三角形综合题2022年广州数学中考一模汇编

1、三角形综合题2022年广州数学中考一模汇编如图，点 D，E 在 ABC 的边 BC 上，AB=AC，BD=CE求证：AD=AE如图，C 是线段 AB 的中点，CDBE，且 CD=BE，求证：AD=CE如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，B+AEC=180，BAC=D，BC=CE求证：AC=DC如图，ABC 中，BD 是 ABC 的角平分线(1) 尺规作图：作线段 BD 的垂直平分线 EF，交 AB 于点 E，交 BG 于点 F（保留作图痕迹，不要求写作法）(2) 连接 DE，若 DE=4，AE=3，求 BC 的长如图：在 ABC 中，AB=BC=10，tanABC=34(1

2、) 求边 AC 的长(2) 设边 BC 的垂直平分线 EF 与边 AB，BC 的交点分别为点 E，F，求 AEBE 的值如图，点 C 是线段 BD 的中点，ABEC，A=E求证：AB=EC已知如图：点 A，F，E，D 在同一条直线上，AB=CD，BE=CF，AF=DE求证：ABEDCF如图，已知：在 ABC 中，BAC=90，延长 BA 到点 D，使 AD=12AB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点求证：DF=BE如图，已知 ABC 的面积为 4，D 为 AB 的中点(1) 尺规作图：作边 AC 的中点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；(2) 在（1）的条件下，求 AD

3、E 的面积已知：如图，点 E，F 在 AC 上，且 AE=CF，ADCB，AD=CB求证：DF=BE如图，C 是线段 BD 的中点，ABEC，A=E求证：AC=ED如图，AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高(1) 尺规作图：作 C 的平分线，交 AB 点 E，交 AD 于点 F（不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母）(2) 在（1）的条件下，过 F 画 BC 的平行线交 AC 于点 H，线段 FH 与线段 CH 的数量关系如何请予以证明(3) 在（2）的条件下，连接 DE，DH，求证：EDHD如图，已知 ABC 中，AB=BC=5，tanABC=34(1) 利用直尺和圆规作线段 BC

4、 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）；(2) 在（1）所作的图形中，求 BD如图，在 RtABC 中，AB=AC=42，一动点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，到达点 C 即停止在整个运动过程中，过点 P 作 PDBC 与 RtABC 的直角边相交于点 D，延长 PD 至点 Q，使得 PD=QD，以 PQ 为斜边在 PQ 左侧作等腰直角三角形 PQE设运动时间为 t 秒 t0在整个运动过程中，设 ABC 与 PQE 重叠部分的面积为 S(1) 当 t=2 时，求 S 的值；(2) 在整个运动过程中，求出 S 与

5、 t 之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；(3) 当点 D 在线段 AB 上时，连接 AQ，AP，是否存在这样的 t，使得 APQ 成为等腰三角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由如图，已知 AB=DC，ABC=DCB，E 为 AC，BD 的中点求证：AC=DB如图，点 C 是线段 BD 的中点，ABEC，A=E求证：AB=EC如图，点 C，F，E，B 在一条直线上，CFD=BEA，CE=BF，DF=AE(1) 求证：CD=AB；(2) 判断 CDAB 是否成立，并说明理由如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，B+AEC=180，BAC=D，BC=

6、CE求证：AC=DC如图，已知在等腰 ABC 中，A=B=30，CDAC 交 AB 于点 D(1) 尺规作图：作线段 AD 的中点 E（保留作图痕迹，不要求写作法）并连接 CE；(2) 已知 AD=23，P 是线段 BC 上一点，若以 P，D，B 为顶点的三角形与 BCE 相似，DP 的长为多少？如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AD 是 BAC 的平分线(1) 尺规作图：过点 D 作 DEAC 于 E；(2) 求 DE 的长已知，如图，ABC 的三条边 BC=a，CA=b，AB=c，D 为 ABC 内一点，且 ADB=BDC=CDA=120，DA=u，DB=v，DC

