挑战中考数学压轴题(全套)

1、精品文档 欠。迎下载精品文档 欠。迎下载第一部分函数图象中点的存在性问题因动点产生的相似三角形问题1.2因动点产生的等腰三角形问题 1.3因动点产生的直角三角形问题 1.4因动 点产生的平行四边形问题 1. 5因动点产生的面积问题 1. 6因动点产生的相切问题 1.7因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题2. 1由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题3. 1代数计算及通过代数计算进行说理问题3. 2几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转4. 1 图形的平移 4. 2 图形的翻折 4. 3 图形的旋转 4. 4三角形 4. 5四边

2、形 4. 6圆 4. 7函数的图象及性质 1.1因动点产生的相似三角形问题课前导学 相似三角形的判定定理有 3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等 的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据， 一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程， 解方程并检验.如果已知/ A= / D,探求 ABC 0),顶点为D. (1)求该二次函数的解析式(系数用含 m的代数式表 示)；(2)如图1,当mi= 2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC勺面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及 S的最大值；(3)如图2,

3、当m取何值时，以 A、D C三点为顶点的三角形与 OBCff似？动感体验 请打开几何画板文件名“ 14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点 P 运动到AC的中点的正下方时， APC的面积最大.拖动 y轴上表示实数 m的点运动，抛物 线的形状会改变，可以体验到，/AC丽/ ADCTB可以成为直角.思路点拨1.用交点式求抛物线的解析式比较简便.连结OP APCM以割补为： AOPWCOP勺和，再减去 AOC.讨论 ACDWAOBG目似，先确定 ACD直角三角形，再验证两个直角三角形是否 相似.4.直角三角形 ACD在两种情况.图文解析(1)因为抛物线与 x轴交于A( 3, 0)、B(1,0)

4、两点，设y=a(x + 3)( x1).代入点 C(0, -3n),得一3m= 3a.解得 a=m所以该二次函数的解析式为y= njx+ 3)( x-1) = m)2+ 2mx-3m TOC o 1-5 h z 22(2)如图 3,连结 OP 当 m= 2 时，C(0, 6) , y=2x +4x-6,那么 Rx, 2 x +4x6).3221由于 $ AO-OA(yP)= _(2x+4x 6) =3x 6x+9,Sa co右 -OC (xP)=2223 o 273x , Saaoc= 9 ,所以 S= Saap= Saao叶 Sa co & aoc= 3x 9x = 3(x )24所以当x

5、3时，S取得最大值，最大值为 巴.图3图4图5图6(3)如图4,过点D作y轴的垂线，垂足为 E.过点A作x轴的垂线交DE于F.由 y=mx+ 3)( x1) =mx + 1)24m 彳# D(- 1, -4n) .在 RtAOBC, OB： OO 1 ： 3m如果ADCfOBG目似，那么 ADO直角三角形，而且两条直角边的比为1 ： 3m如图4,当/ACD= 90时，OAECCAOCOC,此时3,3.所以CDEDOBOCEDCACD.所以且网解得m= 1. m 1OCOC .所以 CD* OBCOB如图5,当/ ADC 90时,FAEDFDEC4m 22.所以解得m 1 m2此时段FD 2 2

6、衣，而匹DC EC mOB3,2 - ,3m .因此 DCA OB5相似.2综上所述，当m= 1时， CDMAOBC考点伸展 第(2)题还可以这样割补：如图6,过点P作x轴的垂线与AC交于点H.由直线 AC y=- 2x-6,可得 H(x, -2x-6).又因为 P(x, 2 x2+4x-6),所以 HP= - 2x2-6x.因为 PAHfPCK公共底边 HP,高的和为 A C两点间的水平距离 3,所以S= Saapc= Saph+ Scph= ( - 2x2 6x) = 3(x _5)2 ZZ. 224例22014年湖南省益阳市中考第21题10, BC= 4,点P沿线如图 1,在直角梯形 A

7、BC丽，AB/ CD ADL AR / B= 60, AB=段AB从点A向点B运动，设 AP= X. 21cnjy(1)求AD的长；(2)点P在运动过程中，是否存在以 A P、D为顶点的三角形与以P、C B为顶点的三角形相似？若存在，求出 x的值；若不存在，请说明理由；图 1(3)设ADPW PCB勺外接圆的面积分别为 S、S2,若S= S+S2,求S的最小值.动感体验请打开几何画板文件名“ 14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心 O的 运动轨迹是线段 BC的垂直平分线上的一条线段.观察 S随点P运动的图象，可以看到， S 有最小值，此时点 P看上去象是 AB的中点，其实离得很

