《高等数学》(经管类专业适用)教案第三章3.2.4教学设计

1、课题3.2.4广义积分教学目标知识目标1) 了解无穷限的广义积分的意义，会判断其中较简单的无穷限广义积分的敛散性；2)会用数学软件求一般难度的函数的不定积分、定积分和广义积分。能力目标通过教学沽动训练学生分析问题和归纳总结能力，提高实际应变能力，发展 学生思维，培养学生综合解决问题的能力。教学重点无穷限广义积分教学难点无穷限广义积分的求法教法学法归纳总结性质的讲授法、练习法，讨论法教学反思广义积分敛散性的判断综合了定积分和极限两种计算进行的，在计算上对于学生来说，存 在着相当的困难，如何引导学生理解概念，进而解决问题，以期达到发展学生的数学思维 能力，提高学生的数学素养。教学过程设计意图一、知

2、识回顾复习极限的概念和计算方法二、合作探究问题1 ： f (x) x2在1,)区间上与x轴围成的面积显然是一个无法封口的区域，但随着区域向x轴止方向无限延伸，所围成的面积是否有个极限状态？设函数f(x)在区间a,)上连续 Wb a,如果极限 bJim a f (x)dx存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,)无穷限广义积分记作a f (x) dx 即f(x)dx lim bf(x)dx a 、,ba这时也称广义积分3 f(x)dx收敛a如果上述极限不存在函数f (x)在无穷区间a,)上的广义积分f (x) dx就没有意义此时称广义积分f (x)dx发散a a 引导学生有目的地复习，为后面

3、的学习做准备从具体例子引出无穷限的广义积分概念，有效地帮助学生掌握和理解公式。2.探究例题【例1】计算广义积分e xdx.解对任意的b0,有因此,xdxb ( 1) 1blim e xdxb 0lim (1 bb)10 1,xe dx lim0bbxe dx0再把公式运用到具 体例子，这个部分 的练习目的是熟悉 公式和理解广义积 分的概念，其次从 实例感觉收敛和发 散的异同点，引导 学生归纳类型。【例2】判断广义积分axdx的敛散性.bsinxdxolbcos x| 0cosb (cos0)cosb因为lim (1 cosb)不存在)故由定义知无穷积分 bfnxdx发散.由以上例子可以看出，广

4、义积分的计算其实是分两步进行的:止日土 少ze兀求出相应有限区间上的定积分；第二步是通过取极限将区间回归无限.有时为了方便，也将取极限直接写成定积分上下限的形式.如1 3dx12x2【例3】讨论广义积分:xpdx(a0)的敛散性1 dx xPlim 1 dxb a xblim In x；如图3-7所示，当b趋于+8时，阴影部分面积趋于+00.图3-7把问题回到最重要 也是最一般的题 型，让学生充分理 解方法的基础上， 与学生共同探究、 归纳总结，突出重 点。当P1时1dx 11Pxi 北 xPa1PP 1因此当P1时此广义积分收敛其值为当P 1时此广义积分发教学过程设计意图散.从图3-7可以看

5、出，p=1时函数所围成的图形面积较p=2所围成的图形面积要大.类似地 连续函数f(x)在区间(，b上和在区间()上的广义积分可定义为b *b ,f (x)dx lim f (x)dx aaf(x)dx lim 0f(x)dx lim : f(x)dx aab0三、软件求解数学软件 MA TLAB在命令窗口中提供了求定积分和广义积分的命令函数，其命令格式与计算不定积分的基本相同.其具体格式如下：int(函数f,下限a,上PMb)对函数f关于默认的变量求a,b上的定积分int(函数f,变重名x,下限a,上限b)对函数f关于指te的变重 x求a,b上的定积分说明：对于无穷限的广义积分，用“+inf”

6、与“ -inf”分别表示“ +8”与“-OO一，一八41【例4】计算定积分dx.0 1 clearsyms x y;y=1/(1+sqrt(x)y=1/(1+xA(1/2)int(y,x,0,4)ans=-2*log(3)+4，、1【例5】计算广义积分dx.0 1 x2解 clear通过基本的逻辑推 理，附带介绍其他 两种类型的无穷限 广义积分。基于积分的难度较 大，介绍用数学软 件来解决，降彳氐计 算难度，提高学习 效果。syms x y;y=1/(1+xA2);int(y,0,+inf)ans=1/2*pi四、课堂练习1(1) 1 产(3)xex22.利用数学软件MATLAB计算以下积分:；Vx；(2) 2(x 2)J(4 x2)3dx； (3) o xexdx五、课堂小结1、在理解概念的基础，会求简单结构的广义积分；2、掌握利用数学软件 MATLA球积分的命令函数。六、布置作业.书面作业必做：习题集中的“练习 3.2.4 ”选做：习题3.2中的2.拓展作业(1)根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料。(2)以小组为单位，依据本节课所学知识编写与生活或专业相关的问题(小组之间循环解答)3.上机操作利用MATLA球解课堂练习2,并解决 拓展作业的问题通过学与做的课堂活动，引导学生形 成“自主学习”