2022年江苏省常州市天宁区正衡中学中考二模数学试卷

1、2022年江苏省常州市天宁区正衡中学中考数学二模试卷一、选择题（每小题2分）1（2分）在平面直角坐标系内，点P（2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（2，3）2（2分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，3（2分）在一次射击训练中，一小组的成绩如表：环数789人数23已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（）A5B6C4D74（2分）如果反比例函数y的图象如图所示，那么二次函数ykx2k2x1的图象大致为（

2、）ABCD5（2分）如图，若ABC和DEF的面积分别为S1、S2，则（）AS1S2BS1S2CS1S2DS1S26（2分）如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点DDFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E给出下列4个结论：CECF；ACBEDF；DE是O的切线；其中一定成立的是（）ABCD7（2分）方程2xx2的正根的个数是（）A0个B1个C2个D3个8（2分）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x11，y12，当k2时，xkxk1+15（），ykyk1+，a表示非负实数a的整数部分，例如2.62，0.20按此方案，第2

3、022棵树种植点的坐标为（）A（5，2022）B（6，2022）C（1，404）D（2，404）二、填空题：（每空2分）9（2分）计算：（9a2b6ab2）（3ab） 10（2分）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是 11（2分）一元二次方程x23x40与x2+4x+50的所有实数根之和等于 12（2分）已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 13（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB、AC分别交圆于点E、F，点B、E、F对应的读数分别为160、70、50，则A的度数为 14（2分）如图所示，

4、点A1、A2、A3在x轴上，且OA1A1A2A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3，若图中三个阴影部分的面积之和为，则k 15（2分）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），顶点坐标为C（1，k），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），则k的取值范围是 16（2分）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都在格点上，那么ABC的正切值是 17（2分）在平面直角坐标系中，A点

5、坐标为（1，0），C点坐标为（7，0），若点P在直线ykx+3上运动时，只存在一个点P使APC90，则k的值是 18（2分）已知线段AB12，C、D是AB上两点，且ACDB2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 三、解答题19计算（）0+（）2+4cos30|20（4分）解下列方程（1）（2）（x4）（x+2）921如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点（1）AE与CF的关系是 ，请证明；（2）若BAC 时，四边形AECF是菱形，请说明理由22（7分）已知，如图，在

6、坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01）23某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p（p1）关系为p

7、0.4m2+2m；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由24如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，作ODBC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若AE6，CE2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积25【定义】若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做镜面四边形【理解】（1）下列说法是否正确（对的打，错的打）平行四边形是一个镜面四边形 镜面四边形的面积等于对角线积的一半 （2）如图（1），请你在44的网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个镜面四边形，使它图（1）的顶

8、点在格点上，且有一边长为【应用】（3）如图（2），已知镜面四边形ABCD，BAD60，ABC90，ABBC，P是AD上一点，AEBP的延长线上取一点F，使EFBE，连接AF，作FAD的平分线AG交BF于G，CMBF于M，连接CG求EAG的度数比较BM与EG的大小，并说明理由26用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PAFC时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的

9、BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由27如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物

10、线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由2022年江苏省常州市天宁区正衡中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分）1（2分）在平面直角坐标系内，点P（2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（2，3）【答案】A【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y）【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，3）关于原点对称点P的坐标是（2，3）故选：A2（2分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角

11、形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，【答案】D【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案【解答】解：A、1+23，不能构成三角形，故选项错误；B、12+12（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是，可知是顶角120，底角30的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90，60，30的直角三角形，其中90303，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确故选：D3（2分）在一次射击训练中，一小组的成绩如表：环数789人数23已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（）A5B6C4D7【答案】A【分析】若n