8、近而已.,思、路点拨1.第(2)题先确定 PCB直角三角形，再验证两个三角形是否相似.2.第(3)题理解 PCB勺外接圆的圆心 O很关键，圆心 O在确定的BC的垂直平分线 上，同时又在不确定的 BP的垂直平分线上.而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式. 图文解析(1)如图2,作CHL AB于H,那么AD= CH在 RtABCHI, / B= 60, BC= 4,所以 BH= 2, CH= 2 J3 .所以 AD= 2J3 .(2)因为 APD直角三角形，如果 APDW PCBK似，那么 PC定是直角三角 形.如图 3,当/ CPB= 90 时，AP= 102=8.所

9、以=_8_ = 晅,而EC = J3 .此时 APDW PCM相似.AD 2,33 PBP DC dC图2图3图4如图 4,当/ BCP= 90 时，BP= 2BC= 8,所以 AP= 2.所以空 =_三;正.所以/ APD= 60 .此时 APD CBP AD 2*33综上所述，当x=2时， APDo CBP (3)如图5,设ADP勺外接圆的圆心为 G那 么直G是斜边DP的中点.设 PCB勺外接圆的圆心为 O,那么我O在BC边的垂直平分线上， 设这条直线与BC交于点E,与AB交于点F.设AP= 2m彳OML BP于M那么BMh P阵5-mi 在 RtBEF中，BE= 2, / B= 60 ,

10、所以 BF= 4,在 RtOFM, FM= BF- BM= 4-(5 -m) = m- 1, /OFM= 30 ,所以 OM= (m 1)3所以 OB= BM+ OM= (5 m)2 1(m 1)2.在 RtAADP, Dp= AD+ AP2=12+4m2.所以 GP 3=3+m2.于是 S= S+S= K GP+ OB) =3 m2 (5 m)2 1(m 1)2 =3考点伸展 关于第(3)题，我们再讨论个问题.问题 这样 问题 如图此时1,为什么设 AP= 2m呢？这是因为线段 AB= AP+ PMF BM= AF 2B阵10.B阵5-m后续可以减少一些分数运算.这不影响求S的最小值.2,如

11、果圆心 O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？6,圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是 FM= BM- BF= (5-n)-4=1-mOB= BM+ OM= (5 m)2 1(1 m)2 .这并不影响S关于m的解析式.2015年湖南省湘西市中考第26题如图1,已知直线y=x+ 3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，抛物线y= x2+bx+c 经过A B两点，点P在线段OA上，从 点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动； 同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒J2个单位的速度匀速运动，连结 PQ设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，APQ为直

12、角三角形；(3)过点P作PE/ y轴，交AB于点E,过点Q作QF/ y轴，交抛物线于点F,连结EF,当EF/ PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为 M连结BR BM MQ问：是否存在t的值，使以R Q M为顶点的三角形与以 O B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到,个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQFT一个时刻可以成为平行四边形，有一次机会相似.思路点拨 APCW 两MBQf BOP1.在APQ4 / A= 45。，夹/ A的两条边AP AQIB可以用t表示，分两种情况

13、讨论直角 三角形APQ 2.先用含t的式子表示点 P、Q的坐标，进而表示点 E、F的坐标，根据 PE=QF列方程就好了.讨论.图文解析3. MBQTBOPTB是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况 (1)由 y= x+3,得 A(3, 0) , B(0, 3).将 A(3, 0)、R0, 3)分别代入 y=-x2+bx+ c,得 9 3b c ，解得 c 3.2,3.所以抛物线的解析式为 y= x2+ 2x+ 3.(2)在APQ43, / PAQ= 45 , AP= 3 t, AQ=&t .分两种情况讨论直角三角形 当/ PQA= 90 时，AP= J2AQ 解方程 3t =2t ,得

14、t = 1 (如图 2).当/ QPA= 90 时，AQ= V2AP.解方程 T2t = 72(3 t),得 t =1.5 (如图APQ3).3(3)如图4,因为PE/ QF当EF/ PQ时，四边形 EPQ屋平行四边形.所以 EP= FQ 所以 yE yp= yFyQ.因为 xp= t, xq= 3 t,所以 yE= 3 t , y= t, yF= (3 t) 2+ 2(3 t) + 3= 12+ 4t .因为 yE yP= yF- yQ,解方程 3 t = ( t2+ 4t) t ,得 t = 1, 或t = 3 (舍去).所以点F的坐标为(2, 3).(4)由y=-x2+2x+3=- (x

15、-1)2+4,得M(1,4)由A(3, 0)、B(0,3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB= 3企.由B(0, 3)、M1,4),可知B泌点间的水平距离、竖直距离相等，BM=也.所以/ MBQZ BOP= 90因此 MBQA BO相似存在两种可能:当咧OB时2BQ OP 3、2 2t当咧OP时，2BQ OB 3.2,2t3.解得t 9 (如图5). t4I.整理，得t2-3t+3=0.此方程无实根.3考点伸展第(3)题也可以用坐标平移的方法：由Rt, 0) , E(t, 3 -t) , Q(3t, t),按照-E方向，将点Q向上平移，得 F(3 -1, 3).再将F(3 -1,

