数在极值k0附近展开，略去高次项，得（1-5） 上式代表的是一个椭球等能面。等能面上的波矢k与电子能量E之间有着一一对应的关系，即： k 空间中的一个点对应一个电子态 因此，为了形象直观地表示 E（k）- k 的三维关系，我们用k空间中的等能面来反映 E（k）- k

3、 关系。Energy-band of Si,Ge and GaAs式中（1-6）也可将（1-5）写为如下形式（1-7）式中Ec表示E(k0) 这是一个椭球方程，各项的分母等于椭球各半轴长的平方，这种情况下的等能面是环绕k0的一系列椭球面。如图，为等能面在kykz平面上的截面图，它是一系列椭圆。 要具体了解这些球面和椭球面的方程，最终得到能带结构，必须知道有效质量的值。测有效质量的方法很多，第一次直接测出有效质量的是回旋共振实验。二、回旋共振 将一块半导体样品置于均匀恒定的磁场中，设磁感应强度为B，如半导体中电子初速度为v，v与B间夹角为，则电子受到的磁场力f为 f = -qvB （1-8）力的

4、大小 f = qvBsin= qvB （1-9）式中v= vsin ，为v在垂直于B的平面内的投影。力的方向垂直于v与B所组成的平面。因此，电子沿磁场方向以速度v=vcos 作匀速运动，在垂直于B的平面内作匀速圆周运动，运动轨迹是一 螺旋线。设圆周半径为r，回旋频率为c，则v= r c，向心加速度a=v2/r，则可以得到c为 若电磁波通过样品，当交变电磁场频率等于回旋频率c时，就可以发生共振吸收。(等能面是球面，有效质量为标量)。如果测出共振吸收时电磁波的频率和磁感应强度B，便可以由（1-10）式算出有效质量。（1-10） 如果等能面不是球面，而是如式（1-7）所表示的椭球面，则有效质量是各向

5、异性的，沿kx、ky、kz方向分别为mx*、my*、mz*。设B沿kx、ky、kz轴的方向余弦分别为、，则:电子的运动方程为 电子应作周期性运动，取试解 代入上式，得要使有非零解的条件是其系数行列式由此解得电子的回旋频率（1-11） 如果等能面是球面，由式（1-10）看到，改变磁场方向时只能观察到一个吸收峰，但是n型硅、锗的实验结果指出，当磁感应强度相对于晶轴有不同取向时，可以得到为数不等的吸收峰，例如硅：（1）若B沿111晶轴方向，只能观察到一个吸收峰；（2）若B沿110晶轴方向，可以观察到二个吸收峰；（3）若B沿100晶轴方向，也能观察到二个吸收峰；三、硅和锗的导带结构 显然，这些结果不能

6、从等能面是各向同性的假设得到解释。如果认为硅导带底附近等能面是沿100方向的旋转椭球面，椭球长轴与该方向重合，就可以很好的解释上面的实验结果。这种模型得出导带最小值不在k空间原点，而在100方向上。根据硅晶体立方对称性的要求，也必须有同样的能量在的方向上，如图，共有六个旋转椭球面，电子主要分布在这些极值附近。 设k0s表示第s个极值所对应的波矢，s=1,2,3,4,5,6，极值处能值为Ec， k0s沿方向共有六个，极值附近的能量Es(k)为该式表示六个椭球等能面的方程 （1-12） 如选取E0为能量零点，以k0s为坐标原 点，取k1、k2、k3为三个直角坐标轴，分别与椭球主轴重合。即使等能面分

7、别为绕k1,k2,k3轴旋转的旋转椭球面。 以沿001方向的旋转椭球面为例。设k3轴沿001方向，即沿kz方向，则k1、k2轴位(001)面内并互相垂直，这时，沿k1、k2轴的有效质量相同。 现令mx*=my*=mt，mz*= ml， mt 和ml分别称为横有效质量和纵有效质量，则等能面方程为: 对其它五个椭球面可以写出类似的方程。 如果选取k1，使磁感应强度B位于k1轴和k3轴所组成的平面内，且同k3轴交角，则在这个坐标系里，B的方向余弦、分别为: = sin ，=0， = cos （9-13）（1）磁感应沿001方向，这时磁感应与k3的夹角给出cos2=1，由（914）式得：B沿k1,k2