7、=w(1) 若 CBD=18，则 BCD= ；(2) 将 ACD 绕点 A 顺时针方向旋转 90 到 ACD，画出 ACD，若 CAD=20，求 CAD 度数；(3) 试画出符合下列条件的正三角形：M 为正三角形内的一点，M 到正三角形三个顶点的距离分别为 a，b，c，且正三角形的边长为 u+v+w，并给予证明答案1. 【答案】 AB=AC， B=C，在 ABD 与 ACE 中， AB=AC,B=C,BD=EC, ABDACESAS， AD=AE2. 【答案】 C 是线段 AB 的中点， AC=CB CDBE， ACD=B在 ACD 和 CBE 中， AC=CB,ACD=B,CD=BE, AC

8、D=CBESAS， AD=CE3. 【答案】 B+AEC=180， CBD+AEC=180， B=DEC，在 ABC 和 DEC 中， B=DEC，BAC=D，BC=CE， ABCDECAAS， AC=DC4. 【答案】(1) 如图，EF 为所作(2) EF 垂直平分 BD， EB=ED=4， EDB=EBC， ABD=CBD， EDB=CBD， DEBC， ADEACB， DEBC=AEAB，即 4BC=33+4， BC=2835. 【答案】(1) 过点 A 作 BC 的垂线交 BC 于点 D，因为 tanABC=34，所以 sinABC=35，cosABC=45，因为 AB=BC=10，所

9、以 ADAB=35，BDAB=45，所以 AD=6，BD=8，所以 DC=BC-BD=10-8=2，在 RtADC 中， AC=AD2+DC2=62+22=210. (2) 因为 EF 垂直平分 BC，所以 BF=12BC，BFE=90，因为 BC=AB=10，所以 BF=1210=5，由（1）得 cosABC=45，所以 BFBE=45，即 5BE=45，所以 BE=254，所以 AE=AB-BE=10-254=154. 所以 AEBE=154254=356. 【答案】 C 是线段 BD 的中点， BC=CD， ABEC， B=ECD，在 ABC 与 ECD 中，A=E,B=ECD,BC=C

10、D. ABCECDAAS， AB=EC7. 【答案】 AF=DE， AF+FE=DE+FE， AE=DF，在 ABE 和 DCF 中， AB=DC,BE=CF,AE=DF, ABEDCFSSS8. 【答案】 BAC=90， DAF=90， 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点， AF=FC，BE=EC，FE 是 ABC 的中位线， FE=12AB，FEAB， EFC=BAC=90， DAF=EFC， AD=12AB， AD=FE，在 ADF 和 FEC 中， AD=FE,DAF=EFC,AF=FC, ADFFECSAS， DF=EC， DF=BE9. 【答案】(1) 作线段 AC 的垂直平

11、分线 MN 交 AC 于 E，则点 E 即为所求(2) AD=DB，AE=CE， DE 是 ABC 的中位线 DEBC，DE=12BC ADEABC SADESABC=DEBC2，即 SADE4=14 ADE 的面积为 110. 【答案】 AE=CF， AE+EF=CF+EF，即 AF=CE ADBC， A=C又 AD=BC， ADFCBE DF=BE11. 【答案】 C 是 BD 中点， BC=CD，又 ABEC， ABC=ECD， 在 ABC 和 ECD 中， A=E,ABC=ECD,BC=CD, ABCECDAAS， AC=ED12. 【答案】(1) 如图，直线 CE 为所求(2) FH

12、=CH CE 平分 ACB， ACE=BCE，又 FHBC， HFC=BCE， ACE=HFC， FH=CH(3) 过点 E 作 EMBC， CE 平分 ACB，EAAC，EMBC， EM=EA， AEF+ACE=DFC+DCF， AEF=DFC=AFE， EM=EA=AF， ABDCBA， BDAD=BACA， BEMBAD， BEBA=EMAD=AFAD， AFHADC， AFAD=AHAC， BEBA=AHAC， BEAH=BAAC=BDAD， B=DAH， BEDAHD， EDB=HDA， EDH=BDA=90， BDDH13. 【答案】(1) 如图，DE 为所作(2) DE 垂直平分

13、 BC， DE=CE=12BC=52，DEBC，在 RtBDE 中，tanB=DEBE=34， DE=3452=158， BD=522+1582=25814. 【答案】(1) 当 t=2 时，BP=2，此时，DPF 和 BPF 都是等腰直角三角形，S=SDPF=SBPF=12BP2=1222=2(2) 当 0t4 时，如图 1，重叠部分为 DPF，此时图 1 S=SDPF=SBPF=12BP2=14t2当 4t163 时，如图 2 重叠部分为四边形 ADPF， S=SADPF=SABC-SBPF-SCPD=-34t2+8t-16当 163t8 时，如图 3，重叠部分为四边形 DPEF，此时 D