16、 3)代入y= X2+2x+3,得t = 1,或t=3. 1. 2因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题：.已知线段AB= 5厘米，以线段A叨腰的等腰三角形 ABCW多少个？顶点 C的轨迹是什么？.已知线段A& 6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形 ABCT多少个？顶点 C的轨迹是什 么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C.已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.如果 ABC等腰三角形，那么存在 AB= ACBA= BCCA= CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题， 有

17、几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合， 可以使得 解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC勺/ A (的余弦值)是确定的，夹/ A的两边AB和AC可以用含X的式子表示 出来，那么就用几何法.如图 1,如果AB= AC直接列方程；如图 2,如果BA= BC那,11么一 AC ABcos A;如图 3,如果 CA= CB,那么 一 AB AC cos A.22代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 X的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长(的平方)就可以罗列出来.

18、图1图2图3图1例92014 年长沙市中考第26题如图1,抛物线y=ax2 + bx+c （a、b、c是常数，aw0）的对称轴为y轴，且经过（0,0）和（ja,L）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的。P总经过定点A（0, 2）.16（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，O P始终与x轴相交；（3）设。P与x轴相交于M1, 0）、N（x2, 0）两点，当 AMM等腰三角形时，求圆心P的纵坐标.动感体验 请打开几何画板文件名“ 14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形 AMM：在五种情况.,思、路点拨1.不算不知道，一算真奇妙，

19、原来。P在x轴上截得的弦长 MN= 4是定值.2.等腰三角形 AMM在五种情况，点 P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA= Mh#D NA= NMH，点P的纵坐标是相等的.图文解析（1）已知抛物线的顶点为（0,0）,所以y=ax2.所以b=0, c=0.将（商,1）代入y=ax2,得上 a2 .解得a 1 （舍去了负值）.16164（2）抛物线的解析式为y 1x2,设点P的坐标为（x,1x2）.44已知 A（0, 2），所以 PA Jx2 （-1 x2 2）2 J.x44 -1x2 .1而圆心P到x轴的距离为x2,所以半径PAo圆心P到x轴的距离.4所以在点P运动的过程中，O P始终与x轴相交

20、.（3）如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN在 RtAPMH, PM 2 PA2 x4 4 , PH2 （-x）2 2 x4,所以 MlH= 4.16416所以MH= 2,因此MN= 4,为定值.等腰 AMN?在三种情况：如图 3,当AM= AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0.图2图3图4图5如图 4,当 MA= MN寸，在 RtAO汕,OA= 2, AM= 4,所以 OM= 2 73 .此时x=OH= 2 V3 2 .所以点P的纵坐标为-x21（2百 2）2 （石 1）2 4 2石. 44如图5,当NA= NM寸，根据对称性，点 P的纵坐标为也为4 2J3 .如图 6,

21、当 NA= NM= 4 时，在 RtAAOhN, OA= 2, AN= 4,所以 ON= 2 J3 .1x2 1(273 2)2 (73 1)2 4 273 .44此时x=OH= 2率2 .所以点P的纵坐标为考,自彳申展 如果点P在抛物线yx2上运动，以点P为圆心的。P总经过定点B（0, 1）, 4设点P的坐标为（xx2）.已知B（0, 1）,所以4PB4x2 1）岸 1）212d -x 1 .4而圆心P到直线y=- 1的距离也为1x241 ,所以半径PB=圆心P到直线y= 1的距离.所以在点例10如图1,P运动的过程中，O P始终与直线y= 1相切.2014年湖南省张家界市中考第25题在平面

22、直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c （aw0）过O R C三点，R C坐标分1824别为（10, 0）和（18, 24）,以OB为直径的。A经过C点， 55直线l垂直x轴于B点.（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是。A上一动点（不同于 O B）,过点M作。A的切线，交y轴于点E,交直线l于点F,设线段ME长为m MF长为n,请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点 B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点 C作直线运动，经过t （0vtw8）秒时恰好使BPQ等腰三角形，请求出满足条件的t值.图1动

23、感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到， EAF保持直角三角形的形状， AM是斜边上的高.拖动点 Q在BC上运动，可以体验到，BPQT三个时刻可以成为等腰三角形.思路点拨1.从直线BC的解析式可以得到/ 垫.2.设交点式求抛物线的解析式比较简便.角三角形EAF斜边上的高.4 .第（4）题的 用含t的式子表示.分三种情况讨论等腰三角形.图文解析（1）直线BC的解析式为y -x4OBM三角比，为讨论等腰三角形 BPQ乍铺 3.第（3）题连结AE AF容易看到AM是直 PBQK / B是确定的，夹/ B的两条边可以152因为抛物线与X轴交于OB(10, 0)两点