12、个数x1，x2，x3，xn的权分别是w1，w2，w3，wn，则x1w1+x2w2+xnwnw1+w2+wn叫做这n个数的加权平均数【解答】解：设成绩为8环的人数为x人，经检验，x5时原分式方程的根，故选：A4（2分）如果反比例函数y的图象如图所示，那么二次函数ykx2k2x1的图象大致为（）ABCD【答案】B【分析】根据反比例函数图象得出k的符号，再利用k的符号判断抛物线的开口方向，对称轴，选择正确答案【解答】解：根据反比例函数图象可知k0，由ykx2k2x1，配方得yk（x）61，故选：B5（2分）如图，若ABC和DEF的面积分别为S1、S2，则（）AS1S2BS1S2CS1S2DS1S2【

13、答案】C【分析】过A点作AGBC于G，过D点作DHEF于H在RtABG中，根据三角函数可求AG，在RtABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择【解答】解：过A点作AGBC于G，过D点作DHEF于H在RtABG中，AGABsin405sin40，在RtDHE中，DHDEsin408sin40，S458sin40220sin40故选：C6（2分）如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点DDFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E给出下列4个结论：CECF；ACBEDF；DE是O的切线；其中一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】易证CDECDF，得C

14、ECF；ACB+ACE180，根据四边形内角和定理得ACE+EDF180，所以ACBEDF；没理由证明DE是切线；根据圆内接四边形的外角等于内对角得DCEDAB，所以DABDCA，根据圆周角定理判断弧AD弧BD【解答】解：DCEDCF，DECDFC，DCDC，CDECDF，得CECF故成立；ACB+ACE180，根据四边形内角和定理得ACE+EDF180，所以ACBEDF，故成立；连接OD、OC则ODCOCD假如DE是切线，则ODDE，因BEDE，所以ODBE，DCEODCOCD，而DCEDCA，OCDDCA，故DE不是切线；根据圆内接四边形的外角等于内对角得DCEDAB，所以DABDCA，根

15、据圆周角定理判断弧AD弧BD故成立故选：D7（2分）方程2xx2的正根的个数是（）A0个B1个C2个D3个【答案】A【分析】我们可以将方程2xx2的正根个数转化为函数正零点的个数问题，在同一坐标系中分别画出函数y2xx2，y的图象，利用交点法，即可得到结论【解答】解：在同一坐标系中分别画出函数y2xx2，y的图象，如下图所示：由图可知，两个函数的图象只有一个交点，且横坐标为负故选：A8（2分）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x11，y12，当k2时，xkxk1+15（），ykyk1+，a表示非负实数a的整数部分，例如2.6

16、2，0.20按此方案，第2022棵树种植点的坐标为（）A（5，2022）B（6，2022）C（1，404）D（2，404）【答案】D【分析】根据规律找出种植点横坐标及纵坐标的通式，代入2022即可求得种植点的坐标【解答】解：组成的数列为2，0，0，0，0，1，8，0，0，0，1，0，5，0，0，1，一一代入计算得数列xn为即xn的重复规律是x5n+14，x5n+22，x5n+35，x5n+44，x5n5nN*即yn的重复规律是y5n+kn，3k5故选：D二、填空题：（每空2分）9（2分）计算：（9a2b6ab2）（3ab）3a2b【答案】见试题解答内容【分析】此题直接利用多项式除以单项式的法则

17、即可求出结果【解答】解：（9a2b6ab2）（3ab），（9a2b6ab2）（3ab），3a2b故答案为：3a2b10（2分）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是1【答案】见试题解答内容【分析】设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得：2r222r2，故答案为：711（2分）一元二次方程x23x40与x2+4x+50的所有实数根之和等于3【答案】见试题解答内容【分析】根据根与系数的关系分别求出两个方程的两根之和，然后把它们相加即可【解答】解：因为x23x45的两根之和为3，方

18、程x2+4x+50中，444540，方程无解，所以一元二次方程x53x40与x8+4x+50的所有实数根的和等于3故答案为：312（2分）已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是0a1【答案】见试题解答内容【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案【解答】解：解不等式52x1，得：x3，解不等式xa4，得：xa，0a1，故答案为：0a113（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB、AC分别交圆于点E、F，点B、E、F对应的读数分别为160、70、50，则A的度数为25【答案】见试题解答内容【分析】连接CE可

