数字信号处理：dsp15 物理可实现信号、最小相位信号和最小能量延迟信号

1、数字信号处理9.物理可实现信号、最小相位信号和最小能量延迟信号（I） 8/11/20221马尽文9.1物理可实现信号A.物理可实现信号及其简单性质一个序列 ，如果满足则称 为物理可实现序列。当 为信号时，满足上式的信号就称为物理可实现信号。当 为滤波因子时，满足上式的滤波因子就称为物理可实现滤波因子。这时作为信号， 也就被称为单边信号或因果信号。物理可实现：有脉冲的激发，才有系统的输出。或者说，当激发脉冲作用于系统之前，系统是不会有响应的，即在输入之前，不能有输出。8/11/20222马尽文9.1物理可实现信号物理可实现信号 的频谱 和Z变换 为 定理1 设信号 的能量是有限的，即 则信号 是

2、物理可实现的充分必要条件是 定理2 设信号 ， 是两个物理可实现信号，则 和 也是物理可实现的，并且8/11/20223马尽文9.1物理可实现信号 若 ， 表示两个物理可实现滤波因子，则定理2表明：两个物理可实现滤波器并联或串联之后仍是物理可实现的。B.Z变换为有理分式时的物理可实现条件 设信号 的Z变换为 其中 ，分子和分母没有公因子。8/11/20224马尽文9.1物理可实现信号 设 当多项式在单位圆上有根时，即存在 使 ，因而 时（ 为 中的某个数），则 的频谱 ，有 ，且 的能量 这说明，要使信号 能量有限，其充要条件是 的分母 多项式在单位圆上没有根。 可分解为8/11/20225马

3、尽文9.1物理可实现信号 其中 为分母多项式 的 重根。因为分母 多项式共有 个根，所以 。当 时， 不存在（关于有理分式的分解可参看文献8第二篇7.6） 的分母多项式的根全在单位圆外时，即 ，根据第三章第五节例5知， 是物理可实现的，由本节定理2知， 是物理可实现的，从而 是物理可实现的。8/11/20226马尽文当 的分母多项式在单位圆内有根时，存在 有，同理知 ， 都不是物理可实现的，进而不是物理可实现的。9.1物理可实现信号 定理3 设信号 的Z变换为上面讨论的 ，则： （1）信号 为能量有限的充分必要条件是： 的分母 多项式在单位圆上没有根； （2）信号 为能量有限的，则 为物理可实

4、现的充分必 要条件是： 的分母多项式的根全在单位圆外。8/11/20227马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位A.能量有限的物理可实现信号 离散信号 称为能量有限的物理可实现信号，如果 满足在下面讨论中，离散信号 可取实值，也可取复值。其Z变换为其频谱为其中 为 的振幅谱， 为 的相位谱。 是圆频率，且有 ，其中 为离散信号的抽样间隔。8/11/20228马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位信号 和频谱 关系如下： 频谱 和能量 有如下关系： 以上关系称为能量等式。 对于 的Z变换 ，当我们将Z看成复自变量时， 是单位圆内解析函数，而频谱 是 在单位圆边界上所取的值。按照解析函

5、数边界性质（参看文献9），频谱 使得函数 在区间 上是可积的，且8/11/20229马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位Z变换 可表示为 式中 为一个实数， 为非负整数， 为复数序列， 为一个不上升的函数，具有几乎处处等于0的微商， 为振幅谱。8/11/202210马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位B.纯相位物理可实现信号（或全通滤波器）Z变换和频谱的特点如果离散信号 满足 则称 为纯相位物理可实现信号，简称纯相位信号。 如果 表示一个滤波因子，则当 满足上式时，我们称 为纯相位物理可实现滤波因子，或者称 为全通滤波因子，这时 所表示的滤波器成为全通滤波器。设 为输入信号，经

6、过 滤波后输出为 ，则 振幅谱为8/11/202211马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位这表明输入信号的振幅谱 经滤波后全部通过并保持不变，这就是滤波因子 为全通滤波器的原因。 由纯相位信号定义和能量等式，纯相位信号 具有单位能 量，即 例1 信号 的Z变换为 ，或者频谱为 。易知，它的振幅谱为1，相位谱为 ，相应的信号为8/11/202212马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位例2 信号 的Z变换为其中 ， 为实数。我们要证明 为纯相位物理可实现信号，并算出它的相位谱。 的分母多项式的根为 ，模为 ，这表示根在单位圆外。由上节定理3知， 为物理可实现信号。其振幅谱为8/11

7、/202213马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位因此， 为纯相位物理可实现信号。下面计算其相位谱。上式的分子为因此， 的相位谱为8/11/202214马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位下面讨论一般的纯相位信号或全通滤波器的Z变换和频谱由于纯相位信号的振幅谱 ，所以 ，因而有又由于纯相位信号的能量为1，按能量有限物理可实现信号Z变换的一般表示，纯相位信号的Z变换 为将上式分成四个部分来考虑：8/11/202215马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位为求 的频谱 的表达式，即相位谱 的表达式，我们先求出每一个 相应的频谱表达式：8/11/202216马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位由例2知，上式连乘积内的每一项 ，其振幅谱为1，相位谱为因此， 为现在考虑相应于 的频谱 。8/11/202217马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相位其中因此， 我们令 8/11/202218马尽文9.2能量有限的物理可实现信号、纯相