24、，设 y=ax(x10) .代入点 C(18 24)5 52451832a ().斛仔a55524那么在点P运动的过程中，O P始终与直线y=1相切.这是因为：55 c 255 125所以 y x(x 10) _ x2 _ x(x 5)2 一 .抛物线的顶2424122424点为(5, 125). (3)如图2,因为EF切。A于M,所以AML EF.由 24AE= AE AO AM 可得 RtAO降 RtAAME所以/ 1 = /2.同理/ 3=/4.于是可得/ EAF= 90 .所以/ 5= / 1 .由 tan / 5= tan / 1,得 JMA 也.MF MA所以 MEMF= MA 即

25、 mrr 25.图2(4)在 BPQ, cos / B= 4 , BP= 10 t , BQ= t .分三种情况讨论等腰三角形BPQ5如图3,当BP= BQ时，10 t = t.解得t = 5.11480如图4,当P氏PQ时，-BQ BPcos B .解万程一t (10 t),得t 一.22513 如图5,当Q& QPM, 1BP BQcos B.解方程1(10 t) 3,得t 旦 22513图3图4图5 图6考点伸展在第(3)题条件下，以 EF为直径的O G与x轴相切于点A.如图6,这是因为AG既是直角三角形 EAFM边上的中线，也是直角梯形 EOB附中位线, 因此圆心G到x轴的距离等于圆的

26、半径，所以。 G与x轴相切于点 A例112014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中， 抛物线y=x2-(n)x+mn(mn)与x轴相交于 A、B两点(点A位于点B的右侧)，与y轴相交于点C. (1)若m= 2, n=1,求A、B两点的坐标；(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0, 1),求/ACB勺大小；(3)若m= 2, 4ABC是等腰三角形，求 n的值.动感体验请打开几何画板文件名“ 14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮(2),拖动点A在x轴正 半轴上运动，可以体验到， ABC呆持直角三角形的形状.点击屏幕左下方的按钮(3),拖动点B在x轴上运动，观察 ABCW顶点

27、能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABCt 4种情况.思路点拨1.抛物线的解析式可以化为交点式，用 m n表示点A B、C的坐标.2.第(2)题判定直角三角形 ABC可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比.3.第(3)题讨论等腰三角形 ABC先把三边长(的平方)罗列出来，再分类解方程. 图文解析(1)由y=x2- (n)x+ mn= (x- m)( x- n),且mn,点A位于点B的右侧, 可知 A(m 0) , B(n, 0).若 m= 2, n=1,那么 A(2, 0) , B(1,0).(2)如图1,由于C(0, mn,当点C的坐标是(0, 1), mn= 1, O

28、G= 1 .若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么 OAOB= m n) = mn= 1.所以OC= OAOB所以OCOAOBOC所以tan /1 = tan /2.所以/ 1 = /2.又因为/ 1与/ 3互余，所以/ 2与/3互余.所以 / ACB= 90 . ( 3)在ABOK 已知 A(2, 0) , R n, 0) , C(0, 2 n).讨论等腰三角形 ABC用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得A巨=(n2)2,BC=5n2, AC=4+4n2.当 AB= AC时，解方程(n 2) 2= 4 +4n2, 得n -(如图2).3当CA= CB时，解方程4+4n2=5n2,得n=-

29、2 (如图3),或n=2 (A、B重合，舍去).当BA= BCM,解方程(n2)2=5n2,得n 叵二(如图4),或n 叵(如图5)22考点伸展 第(2)题常用的方法还有勾股定理的逆定理.由于C(0, min,当点C的坐标是(0, 1), mn= 1.由 A(m 0) , Rn, 0) , Q0, 1),得 A百=(m- n) 2= ni-2mn+ n2 = n2 + n2+ 2, BC=n2+1, AC= mi+1,所以 A=BC+AC.于是得到 RtAAB(C Z ACB= 90 .第(3)题在讨论等腰三角形 ABC寸，又加1 CA= CB的情况，此时 A、B两点关于y轴对 称，可以直接写

30、出 R2, 0) , n=-2.例122014年湖南省娄底市中考第27题如图1,在ABC4 Z ACB= 90, AC= 4cm, BC= 3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点 A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连结 PQ设运动时间为t (s) (0vtv4),解答下列问题：(1)设 APQ勺面积为S,当t为何 值时，S取得最大值？ S的最大值是多少？ ( 2)如图2,连结PC将 PQC& QCO折，得 到四边形PQFC,当四边形PQPC为菱形时，求t的值；(3)当t为何值时， APQ是等腰三 角形？图1图2图3动感体验 请打开几何画板文件名