19、得ECB90，ACB110，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解【解答】解：连接CE可得ECB1607090，ACB16050110，A180ACBB25故答案为2514（2分）如图所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1A1A2A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3，若图中三个阴影部分的面积之和为，则k8【答案】见试题解答内容【分析】先根据反比例函数比例系数k的几何意义得到SOB1C1SOB2C2SOB3C3|k|k，再根

20、据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到用含k的代数式表示3个阴影部分的面积之和，然后根据三个阴影部分的面积之和为，列出方程，解方程即可求出k的值【解答】解：根据题意可知，SOB1C1SOB2C2SOB6C3|k|k，OA1A2A2A2A3，A1B1A5B2A3B3y轴，则s1k，s2：SOB2C21：4，s3：SOB3C51：9，k+k+k，故答案为：815（2分）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），顶点坐标为C（1，k），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），则k的取值范围是k4【答案】见试题解答内容【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到ka+b+

21、cc，利用c的取值范围可以求得k的取值范围【解答】解抛物线与x轴的一个交点坐标分别是（1，0），对称轴x1，抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是（3，0），5，则a2c3，b2a，2c3，故答案为：k416（2分）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都在格点上，那么ABC的正切值是【答案】见试题解答内容【分析】过点C作CDAB于点D由勾股定理可知：BC28，AB220，由于AC2，设ADx，由勾股定理可知：AC2AD2BC2BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：过点C作CDAB于点D，由勾股定理可知：BC28，AB720，设ADx

22、，4x28（2x）2，BDtanABC，故答案为：17（2分）在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，0），C点坐标为（7，0），若点P在直线ykx+3上运动时，只存在一个点P使APC90，则k的值是3或或0或【答案】见试题解答内容【分析】点P在直线ykx+3上移动时，使APC90，则P一定在以AC为直径的圆上，若只存在一个点P使APC90，则直线ykx+3必定经过A点或C点或与圆相切，分别求得k的值即可【解答】解：点P在直线ykx+3上移动时，使APC90，则P一定在以AC为直径的圆上，若只存在一个点P使APC90，若直线ykx+3经过A点，A点坐标为（1，0），解得，k3，C点坐标为（7，3）

23、，解得k，直线ykx+3与y轴的交点B为（0，3）圆的直径为516，圆心Q（4，0），当切点直线x轴的下方时，如图，设BP与x轴的交点为M，连接QP，则QPBP，OB4，PQ3，在BOM和QPM中BOMQPM（AAS），设A（x，0），BM2OM2+OB2，解得x，k，故答案是：3或或0或18（2分）已知线段AB12，C、D是AB上两点，且ACDB2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为4【答案】见试题解答内容【分析】分别延长AE、BF交于点M，易证四边形PEMF为平行四边形，得出G为PM中点

24、，则G的运行轨迹MCD的中位线，运用中位线的性质求出HI的长度即可【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点M，ADPF60，BEPA60，四边形PEMF为平行四边形，G为EF的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，HICD（1228）4，故答案为：4三、解答题19计算（）0+（）2+4cos30|【答案】见试题解答内容【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+4+4（7）1+4+63+7+3320（4分）解下列方程（1）（2）（x4）（x+2）9【答案】见试题解答内容【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，

25、求出方程的解，再进行检验即可；（2）整理后运用完全平方公式进行变形，再求出方程的解即可【解答】解：（1）原方程化为：1，方程两边都乘以x3得：x6（x3），检验：当x0时，x30，即原方程的解为：x0；（2）（x4）（x+2）2，整理得：x22x+10，x10，即x1x3121如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点（1）AE与CF的关系是AECF，AECF，请证明；（2）若BAC90时，四边形AECF是菱形，请说明理由【答案】见试题解答内容【分析】（1）通过证明四边形AECF是平行四边形，可得AECF；（2）由直角三角形的性质性质可得AECE，且四边形AECF是平行四