14、F 为 QEP 的中位线， SDPEF=3SQFD，易证 QFDPCD， SDPEF=3SPCD， S=38-t2， S=34t2-12t+48(3) 存在，理由如下：当点 D 在线段 AB 上时， AB=AC， B=C=12(180-BAC)=45 PDBC， BPD=90 BDP=45 PD=BP=t QD=PD=t PQ=QD+PD=2t过点 A 作 AHBC 于点 H AB=AC， BH=CH=12BC=4，AH=BH=4 PH=BH-BP=4-t在 RtAPH 中，AP=AH2+PH2=t2-8t+32（1）若 AP=PQ，则有 t2-8t+32=2t解得：t1=47-43，t2=-

15、47-43（不合题意，舍去）（2）若 AQ=PQ，过点 Q 作 QGAP 于点 G BPQ=BHA=90， PQAH APQ=PAH QGAP， PGQ=90， PGQ=AHP=90， PGQAHP PGAH=PQAP， PG=8tt2-8t+32若 AQ=PQ，由于 QGAP，则有 AG=PG，即 PG=12AP，即 8tt2-8t+32=12t2-8t+32解得：t1=12-47，t2=12+47（不合题意，舍去）（3）若 AP=AQ，过点 A 作 ATPQ 于点 T易知四边形 AHPT 是矩形，故 PT=AH=4若 AP=AQ，由于 ATPQ，则有 QT=PT，即 PT=12PQ，即 4

16、=122t解得 t=4当 t=4 时，A，P，Q 三点共线，APQ 不存在，故 t=4 舍去综上所述，使得 APQ 成为等腰三角形，即 t1=47-43 秒或 t2=(12-47) 秒15. 【答案】在 ABC 和 DCB 中， AB=DC,ABC=DCB,BC=CB, ABCDCB， AC=DB，16. 【答案】 C 是线段 BD 的中点， BC=CD ABEC， B=ECD在 ABC 和 ECD 中， A=E,B=ECD,BC=CD, ABCECD AB=EC17. 【答案】(1) CE=BF， CE-EF=BF-EF，即：CF=BE在 CDF 和 BAE 中， CF=BE,CFD=BEA

17、,DF=AE, CDFBAE CD=BA(2) CDAB 成立理由：由（1）知 CDFBAE， C=D， CDAB18. 【答案】 B+AEC=180，CED+AEC=180， B=DEC，在 ABC 和 DEC 中， B=DEC,BAC=D,BC=CE, ABCDECAAS， AC=DC19. 【答案】(1) 如图点 E 为所求，连接 CE(2) E 是边 AD 的中点， CE=AE=ED A=30， CD=AE=ED，ADC=60， CDE 为等边三角形， ECD=60而 B=30， BCD=ADC-B=60-30=30， ECB=ECD+BCD=60+30=90， EC=ED=BD=CD

18、=12AD=1223=3过 D 作 DPBC 交 BC 于 P，在 BPD 和 BCE 中， BPD=BCE,B=B, BPDBCE， DPEC=BDEB，即 DP3=323， DP=32过 D 作 DPAB 交 BC 于 P，在 BPD 和 BEC 中， PDB=ECB,B=B, BPDBEC， DPEC=BDBC，即 DP3=33223， DP=1综合若以 P，D，B 为顶点的三角形与 BCE 相似，DP 的长为 32 或 120. 【答案】(1) 如图所示，过点 D 作 AC 的垂线即可(2) 设 DE=x，则 AC=32+42=5 AD 是 BAC 的平分线，ABC=90，DEAC， BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x SACD=ACDE2=CDAB2， 5x2=34-x2，解得 x=32， DE=x=3221. 【答案】(1) 42(2) 画图如下（如图） DAD=90，CAD=20， CAD=DAD-CAD=90-20=70(3) 画图如下：将 BDC 绕点 B 按逆时针方向旋转 60 到 BEF 的位置（如图）连接 DE，CF，这样可知 BDE 和 BCF 均为等边三角形，从而 DE=v，CF=a ADB=120，BDE=60，即 ADE=180，则 A，D，E 三点共线（即该三点在同一条直线上）同理， BEF=BDC=120，BED