31、“ 14娄底27”，拖动点 当点P运动到AB的中点时， APQ勺面积最大，等腰三角形图4Q在AC上运动，可以体验到，AP%在三种情况.还可以体验到，当QC= 2HC时，四边形PQFC是菱形.思路点拨1.在 APQK / A是确定的，夹/ A的两条边可以用含t的式子表示.2.四边形PQPC的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析(1)在 RtAABC, AC= 4, BC= 3,所以 AB= 5, sin A= 3 , cosA= 4 .作QDL AB于5311D,那么 QD= AQsin A= 3t.所以 S= &apa 1AP QD =(5 t)32w(t 5t)35 2 1

32、5(t -) + .1028S取得最大值，最大值为215了(2)设PP与AC交于点H,那么PP QCAH= AFCosA=4,、5(5 t)如果四边形PQFC为菱形，那么 PQ PC所以QC= 2HC4解万程4 t 24 -(5 t)520，得t (3)等腰三角形13APY在三种情况:如图5,当AP= AQ时,6,当 PA= PQM,11-AQ APcosA.解万程一t45(540,上,如图7,当QA= QP131425图7图8考,自彳申展在本题情境下，如果点Q是APPC的重心，求t的值.如图251. 、一一 14 一时，AP AQcosA.解万程 (5 t) t 得 t 225图68,如果点

33、Q PPC的重心，那么QC= 2HC解方程4 t 24 4(5 t),得t旦.33523例132015年湖南省怀化市中考第22题如图1,已知RtABC中，/ C= 90, AC= 8, BC= 6,点P以每秒1个单位的速度从 A 向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从 Z Bf C方向运动，它们到C点后都停止运动， 设点P、Q运动的时间为t秒.(1)在运动过程中，求 P、Q两点间距离的最大值；(2)经过t秒的运动，求 ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；P, Q两点在运动过程中，是否存在时间t ,使得 PQE等腰三角形.若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由.(J5 2.

34、24 ,结果保留一位小数)动感体验请打开几何画板文件名“ 15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形 PQ前在三种情况.思路点拨1.过点B作QP的平行线交AC于D,那么BD的长就是PQ的最大值.线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点 Q分别在AB BC上.等腰三角形 PQO三种情况讨论，先罗列三边长.精品文档 欠迎下载精品文档 欠迎下载精品文档1饮迎下载图文解析(1)在 Rt ABO, AC 8, BG= 6,所以 AB= 10.如图2,当点频AB上时，作 BD PQ交AC于点D,那么JAB AQ 21 2 .AD AP t所以AD= 5.所以CD= 3

35、.如图3,当点QE BC上时，CQ 16 2t 2.CP 8 t又因为CB 6 2 ,所以CQ CB .因此PQ/ BD所以PQ的最大彳苴就是 BDCD 3CP CD在RtABCD, BC= 6, CD= 3,所以BD= 3p.所以PQ的最大值是 3/5 .图1图2图3图4(2)如图2,当点 Q AB上时，0tW5,8abd= 15.由 AQP ABD 彳导 SaaqpS ABD如图3,当点Q在BC上时,(空)2.所以 S= Saaq15(1)2= 3t2.AD555V t 8, & ABC= 24.1.2因为SaCQk-CQ CP =-(162t)(8 t) =(t8),2所以 S= SLa

36、bc Sacqp= 24 (t 8)2= 12+ 16t 40.(3)如图 3,当点 QB BCk日CQ= 2CP / C= 90 点QS ABh时，我们先用t表示4PQC勺三边长：易知如图2,由QP/ BD彳# QP空，即QP -BD AD 3.55,所以 PQ1可能成为等腰三角形.当CP= 8-t .-3.5.所以QP 1 .5如图 4, Q QKACFH.在 RtAQ中，QH= AQsin /A=2，AH=3.在RtACQH,由勾股定理，得CQ= QH2CH2 = . (6t)28 2(8 -t).5分三种情况讨论等腰三角形PQC (1 )当PC= PQ寸，解方程t 675 103.4

37、(如图 5所示).当 QC= QP寸，.(6t)2 (8 8t)235, 1 .5整理，得24011t128t 320 0 .所以(11t40)( t 8) = 0.解得 t 一 气6 (如图 6所本)11，或 t =8(舍去).当 CP= CQ寸，8 t J(6t)2 (8 8t)2 ,整理，得 5t2 16t 0 . 55解得t =3.2 (如图7所示)，或t = 0 (舍去).5综上所述，当t的值约为3.4 , 3.6 ,或等于3.2时， PQO等腰三角形.图5图6图7图8图9考点伸展第(1)题求P、如图8,当点Q在AEBE时,Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法:PQ= QH