8、方向，cos2=0。对应的mn*值分别是因而也可以观察到两个吸收峰。 （1-15）（1-16）代入式（1-11），得讨论：（1-14） （2）磁感应沿方向，若B在k1k2平面，这时cos2=0，sin2=1,得若B在k1k3平面，这时cos2=sin2=1/2即能测得两个不同的mn*的值，因而可以观察到两个吸收峰。（9-17）（9-18）（3）磁感应沿方向，则与上述六个方向的方向余弦222=1/3，于是由（911）式得由=c=qB/mn*可知，因为mn*只有一个值，当改变B时，只能观察到一个吸收峰。（9-11）（9-19）根据实验数据得出硅的 m0为电子惯性质量 仅从回旋共振试验还不能决定导带

9、极值（椭球中心）的确定位置。通过施主电子自旋共振试验得出，硅的导带极值位于方向的布里渊区中心到布里渊区边界的0.85倍处。 n型锗的实验结果指出，锗的导带极值极小值位于方向的边界上，共有八个。极值附近等能面为沿方向旋转的八个旋转椭球，每个椭球面有半个在第一布里渊区内，在简约布里渊区内共有四个椭球。试验测得锗的硅和锗在第一布里渊区中导带等能面示意图四、硅和锗的价带结构 硅和锗的价带结构也是一方面通过理论计算，求出E(k)与k的关系，另一方面由回旋共振试验定出其系数，从而算出空穴有效质量。 通过理论计算及p型样品的实验结果指出，价带顶位于k=0，即在布里渊区的中心，能带是简并的。如不考虑自旋，硅和

10、锗的价带是三度简并的。计入自旋，成为六度简并。计算指出，如果考虑自旋-轨道耦合，可以取消部分简并，得到一组四度简并的状态和另一组二度简并的状态，分为两支。四度简并的能量表示式二度简并的能量表示式为 式中是自旋-轨道耦合的分裂能量，常数A、B、C由计算不能准确求出，需借助于回旋共振试验定出。（1-20）（1-21） 由式（9-20）看到，对于同一个k，E(k)可以有两个值，在k=0处，能量相重合，这对应于极大值相重合的两个能带，表明硅、锗有两种有效质量不同的空穴。 如根式前取负号，得到有效质量较大的空穴，称为重空穴，有效质量用(mp*)h表示； 如取正号，则的有效质量较小的空穴，称为轻空穴，有效

11、质量用(mp*)l表示。 式（1-21）表示的第三个能带，由于自旋-轨道耦合作用，能量降低了，与以上两个能带分开，等能面接近于球形。对于硅约为0.04eV，锗的约为0.29eV，它给出第三种有效质量(mp*)3。由于等能面与球形等能面近似，空穴的有效质量是各向同性的。 所以硅、锗得价带分为三个带，分别是重空穴带（曲率小的）、轻空穴带（曲率大的）和劈裂带。由于劈裂带是离开价带顶的，一般只对前两个能带感兴趣。 另外，重空穴比轻空穴有较强的各向异性。理论和实验相结合得出的硅、锗沿和方向上的能带结构图。 硅和锗的价带顶Ev都位于布里渊区中心，而导带底Ec则分别位于方向的布里渊区中心到布里渊区边界的0.

12、85倍处和简约布里渊区边界上，即导带底与价带顶的能量对应的波矢不同。这种半导体称为间接禁带半导体。 最后指出，硅、锗的禁带宽度是随温度变化的。 在T=0K时，硅、锗的禁带宽度Eg分别趋近 于 EgSi=1.170eV， EgGe=0.7437eV随着温度升高， Eg按（1-22）规律减小。式中Eg(T)和Eg(0) 分别表示温度为T和0K时的禁带宽度。温度系数和分别为： 硅： = 4.7310-4eV/K = 636K 锗： = 4.77410-4eV/K = 235K T=300K时， EgSi=1.12eV， EgGe=0.67eV所以Eg具有负温度系数。 对半导体来说，导带底和价带顶的能

13、量差，即禁带宽度Eg是十分重要的量，因此采用一种简化的能带图。图的水平方向常表示实际空间的坐标。回旋共振：直接测得有效质量的实验Energy-band of Si,Ge and GaAs2、Si、Ge和GaAs能带结构的基本特征 1）Si的能带结构Energy-band of Si,Ge and GaAsEg2）Ge的能带结构Energy-band of Si,Ge and GaAsEg （1）禁带宽度Eg随温度增加而减小 即Eg的负温度特性Energy-band of Si,Ge and GaAsdEg/dT=-2.810-4eV/KdEg/dT=-3.910-4eV/K主要特征：Ge、Si能带结构的 (2) 禁带宽度Eg: T=0: Eg (Si) = 0.7437eV Eg (Ge) = 1.170eVEnergy-band of Si,Ge and GaAs（3）间接能隙结构 3)GaAs的能带结构Energy-band of Si,Ge and GaAs0.29eVEgGaAs能带主要特征：（1）Eg负温度系数特性： dEg/dT = -3