331　几何概型学案（人教A版必修三）

1、3.3几何概型3.3.1几何概型【明目标、知重点】1了解几何概型的定义及其特点2了解几何概型与古典概型的区别3会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率【填要点、记疑点】1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等3几何概型的概率公式P(A)eq f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).【探要点、究所然】情境导学在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，

2、例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题探究点一几何概型的概念思考1计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？ 答(1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算思考2某班公交车到终点站的时间可能是11：3012：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答出现的结果是无限个

3、；每个结果出现的可能性是相等的思考3下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜你认为甲获胜的概率分别是多少？答以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为eq f(1,2)；以转盘(2)为游戏工具时，甲获胜的概率为eq f(3,5).思考4上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？答与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关思考5玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？答如果每

4、个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等思考6古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？答相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)思考3中，求甲获胜的概率解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6636种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B

5、区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半

6、径的概率解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性探究点二几何概型的概率公式问题对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？思考1有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是多少？你是怎样计算的？答从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生由于

7、中间一段的长度等于绳长的eq f(1,3)，于是事件A发生的概率P(A)eq f(1,3).思考2射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm，黄心直径是12.2 cm，运动员在距离靶面70 m外射箭假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？答如右图，由于中靶点随机地落在面积为eq f(1,4)1222 cm2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为eq f(1,4)12.22 cm2的圆内，所以Peq f(f(1,4)12.22,f(1,4)1222)0.01.思考3在装有

8、5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？答概率为eq f(1,5)，由于病毒在5升水中的哪个位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概率为1升水的体积除以5升水的体积思考4根据上述3个思考中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件A发生的概率的计算公式吗？答P(A)eq f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率解如下图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度

9、为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即DT1T210，dTT26.所以P(A)eq f(d,D)eq f(6,10)eq f(3,5).故乘客候车时间不超过6分钟的概率为eq f(3,5).反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A的概率跟踪训练2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等

10、待的时间不多于10分钟的概率解记“等待的时间小于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于50,60时间段内则事件A发生由几何概型的概率公式求得P(A)eq f(6050,60)eq f(1,6)，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为eq f(1,6).探究点三几何概型的应用例3在RtABC中，A30，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|AC|的概率解设事件D为“作射线CM，使|AM|AC|”在AB上取点C使|AC|AC|，因为ACC是等腰三角形，所以ACCeq f(18030,2)75，A907515，90，所以P(D)eq f(15,90)eq f(1,6).反思与感悟几

11、何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”因为射线CM落在ACB内的任意位置是等可能的若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的跟踪训练3在ABC中，B60，C45，高ADeq r(3)，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率解B60，C45，BAC75，在RtADB中，ADeq r(3)，B60，BDeq f(AD,tan 60)1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式得P(N)eq f(30,75)eq f(2,5).【当堂测、查疑缺】1下列关于几何概型的说法错误的是

12、()A几何概型也是古典概型中的一种B几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案A解析几何概型与古典概型是两种不同的概型2面积为S的ABC，D是BC的中点，向ABC内部投一点，那么点落在ABD内的概率为()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2) C.eq f(1,4) D.eq f(1,6)答案B解析向ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型设点落在ABD内为事件M，则P(M)eq f(ABD的面积,ABC的面积)eq f(1,2).3ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD

13、内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.eq f(,4) B1eq f(,4)C.eq f(,8) D1eq f(,8)答案B解析若以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)eq f(S长方形S半圆,S长方形)1eq f(,4).4在区间1,1上随机取一个数x，则sin eq f(x,4)的值介于eq f(1,2)与eq f(r(2),2)之间的概率为_答案eq f(5,6)解析1x1，eq f(,4)eq f(x,4)eq f(,4).由eq f(1,2)sin eq f(x,4)eq f(r(2),2)，得eq f(,6)eq f(x,4)eq f(,4)，即eq f