38、2 PH 2=鸣5当Q与B重合时，PQI大，此时t=5, PQ勺最大值为3J5.如图9,当点Q在BC:时，PQ=，CQ2 CP2 = J(2CP)2 CP2 = 75(8 t) .当 S Bt合时，PQ1大，此时 t =5, PQ勺最 大值为3赤.综上所述，PQ勺最大值为375 .1. 3因动点产生的直角三角形问题课刖导学我们先看三个问题：1.已知线段AB以线段AB为直角边的直角三角形 ABCT 多少个？顶点 C的轨迹是什么？ 2.已知线段 AR以线段AB为斜边的直角三角形 ABC有多 少个？顶点C的轨迹是什么？3.已知点A(4,0),如果 OA泥等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标.图3图

39、4C在以AB为直径的圆上，A B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形，除了 O A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点 B,共6个.解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线， 可以构造两个新 的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便.如图4,已知A(3, 0) , R1,

40、4),如果直角三角形ABC勺顶点C在y轴上，求点C的坐标.我们可以用几何的方法，作 AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C.如果作BDL y轴于D,那么匕AO6 CDB设OC= m那么生上. m 1这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点.例192015 年湖南省益阳市中考第21题如图1,已知抛物线E1：y = x2经过点A(1, m),以原点为顶点的抛物线 日经过点R2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点 A、B. (1)求m的值及抛物线 E所表示的二次函数的 表达式；(2)如图1,在第一象限内，抛物线 Ei上是否存在点 Q,使得以点 Q B B为顶点 的三角形为直角三角形？

41、若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2, P为第一象限内的抛物线 Ei上与点A不重合的一点，连结 OP并延长与抛物线E2相交于点P,求APAA与PBR的面积之比.图1图2图3图4动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线Ei上运动，可以体验到,点P始终是线段 OP勺中点.还可以体验到，直角三角形QBBT两个.思路点拨1.判断点P是线段OP勺中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P的坐标.2.分别求线段 AA： BB,点P到AA的距离：点P到BB的距离，就可以比 较 PAA与 PBB的面积之比.图文解析(1)当 x= 1 时，y= x2=1

42、,所以 A(1, 1) , m= 1.设抛物线E2的表达式为y=ax2,代入点R2,2),可得a= 1 .所以y=lx2.22(2)点Q在第一象限内的抛物线 已上，直角三角形 QB曲在两种情况：如图3,过点B作BB的垂线交抛物线 已于Q那么Q2, 4).1如图4,以BB为直彳5的圆D与抛物线 日交于点Q那么QD= 1 BB =2.2设 Qx, x2),因为 D(0, 2),根据 QD= 4 列方程 x2+(x22)2=4dW|x= J3 .此时 Q(J3,3).(3)如图5,因为点P、P分别在抛物线 已、巳上，设P(b, b2), P(c, lc2).22 c因为O P、P三点在同一条直线上，

43、所以-PM -P-N，即b- 2_ .OM ON b c所以 c=2b.所以 P(2b, 2 b2).如图 6,由 A(1, 1) 、R2,2),可得 AA=2, BB=4.由A(1, 1) 、Rb, b2),可得点P到直线AA的距离PM = b2-1.由B(2,2)、P(2 b, 2 b2),可得点 P到直线 BB的距离PNl = 2b2-2.所以PAAMPBB的面积比=2(b21) : 4(2 b2-2) = 1 ： 4.考点延伸第(2)中当/ BQB= 90。时，求点 Qx, x2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得 BQ + BQ=BB2.所以(x 2)2+(x22)2+(

44、x+2)2+(x22)2=42.方法三，作 QHL BB于 H 那么 QH = BHI- BH 所以(x22)2=(x+ 2) (2 -x).精品文档 #迎下载精品文档 迎下载例202015年湖南省湘潭市中考第26题如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点，与y轴 交于点C,连结BC动点P以每秒1个单位长度的速度从点 A向点B运动，动点Q以每秒 显 个单位长度的速度从点 B向点C运动，R Q两点同时出发，连结PQ当点Q到达点C时，P、 Q两点同时停止运动.设运动的时间为 t秒.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1,当 BPQ为直角三角形时，求 t的

45、值；(3)如图2,当t2时，延长Q汽y轴于点M在抛物线上是否存在一点 N,使得PQ 的中点恰为MN的中点，若存在，求出点 N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名 “15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，4BPQ有两次机会可以成为直角三角形.还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上.思路点拨1.分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ2.如果PQ的中点恰为 MN的中点，那么 MQ= NP以MQ NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程.图文解析(1)因为抛物线y = x2+bx+c与x轴交于A( 1,0)、B(3, 0)两点，

