人教版八下数学 专题6 与正方形有关的计算与证明

1、人教版八下数学 专题6 与正方形有关的计算与证明如图，已知正方形 ABCD，点 P 在对角线 BD 上，PEPA 交 BC 于点 E，PFBC，垂足为 F(1) 求证：PEC=BAP；(2) 求证：EF=FC；(3) 求证：DP=2CF如图，分别以 ABC 的边为边向外作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点求证：(1) AO=12BC；(2) AOBC如图，在平面直角坐标系中，放置一个边长为 5 的正方形 ABCD，使得它的两个顶点 B 和 A 恰好落在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上，M 为正方形的中心(1) 若点 B 和点 A 在 x 轴和 y 轴上滑

2、动，求证：在这个运动过程中，M 始终在第一象限的角平分线上；(2) 若点 A 运动到点 0,3，求此时点 M 的坐标已知：如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上的一个动点（与点 A，C 不重合），过点 P 作 PEPB，PE 交边 CD 于点 E，过点 E 作 EFAC，垂足为 F(1) 求证：PB=PE；(2) 在点 P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由答案1. 【答案】(1) 在四边形 ABEP 中，BAP+APE+BEP+ABE=360， BAP+BEP=360-90-90=180， BE

3、P+PEC=180， BAP=PEC(2) 如答图，连接 PC BA=BC，ABP=CBP=45，BP=BP， ABPCBP， BAP=BCP， BAP=PEC， PEC=BCP， PE=PC， PFBC， EF=FC(3) 如答图，作 PMDC，垂足为 M，则 DPM 是等腰直角三角形， DP=2PM， PMDC，PFBC，DCBC， 四边形 PFCM 是矩形， PM=CF， DP=2CF2. 【答案】(1) 如答图，延长 AO 至点 H，使 OH=AO，连接 GH，EH，延长 OA 交 BC 于点 M OA=OH，OG=OE， 四边形 AGHE 是平行四边形， GH=AE，GHAE， AG

4、H+GAE=180， 四边形 ABFG，四边形 ACDE 是正方形， AG=AB，AE=AC=GH，GAB=CAE=90， BAC+GAE=360-GAB-CAE=180， BAC=AGH， BACAGHSAS， BC=AH=2AO， AO=12BC(2) 由 BACAGH 得 ABC=GAH GAH+GAB+BAM=180， GAH+BAM=90， ABC+BAM=90， AMB=180-ABC+BAM=90， AOBC3. 【答案】(1) 作 MEy 轴于点 E，作 MFx 轴于点 F，如答图所示 AOB=90， 四边形 EMFO 是矩形， MEA=MFB=90，EMA+AMF=90， 四

5、边形 ABCD 是正方形， MA=MB，AMF+FMB=90， EMA=FMB，在 MEA 和 MFB 中， MEA=MFB,EMA=FMB,MA=MB, MEAMFBAAS， ME=MF， 四边形 EMFO 是正方形， 点 M 始终在 AOB 的平分线上， 点 M 始终在第一象限的角平分线上(2) 点 A 运动到点 0,3， OA=3， AB=5， OB=AB2-OA2=52-32=4，作 MEy 轴于点 E，作 MFx 轴于点 F，作 CNx 轴于点 N，如答图，则 MFOACN，四边形 AONC 是直角梯形，四边形 EMFO 是正方形， AOB=CNB=90， 四边形 ABCD 是正方形

6、， MA=MC，AB=BC，ABC=90， MF 是直角梯形 AONC 的中位线，ABO+CBN=90， BAO+ABO=90， BAO=CBN，在 BAO 和 CBN 中， AOB=CNB,BAO=CBN,AB=BC, BAOCBNAAS， CN=OB=4， MF=12OA+CN=123+4=72， 点 M 的坐标为 72,724. 【答案】(1) 过点 P 作 PGBC 于点 G，过点 P 作 PHDC 于点 H，如答图 四边形 ABCD 是正方形，PGBC，PHDC， GPC=ACB=ACD=HPC=45 PG=PH，GPH=PGB=PHE=90 PEPB，即 BPE=90， BPG=90-GPE=EPH在 PGB 和 PHE 中， PGB=PHE,PG=PH,BPG=EPH, PGBPHEASA， PB=PE(2) 连接 BD，交 AC 于点 O，如答图 四边形 ABCD 是正方形， BOP=90 PEPB，即 BPE=90， PBO=90-BPO=EPF EFPC，即 PFE=90， BOP=PFE，在 BOP 和 PFE 中， PBO=EPF,BOP=PFE,PB