26、边形，可得四边形AECF是菱形【解答】解：（1）AECF理由如下：ADBC，ADBCAFCE，且AFCE，AECF，AECF，（2）90点E是BC边的中点，四边形AECF是平行四边形平行四边形AECF是菱形22（7分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01）【答案】见试题解答内容【分析】（1

27、）先过点A作AHPO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH5k，则PH12k，AP13k，求出k的值即可（2）先延长BC交PO于点D，根据BCAC，ACPO，得出BDPO，四边形AHDC是矩形，再根据BPD45，得出PDBD，然后设BCx，得出ACDHx14，最后根据在RtABC中，tan76，列出方程，求出x的值即可【解答】解：（1）过点A作AHPO，垂足为点H，斜坡AP的坡度为1：2.4，设AH3k，则PH12k，由勾股定理，得AP13k，解得k2，答：坡顶A到地面PQ的距离为10米（2）延长BC交PO于点D，BCAC，ACPO，四边形AHDC是矩形，CDAH10，ACDH，PDB

28、D，ACDHx14，解得x19答：古塔BC的高度约为19米23某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p（p1）关系为p0.4m2+2m；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由【答案】见试题解答内容【分析】方案一：由利润（实际售价进价）销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；方案二：由利润（售价进价）500p广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利

29、润【解答】解：设涨价x元，利润为y元，则方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x40，销售量为：50010 x，当x20时，y最大9000，方案二：该商品售价利润为（5040）500p，广告费用为：1000m元，方案二的最大利润为10125元；选择方案二能获得更大的利润24如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，作ODBC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若AE6，CE2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可证ADOCDO，可得DCODAO90，即可证DE是O的切线；（2）由题意可

30、证CBEACE，可求BE的长，AB的长，OB的长，OC的长，根据锐角三角函数可求COB60，根据线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积COE的面积扇形OBC的面积可求解【解答】证明：（1）连接OCDAO90OBCOCBDOCOCB，DOAOBCADOCDO（SAS）DCO90，OC是半径（2）DE是O的切线，BC是弦CBEACEBE2BA4OE4COE60线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积32525【定义】若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做镜面四边形【理解】（1）下列说法是否正确（对的打，错的打）平行四边形是一个镜面四边形镜面四边形的面积等于对角线

31、积的一半（2）如图（1），请你在44的网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个镜面四边形，使它图（1）的顶点在格点上，且有一边长为【应用】（3）如图（2），已知镜面四边形ABCD，BAD60，ABC90，ABBC，P是AD上一点，AEBP的延长线上取一点F，使EFBE，连接AF，作FAD的平分线AG交BF于G，CMBF于M，连接CG求EAG的度数比较BM与EG的大小，并说明理由【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的性质和镜面四边形的定义，直接判断；（2）由镜面四边形的意义，得到必有两边是，一个直角，画出图形即可（3）根据角平分线的定义得到EAFBAF，GAFFAD计算；先判断AB

32、EBCM，通过计算判断出BMEG【解答】解：（1）平行四边形不关于任何一条对角线对称，错误，镜面四边形关于对角线对称，镜面四边形的两条对角线互相垂直，故答案为（2）有一边长为镜面四边形必有两边是（3）AEBP，EFBE，ABAF，GAFFAD，BMEG，ABBC，BAE+ABFABP+ABF90，ABEBCM，AEBM，AEEG，BMEG26用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现P

33、AFC时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由【答案】见试题解答内容【分析】（1）如答图1所示，过点A作AGBC于点G，构造RtAPG，利用勾股定理求出AP的长度；（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；（3）如答图3所示，证明AMDCND，得AMCN，则AMN两直角边长度之和为定值；设AMx，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到AMN周长的最小值【解答】解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：CFBCtan303，过点A作AGBC于点G，则AGBC，在RtAPG中，由勾股定理得：（2）由（1）可知，FC在RtAGP1中，cosP6AG，P1AB453015；PAB的度数为15或75如答图3所示，连接ADABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，ED