46、所以 2y=(x+ 1)( x 3) =x -2x- 3. (2)由 A( 1,0)、B(3, 0) 、C(0, -3),可得 AB= 4, ZABC= 45。.在 BPQ, / B= 45。，BP= 4-t , BQ= 72t.直角三角形 BPQ在两种情 况：当/ BPQ= 90 时，BQ= J2 BP.解方程 J2t = J2(4 t),得 t =2 (如图 3).当/ BQP= 90 时，BP= & BQ 解方程 4 t =2t ,得 t = 4 (如图 4).3图3图4图5(3)如图5,设PQ的中点为 G当点G恰为MN的中点时，MQ= NP作QEL y轴于E,彳NDx轴于F,彳QHLx

47、轴于 H 那公 MQEA NPF由已知条件，可得P(t -1, 0) ,Q3 t,-t).由QE= PF,可得xq= xn-xp,即 3-t =Xn (t 1).解得 Xn= 2,将 x=2 代入 y=(x+ 1)( x- 3),得 y= 3.所以 N(2, 3).由QH/ NF彳导QH 型，即-(3 t) (t 1) .整理，得t2-9t + 12=0.解得 NF PF 32 (t 1) TOC o 1-5 h z x 933933t . 因为t 2,所以取t .22考点伸展 第(3)题也可以应用中点坐标公式，得xG * xQ (t 1) (3 . 1 ,所以 Xn=2Xg= 2. 1. 4

48、 课前导学我们先思考三个问题:22因动点产生的平行四边形问题.已知A、B、C三点，以A B、C D为顶点的平行四精品文档 欠迎下载精品文档 欠迎下载边形有几个，怎么画？ 2.在坐标平面内，如何理解平行四边形 ABCD勺对边ABf DC平行且相等？ 3.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD勺对角线互相平分？如图1,过 ABC勺每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D.如图2,已知A(0, 3), B( -2, 0), C(3, 1),如果四边形 ABCDI平行四边形，怎样求 点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移 3个单位与点A重合，因为BA与CD 平行且相等，所以点

49、 Q3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移 3个单位得到点 D(5, 4).如图3,如果平行四边形 ABCD勺对角线交于点 G那么过点G画任意一条直线(一般与 坐标轴垂直)，点A、C到这条直线的距离相等，点R D到这条直线的距离相等.关系式xa+ xc= xb+ xd和yA+yC= yB+yD有时候用起来很方便. 我们再来说说压轴题常常 要用到的数形Z合.如图 4,点A是抛物线y=- x2+2x+3在x轴上方的一个动点， ABLx 轴于点B,线段AB交直线y = x1于点C,那么点A的坐标可以表示为(x, x2+2x + 3), 点C的坐标可以表示为(x, x1),线段AB的长可以用点 A

50、的纵坐标表示为 AB= yA= x2 + 2x+3,线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为 AC= yA yC= ( x2+2x+3) (x1) = x2+x+2.通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离.例242014年湖南省岳阳市中考第24题如图1,抛物线经过 A(1,0) 、B(5, 0) 、。(0 10)三点.设点E(x, y)是抛物线上一动 ，3点，且在x轴下方，四边形 OEB/以OB为对角线的平行四边形.(1)求抛物线的解析式；(2)当点E(x, y)运动时，试求平行四边形 OEBF勺面积S与x之间的函数关系式，并 求出

51、面积S的最大值(3)是否存在这样的点 E,使平行四边形 OEB的正方形？若存在，求 点E、F的坐标；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24，拖动点E运动，可以体验到，当点E运动到抛物线的顶点时，S最大.当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEB胎好是正方形.思路点拨1.平行四边形 OEBFF勺面积等于 OEBT积的2倍.第(3)题探究正方形 OEBF先确定点E在OB勺垂直平分线上，再验证 E0- EB 图文解析(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(5, 0)两点，设y=a(x- 1)( x-5).代入点C(0,10)，得10 5a.解得a332 .所以抛物线

52、的解析式为3y 2(x 1)(X 5)2 2-10X2 4x 一.(2)因为 S= S平行四边形OEB- 2sAOB OB( yE)332 21010 2105(x 4x 一) = 一(x 6x 5) = (x3333-403)2 一.所以当x=3时，S取得最大3值，最大值为竺.此时点E是抛物线的顶点(如图32). (3)如果平行四边形 OEB用正方形，那么点 E在OB勺垂直平分线上，且 E0= EB当x=E2y 2(x 1)(x 5) 2 3(5)5.此时E(5, 3 .如图3,设EF与0皎于点D,恰3 222222好OB= 2DE所以4 OE呢等腰直角三角形.所以平行四边形OEBF1正方形

53、.所以当平行四边形 OEBF1正方形时，EI图3图45 5、%3OEB所存在的，命题人为什么不让探究矩形考点伸展既然第(3)题正方形OEBFt几个呢？如图3(x4,如果平行四边形 OEBF矩形，那么/ OEB= 902151)(x 5)x(5 x) 或者由 DE= OB=,根据.根据eH=hohb列方程dE=空，歹历程4(x2)222(x 1)(x 5) 空.这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3-28x2+ 53x34-20 = 0,这个方程对于初中毕业的水平是不好解的.事实上，这个方程可以因式分解，5151(x 4)(x )(x ) 0 ,如图 3, x=;如图 4, x=4;如图 5,

