三维晶格的振动

1、声子是真实的粒子吗？不是, 是“准粒子”一维双原子链的布里渊区, 或 q 的取值范围是多大？q 可以取多少个不同的值？怎样分布？N 个，在周期性边界条件下是均匀分布的每个 q 对应几个格波解？分别称为什么？2个，声学波、光学波13-4 三维晶格的振动双原子链的模型已比较全面地表现了晶格振动的基本特征，这一节以对比双原子链的方法来说明三维晶格的振动考虑原胞含有 n 个原子的复式晶格, n 个原子的质量为m1, m2, , mn , 原胞以 l (l1 l2 l3) 标志, 表明它位于格点1. 运动方程与振动模式数2原胞中各原子的位置用 表示偏离格点的位移则写成和双原子链的情形一样, 可以写出一个

2、典型原胞中的运动方程其中 k 标明原胞中的各原子, k =1, 2, , n. 代表原子的三个位移分量, 方程右端是原子位移的线性齐次函数3指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式, q 是其波数矢量方程解的形式和一维完全相似，可以写成A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), 可以是复数, 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式4同样可证明, 代回运动方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , , Anx , Any , Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程 它的有解条件是 的一个 3n

3、 次方程式,从而给出了 3n 个解 j ( j = 1, 2, , 3n)具体分析证明, 当 q0 时, 有三个解 jq, 且对这三个解 A1, A2, An 趋于相同, 也就是说在长波极限整个原胞一齐移动。这三个解实际上与弹性波相合5所以在三维晶格中, 对一定的波矢 q, 有 3 个声学波, (3n3) 个光学波。或者说有 3 支声学波, (3n3)支光学波另外(3n3)个解的长波极限描述 n 个格子之间的相对振动, 并具有有限的频率 问题：铜晶体的格波有几支声学波，几支光学波？ NaCl 晶体？ 金刚石？CsCl?6在三维情形 q 同样受到边界条件的限制，只能取某些值而不是任意的“q 空间

4、”以倒矢量 b1, b2, b3为基矢, 即 q 写成的形式常引入 “q 空间”来表示边界条件所允许的 q 值, 即把 q 看作空间的矢量, 而边界条件允许的 q 值将表示为这个空间中的点2. 玻恩卡曼边界条件与布里渊区7仍采用玻恩卡曼边界条件，在三维情况下其中 a1、a2、a3 为晶格基矢, N1、N2、N3 为沿三个基矢方向的原胞数, 显然有晶体总原胞数N=N1N2N3. (Rl) 代表 Rl 格点上原胞的位移边界条件表示, 沿着 ai 方向, 原胞的标数增加 Ni , 振动情况必须相同 (i=1,2,3)8边界条件要求h1 、h2、 h3为整数, 因此它们代表 q 空间均匀分布的点9每个

5、点占据的 q 空间体积考虑到倒格子原胞的“体积”与正格子原胞的体积之间的关系, 可以得到边界条件允许的 q 在 q 空间均匀分布的密度：V 为晶体的体积10从原子振动考查, q 的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系, 具体表现在格波解中的位相因子如果 q 改变一个倒格子矢量 (n1, n2, n3为整数), 则由于 是 2的整数倍, 并不影响上述位相因子这表示为了得到所有不同的格波, 也只需要考虑一定范围的 q 值, 例如可以只考虑一个倒格子原胞中的 q 值11在图中所示的倒格子中, 可以把平行四边形原胞选为 q 的取值范围, 对其它的 q 值在指定的原胞内总存在一个对应的 q, 它们之

6、间相差一个 Gn, 因而对格波的描述没有任何区别12由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2), 因此不同 q 的总数应当是和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个声学波, (3n3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明,上述的格波已概括了晶体的全部振动模13但是把 q 的取值范围选为上述倒格子原胞并不是最方便的, 通常是选为第一布里渊区(也称简约布里渊区)做由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面, 由这些平面所围成的最小体积就是第一布里渊区可以证明第一布里渊区的体积等于倒格子原胞的体积,第一布里渊区具有环绕原点更为对称的优点14j(q

