保险精算第三章

1、知识回顾生命的分布函数、生存函数、余命、T的分布函数、 T的生存函数、概率密度函数K(x)、 K(x)与T(x)的关系死力的定义，计算公式，与生存函数的关系，与T的概率密度函数的关系。1学习目标掌握生命表中生存数的表示方法，含义。掌握死亡数，死亡率的含义，计算。掌握生存率的含义，计算。掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式，掌握平均余命或生命期望值的计算。掌握完全平均余命的计算2 3.2 生命表生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金计算的依据，也是寿险成本核算的依据。3.2.1 生命表的含义： 生命表是根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的由每个年龄死亡率所组成的汇

2、总表。生命表是过去经验的记录，通常用于预测那些将来和过去情况大致相同的未来事件 。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族、居住环境等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。 3生命表可分为：(1) 国民生命表。国民生命表是根据全体国民或者以特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主要来源于人口普查的统计资料。(2) 经验生命表。经验生命表是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制的生命表。保险公司使用的是经验生命表，主要因为国民生命表是全体国民生命表，没有经过保险公司的风险选择，一般情况下与保险公司

3、使用的生命表中的死亡率不同。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）43.2.2 生命表的内容在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄，并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为

4、连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以5 整数年龄表示，在0岁附近死亡率变化较大，从而生存人数在短期内也有显著差异。 3) 通常以l0=10 000 000人为基数，表示出生时的人数，若存活函数s(x)为生存至x岁时的生存概率，则所有l0人在x岁时有l0 *s(x)人仍生存，此即为在x岁时的所有生存人数lx ，故 lx= l0 *s(x)(3) dx：死亡数，是指x岁的人在一年内死亡的人数,即指x岁的生存数lx人中，经过1年死亡的人数。 1) dx表示x岁的生存人数lx中，经过整1年所死亡的人数，亦即lx中自x岁至x+1岁间1年内死亡的人数，称为x岁的死亡人数。6例3.2.1 9 292

5、 079 -9 259 817 =32 262(人) (4) 极限年龄,即生命的最高年龄，以w表示，lw+1=0.(5) qx:死亡率，表示x岁的人在1年内死亡的概率。 1) qx表示x岁的人在1年内死亡的概率。 2)2)7另：8(6) px:生存率，表示x岁的人在1年后仍生存的概率。 即到x +1岁时仍生存的概率。 1) px 表示x岁的人经过1年后仍生存的概率。 2) 3)（7）npx表示x岁的人在n年后仍生存的概率。9 意义： (x)在 x+m+n年后仍生存的概率等于x在m年后仍生存的概率，乘以至x+m岁时又生存了n年的概率，因为两者是相依事件，所以要用乘法。10（8）nqx: x岁的人

6、在n年内死亡的概率。如下图11（9）m|nqx：x岁的人在x+m岁与x+m+n岁的n年内死亡的概率。12如图所示：当n=1时，用m| qx表示x岁的人在生存m年后的那一年(m+1年)中内死亡的概率。则：1314(10)ex：平均余命或生命期望值 1) ex表示现年x岁的人尚可再生存若干年的平均数，即每一个到达x岁的人，今后仍生存的平均年数。 2) 假定死亡者都在年初死亡，则x岁后第1年全体生存的年数共lx+1年，同理，第2年全体生存年数为lx+2年。依此类推，此x岁的人的总生存年数为15 但事实上这一现象并不合理，因为不可能所有的人都在年初死亡，于是假定1年内死亡人数呈均匀分布，或可假定于年中

7、死去，即每人应该比年初死亡多活半年， 所以定义， 并称此为完全平均余命或完全生命期望值。例3.2.4 下表为某个生命表的一部分1617根据这部分生命表，我们可以算出各种有用的概率。例如，查表可得34岁的人在35岁以前死亡的概率为q34=0.0015034岁的人在35岁仍活着的概率为p34=1- q34=0.99850两年后仍活着的概率为2p34= p34 *p35=p34 *(1- q35) =0.99691在两年内死亡的概率为2q34 =1- 2p34=0.00309在36岁37岁之间死亡的概率为2|q34 =2p34 *q36=0.00169例3.2.5 已知20岁的生存人数为1 000人

8、，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人。试求20岁的人在2l岁那年死亡的概率1|q20 (0.06)18例3.2.6 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06，而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为100人，求43岁时的生存人数。83.0208(人)(11) 完全平均余命 是随机变量的数学期望，即：19(3.2.11)式的证明过程：注意 ，因为 t 大于一定年数之后 等于零20取整平均余命是取整余命K(x)的数学期望，记为ex，即(3.2.12)(3.2.13)(3.2.14)2122知识小结生命表中生存数的表示方法，含义。死亡数，死亡率的含义，计算。生存率的含义，计算。n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式，理解平均余命或生命期望值的计算。完全平均余命的计算23练习题：1.给出生存函数 ，求： (1)人在50岁60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。 (4)50岁的人能活到70岁的概率。 2.已知 求3.已知24练习题：4.设某群体的初始人数为3000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。5. 如果 若 则 在该生命表中1岁到4岁之