圆锥曲线的第三定义

1、2015.1.23JZX1/111/11圆锥曲线的第三定义及运用成都石室中学蒋宗汛椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆在椭圆C中,A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A点，若k、kPAPB存在，则有：k=e1=b2PAPB证明：构造PAB的PA边所对的中位线MO,a2k，由点差法结论：k知此结论成立。=eb21=a2MOPB2.双曲线xy22、kPAPB在双曲线C:1屯入B是关于原点对称的两点,p是椭圆上异于A啲一点，若k2丁2ab存在，则有：KK=e1=2PAPBB2A2证明：只需将椭圆中的B2全部换成B2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论2015.1.23JZX与角度有关的问题例题一：已知椭

2、圆,A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双APB=8解答:令知：PBx=，由椭圆第三定义可2tantan=e11=4coscoscoscossinsin1tantan3cos2coscoscossinsin1tantan5点评:其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点2/11变式1-1:（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线C:x2y22015的左右顶点分别为A、B,P为双曲线右支一点，且PAB=4APB，求PA

3、B=解答:令=0,PABPBA=0，贝【J=5，由双曲线的第三定义知：点评:与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sina=cosB，cosa=sinB两角互余，则可解出a的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题xy22例题2:已知A、B是椭圆221ab0长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两ab一点，直线AM、bn的斜率分别为k、k且kkqi20。kk的最小值为1，则椭圆的离心率12若12解答一（第三定义均值）：3/11由题意可作图如下：2连接MB,由椭圆的第三

4、定义可知：kk=e1=AMBM2aBMkBNb2kk122a2bb13kk2kkl=1=e=1212aa22解答二（特殊值法）：111这道题由于表达式12min1kk非常对称，1可直接:猜特殊点求kk时可取最值,E解。=、/irro122则M、N分别为短轴的两端点。此时：3e=2点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来,既构造了一正”，又构造了二定”,利用均值定理三相等即可用a、示出最值1。当然将k、k前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解1法相同，即变式2-1。2xy变式2-1:已知A、B是椭圆22

5、长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的221ab0ab4/114/11两点，直线AM、bn的斜率分别为k、k，且kk2。若2k22k的最小值为1,则椭圆的离1212心率.解答：2015.1.23JZX22015.1.23JZX222连接mb,由椭圆的第三定义可知：kk=e，而kk1k2=AM2BMBMBN4b4kk=12ab=115e=变式2-2:已知A、B是椭圆长轴的两个端点,若椭圆上存在则椭圆的离心率的取值范围为解答一（正切均值）：AQB令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为0,，直线QB的倾斜角为Atantan1tantan由椭圆的第三定义：tantantantanAQBtan，则t

6、antantantantantantan2a5/115/11b2b22tan22ab乙atan=a=bbab一2r22211aa226而tanx在7单增，则Q为上顶点时22AQB，所以此时AQB,故e,1带入可得：1tantanb21ab21a2b（取等条件:tan，即q为上顶点）a2max解答二（极限法）当Q趋近于A、B两点时，AQB（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆2AQB弧，AQB相当于直径所对的圆周角）；当）在A、B间运动时2（Q在以AB为直径的圆内部，AQB直径所对的圆周角=90），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时2015.1.23JZX2015.1.23JZX时，

7、椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90不满足；当椭圆趋于线段e1）时，6，满足。故AQB，。当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑e1max3AQBmax2由于椭圆上存在Q,使AQB3取临界情况，即Q为短轴端点时AQBa此时b30)2AQBmax36e；当椭圆趋于饱满幺（3点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论当Q趋近于a、b两点时，AQB2时能会颠覆AQB啲认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：与第三定义发生联系tanx在1单增便于利用tanx的大小比

8、较角度的大小。四、总结归纳上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。对于均值不等式，注意取等条件是三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题2极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值2015.1.23JZX4max做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的比较角的大小关系，注意学会恰当运用，如：变式2-2。常以正切值刻画角度大小。在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。6/117.8.五、链接针对上文提到

9、的“圆周角的妙用”与椭圆中另一类奇妙的均值进行拓展补充，各附例题。例题3：在平面直角坐标系xoy中，给定两点M1,2和N1,4，点p在x轴上移动，当MPN取最大值时，点p的横坐标为.解答一（正切均值）：已知：M1,2、N1,4，l:yx3与x轴交于03,0PMN24令Pt,0，则:k1t，k1MPN=MPNP当t3时，=0当tA3k6k2t时，tan=MPNP1kktJ-72MP_NP2t62x22令xt3A0，则（tanA0）tan=11622t7x6x16x62x166xx此时x4，t1,当t3k6k2t时，tan=一NP,MP,1kkt72MPNP7/112015.1.23JZX2015

10、.1.23JZXmaxmax2t62x22xt3A0，则tan1=J-16t7x6x16x62x166722xx(tan0)1此时x4tJ7J7tanmax由于0,，且tan在0,上单增，tan0，证明：以与x轴切于P点的圆为例：2当半径r较小时，圆与x轴无交点。当半径稍大一点时，圆与x轴相切，有一交点。当半径更大一点时，圆与x轴有两交点P、P，此时：根据圆周角定理:34MPN3MPN，可知：圆与x轴相切时,MQN=MPN42所以：过M、N的圆与x轴切于P、P点时，分别有MPNMPNmax只需比较哪一个更大只需比较哪一个更大8/118/11y（消去y）MPN与MPN12令与x轴相切的圆的圆心为

11、x,y222，则切点Px,0，半径为x6x70 x7or12x1y2y圆满足：222x1y4y2015.1.23JZX2015.1.23JZX33比较可知：当x=1时，MPN点评:常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点,解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。变式3-1:若G为Aabc的重心，且AGBG，则sinC的最大值为解答

12、一（余弦定理均值）：G令G0,0AIa,0，B0,b，则由111b1JJ1JyyyABB4a由点间的距离公式：ABbACbBC4b29/119/11bACBC4aba4bABa由余弦定理：cosC=2ACBC24aba4b22222ab222224444abababab22222222ab“5222222由于：ab4aba4bab222015.1.23JZX2015.1.23JZX2015.1.23JZX55cosC4osinC5sinCmax解法二（圆周角定理）1,03sin,3cos题目转化为：A1,0,B1,0,Cx,y满足：X2y29，求sinC的最大值。目测可知C0,过A1,03时，ABC，下面以C0,3来证明max若C不在C点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：ACBAQBACB证得43此时由余弦定理cosC=sinCminmax点评：可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在0,单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式值