医学专题药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片

1、 第四节 中值定理 洛必达法则 一、中值定理 二、洛必达法则 2021/7/20 星期二1 一、中值定理 定理2-1 （罗尔 ( Rolle ) 中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 a , b上连续，在开区间 (a , b) 内可导，且 f (a)=f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 (ab), 使得 f( )=0 成立。 证明 （1）若函数 f (x) 在闭区间 a , b上为常数，则 f(x)=0 ，因而， (a , b) 内任何一点都可取作 。 （2）若函数 f (x) 在 a , b 上不是常数, 必存在最大值 M 和最小值 m，且 M 与 m 至少有一个

2、不等于 f (a) 。xyoa1bCy = f (x) 2021/7/20 星期二2 不妨设 Mf (a), 则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 f ()=M 。由于(a, b), 故 f() 存在。而 f ()=M，所以，当 x 足够小时，f (+x) - f()0, 若 若二者又相等，所以 f( )=0 成立。2021/7/20 星期二3 罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y =f (x) 除端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且在两个端点处的纵坐标相等（即 f (a)=f (b)），则在该段曲线上至少有一点 (, f ( ) 的切线与 x 轴平行。 例2-26 已

3、知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求导，判断方程 f (x)=0 的实根个数和范围。 解 f (x)的连续性和可导性是明显的，且 f (1) = f (2)= f (3) =0，故在区间1，2、2，3上均满足罗尔中值定理的条件，则在（1，2）内至少存在一点1，使得 f ( 1)=0；在（2，3）内至少存在一点2 ，使得 f ( 2)=0。而 f (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实根，分别在开区间（1，2）、（2，3）内。2021/7/20 星期二4 拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736 年1月25日生于意大利西北部的都灵， 1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都

4、灵 的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等 周问题”的过程中，他用纯分析的方法发 展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了分析力学一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。 2021/7/20 星期二5 定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区

5、间 a , b 上连续，在开区间 (a , b) 内可导，则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 (a x0 。 由条件（1）知，函数 f (x) 、g(x) 在区间 x , x0 上满足柯西中值定理的条件（若在 x0 点不连续，则补充定义 f (x0) =0 , g(x0)=0 ），则至少存在一点 ( x0, x ) ，使得当 xx0 时，必有 x0 ，所以2021/7/20 星期二15 将 xx0 改为 x ，结论仍成立。 因为，设 ，则当 x 时，t 0。故 将条件（2）改为 ，即 为 型不定式，结论也成立。2021/7/20 星期二16 例2-28 求 解 设 f (x)=e2x-

6、1 , g(x)=3x 。两个函数满足洛必达法则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。 由于 所以，根据洛必达法则，2021/7/20 星期二17 例2-29 求 解 注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用，但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。 例2-30 求 解 2021/7/20 星期二18 型未定式解法 方法：把它们转化成 或 型后，再用洛必达法则求极限。 型 例2-31 求 解 方法2021/7/20 星期二19 注意：此题若变形为 ，则转化成 型但 ，不利于求极限。 因此，把 型不定式转化成 型还是 型应根据所给函数而定。 总的原则是分子、分母求导越方便，求导以后的新函数求极限越方便为宜。2021/7/20 星期二20 - 型 例2-32 求 解 方法2021/7/20 星期二21 型 例2-33 求 解 设 ，则所以方法2021/7/20 星期二22 例2-34 求 解 设 ，则所以2021/7/20 星期二23