六、误差基本知识

1、第六章 测量误差基本知识第一节 测量误差第二节 评定精度的指标第三节 误差传播定律第四节 算术平均值及观测值的中误差第五节 加权平均值及其精度评定要求1.掌握测量误差的分类及其存在规律；2.掌握衡量精度的标准、算术平均值及其中误差的基本概念和运算；3.了解误差传播定律。 1第六章 测量误差基本知识重点误差的分类及特点中误差误差传播定理 难点误差传播定理中误差算术平均值的中误差白塞尔公式 261 测量误差举例： 1、对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180； 2、所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等。A1234ABC原因：观测值中包含有测量误差。361 测量误差真值：任何一个观测量客观

2、上总存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值称为该观测量的真值。用X表示。观测值：通过观测得到的数值称为该量的观测值，用Li（i=1,2,n）表示真误差（误差）：真值与观测值之差称为真误差，用表示：i=X-Li （i=1,2,n）真值X客观上存在，实际上无法得到4一、误差来源来源主要有以下三个方面： 1、测量仪器 每种仪器有一定限度的精度，因而观测值必然带有误差，如水准尺的分划误差； 同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差。 如：钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 52、观测者:三方面因素综合起来称为观测条件。由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等

3、方面都产生误差。 3、外界条件： 温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。6根据观测误差对观测成果的影响性质，分为系统误差，偶然误差和粗差3种。 1、系统误差： 定义：在相同的观测条件下作一系列观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称“系统误差”。 举例：用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。处理：利用尺长方程进行尺长改正。二、误差的分类：71、系统误差处理方法： 1、检校仪器； 2、对观测值施加改正数； 3、采用适当的观测方法，使

4、系统误差相互抵消或减弱。 特点：符号、大小相同或按一定规律变化； 重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。82、偶然误差：定义：在相同的观测条件下进行一系列观测，如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。原因：人力所不能控制的或无法估计的因素如经纬仪的照准误差、水准尺估读毫米误差。 特点：符号、大小不一致，表面没有规律； 抵偿性； 不可消除，不可避免的。处理：多次重复观测取平均值抵消部分偶然误差。93、粗差：粗大误差注意： 粗差：如读错、记错等。这主要是由于粗心大

5、意或各种干扰引起。如瞄错目标、读错大数等； 粗差值大大超过系统误差或偶然误差。粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性，甚至造成返工。 采取适当的方法和措施，可以避免粗差发生。 10系统误差可以按照现代测量误差理论和测量数据处理方法消除或削弱；粗差可以探测并剔除；观测结果主要存在的误差是偶然误差，可以进行适当处理，求得观测量的最可靠值。1162 偶然误差的特性 人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差的分布表现出一定的统计规律性。下面通过实例来说明这种规律性。 一、举例： 例：某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角，每个三角形的内角和真误差（三角闭合差）由下式计算

6、：ABC12将358个i进行整理： 以3”为区间长度进行分区； 统计各区间内误差的个数k ； 统计“误差出现在每个区间内的频率k/n（n为误差个数）”。得到误差分布表13误差区间负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.017

7、24以上0000001810.5051770.4953581.000358个三角形内角和真误差分布表14直方图：横坐标：三角形内角和的真误差 ； 纵坐标：频率除以区间间隔d。+3+6+9+12+15+18+21-24+24-21-18-15-12-9-6-312.611.512.811.29.26.44.73.01.71.19.25.94.53.61.40.6频率直方图误差分布曲线：如果将误差区间缩小，各矩形顶部形成的折线就变成一条光滑曲线，称偶然误差的概率分布曲线。152、大小的规律：小的比大的机会多（小误差的密集性）；即3、符号：绝对值相等的正负误差出现的机会均等（正负误差的对抗性）；4、

8、平均值：算术平均值随观测次数的增加而趋近于零（抵偿性），即：从图表中可以看出偶然误差有如下特性：1、范围：在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的数值（有界性），即：16精度：一组误差分布的密集或离散程度。相同观测条件下，一组观测对应一种确定的误差分布（该组的每一观测值为同精度观测值），分布密集者精度高。一、中误差： 愈大，曲线愈平缓，误差分布分散， 愈小，曲线愈陡峭，误差分布密集，曲线的2拐点的横坐标值：拐=63 评定精度的指标-1+1+2-2的大小反映精度的高低，故将标准差作为衡量精度的指标。17一、中误差：根据离散度的大小可以衡量观测精度的高低，而方差正是反应离散度的数字特征。方差：标准

9、差的平方标准差：实际测量中，观测个数 n 是有限的，由有限个观测值的偶然误差求得的标准差的近似值（估值）为中误差，用 m 表示。问题：中误差和真误差的区别？18举例ABC例：中误差的计算：下表为两组三角形内角和闭合差，试计算观测值的中误差。192组三角形内角和闭合差举例20举例结论：第一组观测结果精度高。 计算时，m取2位有效数字，数值前冠以,数值后写单位； 标准差已经确定，做出对应的偶然误差正态分布曲线；21根据误差分布曲线，可知各区间概率分布：二、极限误差： 定义：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。常以三倍的中误差为作为偶然误差的容许值（容许误差或

10、限差），严格时，以2倍的中误差作为限差。 根据：误差出现在该区间的概率。 22定义：中误差的绝对值与相应观测值之比。 三、相对误差：特点： 是一个比值，不需要正负号。 相对误差是个无名数，分子为1，即1/N（N为整数）； 距离测量的精度采用相对误差表示。比较：钢尺测量1000m和80m两段距离，2者观测值的中误差均为2cm，但2者的相对中误差分别为0.02/1000=1/50000和0.02/80=1/4000，前者量距精度高于后者。与相对误差对应，真误差、中误差、极限误差均为绝对误差2363 误差传播定律 AB水准路线分3段测量，则hAB=h1+h2+h3，如何由各段观测高差的中误差计算A、

11、B两点高差的中误差？定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。 24一、线性函数设线性函数z为： z=k1x1+k2x2+klxl (1)x1，x2，xl独立观测值，其中误差分别为m1，m2，ml，k1，k2，kl为任意常数， 设x1，x2，xl分别含有真误差x1 ， x2 ， ， xl(3)25一、线性函数26一、线性函数2、和差函数：由上式可得到如下函数的误差传播定律表达式：1、倍函数：27举例例1：测得圆形半径r1.465m，已知中误差m2mm，求周长及周长中误差。1、列出周长l函数式2、由倍函数误差传播式求周长中误差3、写出周长计算结果2864 算术平均值及观测值的中误差真误差和的平均值算术平均值假设某一量真值为X，对其进行n 次同精度观测，观测值L1，L2 ，Ln，求其最可靠值，即最或然值。 由真误差定义式， 则各观测值的真误差为：最或然值:最接近真值的值。一、算术平均值：29真值、真误差都是未知数，怎么办？三、按观测值的改正值计算中误差中误差的定义式：算术平均值与观测值之差称为观测值的改正数（v）引入用改正数计算算术平均值中误差的公式30本章练习题1.偶然误差与系统误差有什么区别?偶然误差有哪些特性?2.何谓中误差、相对误差和极限误差?3.对某线段丈量了5次，观测荚果为：49.535m