54、 x=,但此时点 E在 x轴上方了.这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是勺、mi n,那么4x3-228x2+53x 20= 4(x j)(x m)(x n) .根据恒等式对应项的系数相等，得方程组4m 4n 10 28,m 4,10m 10n 4mn 53,解得 1 n10mn 20.2例252014年湖南省益阳市中考第20题2如图1,直线y= 3x + 3与x轴、y轴分别交于点 A、B,抛物线y = a(x 2) + k经过A、B两点，并与x轴交于另一点 C,其顶点为P. (1)求a, k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点 Q使4AB加以AB为底边的等腰三角形，求点 Q的坐标

55、;(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M N,使以A、C M N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长.】图文解析(1)由y=3x+ 3,得A(1, 0) , B(0, 3)2 一 a k 0 . 一将 A(1,0) 、R0, 3)分别代入 y=a(x2) +k,得, 解得 a=1, k=- 1.4a k 3.(2)如图2,抛物线的对称轴为直线x=2,设点Q的坐标为(2, m).已知 A(1,0) 、B(0, 3),根据 Q/U QB,列方程 12+m2=22+(mv 3)2.解得mH 2.所以Q2,2).(3)点A(1,0)关于直线x= 2的对称点为C(3,0), AG= 2.如图3,如果A

56、C为正方形的边，那么点 M N都不在抛物线或对称轴上.如图4,当AC为正方形的又扪I线时，M N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2, -1).因为对角线AC= 2,所以正方形的边长为 72图1图2图3图4考,自彳申展 如果把第(3)题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个?如果AC为对角线，上面的正方形 AMCNE符合条件的，M(2, 1).如图5,如果AC为边，那么 MN AC, MN= AC= 2,所以点 M的横坐标为4或0.此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3).第(2)题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点 Q有几个？如图2,当QA= QB寸，Q2, 2)

57、.如图6,当BQ= BA= 斥 时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线 x=2有两个交点.根据BQ= 10,列方程22+(mH3)2=10,得 m 3 J6 .此时 Q2,3 J6)或(2,3 J6).如图7,当AQ= AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线 x = 2有两个交点，但是点(2,例26 2014年湖南省邵阳市中考第25题准备一张矩形纸片(如图 1),按如图2操作：将ABEgBE翻折，使点A落在对角线BD 上的点M将CDFgDF翻折，使点C落在对角线BD上的点N. (1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFD亮菱形，A艮2,求菱形BFDE勺面积.动感体验请打开几

58、何画板文件名 14邵阳25，拖动点D可以改变矩形 ABCD勺形状，可以体验到，当EMW FNE同一条直线上时，四边形BFDEM菱形，此时矩形的直角被三等分. 思 路点拨1 .平行四边形的定义和 4个判定定理都可以证明四边形 BFD或平行四边形 2 .如 果平行四边形 BFD建菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直.用这两个性 质都可以解答第(2)题.图文解析 (1)如图3,因为AB/ DC所以/ ABD= / CDB又 因为/ 1 = / 2, Z 3=7 4,所以/ 1 = 7 3.所以BE/ FD,又因为ED/ BF,所以四边形 BFDE 是平行四边形.（2）如图4,如果四边形

59、BFD比菱形，那么/ 1 = 7 5,所以/ 1 = /2=/5.由于/ ABO 90 ,所以/ 仁/ 2=/ 5=30 .所以 BD= 2AB= 4, AE= 23 .所以 ME 3= 2 . 所以 S 菱形 bfde= 2Sabde= BDME= 8.33考,自彳申展 第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平 行的四边形叫平行四边形.还可以这样思考：证明四边形BFDE勺两组对边分别相等；证明ED与BF平行且相等；证明四边形 BFDE勺两组对角分别相等.这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明/1 = 7 2=7 3=7 4.这样其实就走了弯路，因为

60、由/1 = /3,直接得到BE/ FD根据平行四边形的定义来得快.能不能根据BD与EF互相平分来证明呢？也是可以的：如图5,设EF与BD交于点O,根据“角角边”证明 EMQ FNQ得到EF与MNE相 平分.又因为BM= DN于是得到EF与BD互相平分.第（2）题的解法，我们用了菱形的性 质：对角线平分每组对角，得到 30。的角.我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来 解题：如图6,如果四边形 BFDE菱形，那么对角线 EFL BD此时垂足 M N重合.因此 BD= 2DC这样就彳#到了/ 5=30。.事实上，当四边形 BFDE1菱形时，矩形 ABCD分割为 6个全等的直角三角形.由 AB=