7、) 作为 q 的函数称为晶格振动谱, 或称为格波的色散关系, 它可以通过实验的办法测量得到, 也可以根据原子间相互作用力的模型从理论上进行计算由理论与实验的比较中获得对相互作用力的认识共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体等由于它们的原子间相互作用力有着不同的特点, 因而在格波的谱上也有着相应的特征3. 晶格振动谱15三维晶格还需要考虑原子位移方向与格波传播方向之间的关系, 若沿着晶体的一个对称轴晶体绕这个轴转 /2, 或/3, 2/3 是对称操作时, 这时格波可以分为纵波和横波纵波原子位移平行于波的传播方向; 横波原子位移垂直于波的传播方向, 而且包括两个频率简并的波TA 表示横声学波, L

8、A 表示纵声学波 TO 表示横光学波, LO 表示纵光学波三维晶体中 q 是矢量, 在作图时总是固定 q 的方向,一般选典型的对称轴的方向。分别画出 q 沿不同方向时j(q) 的变化16由于金刚石结构中每个原胞含有两个原子, 因而存在纵光学波和横光学波. TA, TO 是两重简并的. 可看出长声学波极限纵波和横波有不同的波速, 长光学波极限, 纵波与横波有相同的频率硅的格波谱17GaAs 是族化合物, 具有闪锌矿结构, 它的格波谱与 Si 很相似, 主要的区别在于 q=0 时纵光学波与横光学波的频率是不相同的, 这是离子性的反映, 离子性越强, 两个频率之差越大GaAs 的格波谱18Pb 的格

9、波谱金属 Pb, 由于它具有面心立方晶格结构, 只有声学波。在图中某些 q 值附近 (q) 函数出现扭折, 这是因为这些 q 值的格波与金属中电子之间耦合特别强的结果, 科恩(Kohn)1959年曾预言了与此有关的效应, 称为科恩异常19三维晶格有 3n 个格波，其中 3 支声学波，(3n3)支光学波采用周期性边界条件, 波矢 q 在倒空间均匀分布, 取值范围选为第一布里渊区, 共 N 个值 (N 是原胞数)格波的总数为 3nN, 等于晶体 Nn 个原子的自由度3-4 三维晶格的振动小 结不同结合方式的晶体由于原子间相互作用力的特点, 格波谱上有相应特征203-5 离子晶体的长光学波一、长光学

10、波的宏观运动方程长声学波就是把晶体看成连续介质时的弹性波, 弹性波满足在弹性理论基础之上建立的宏观运动方程对长声学波原胞中所有原子的位移是相同的, 它对应于弹性波中的位移量, 弹性波中的密度可以用单位体积中的原子质量得到黄昆首先提出了长光学波也可以在宏观理论的基础之上进行讨论21长光学波与长声学波不同, 正、负离子之间做相对运动在 q0 的极限, 实际上是正、负离子组成的两个格子之间的相对振动, 质心不动以立方晶体为例, 每个原胞只含一对离子,质量分别用 M 和 M 表示。黄昆选择了 W 做为描述长光学波运动的宏观量 为约化质量, 为原胞体积;、为正、负离子的位移22P 是宏观极化强度, E

11、是宏观电场强度黄昆方程而且建立了下面一对宏观的运动方程 第一个方程是决定离子相对振动的动力学方程第二个方程表示除去正、负离子相对位移产生极化, 还要考虑宏观电场存在时的附加极化这里的系数不都是无关的，可以证明 b12=b2123首先考虑存在静电场情况下晶体的介电极化。 在恒定的静电场下, 令 为零, 得到代入另一式中从静电学知道0 为真空介电常数, (0)为晶体的静电介电常数比较两式得以上的唯象方程中的系数都可以通过实验来确定24再看很高频电场情况下的介电极化, 如果电场的频率远高于晶格振动频率有 W =0, 得到与介电常数的定义比较得到() 为晶体的高频介电常数与 比较得到25下面讨论长光学

12、振动时将看到0 为横长光学波的频率, 可以从晶格的红外吸收谱中测量得到, 因而26二、长光学波的横波频率TO 与纵波频率LO在考虑有带电粒子的晶格振动时,必须考虑它们之间的电磁相互作用在这样的宏观理论中, 把静电学方程与唯象方程的介电极化结合起来, 就相当于考虑了电荷之间的库仑作用往往只限于计算它们之间的库仑作用对于长光学波, 可以用以上的唯象方程求解晶格振动27在立方晶体中长光学波有横波和纵波，其 W 可以分别用 WT 和 WL 表示, 则有电场满足静电方程对黄昆方程第一式取旋度得到可得28对黄昆方程第一式取散度得到再对黄昆方程第二式取散度有将 代入得到29将 代入有即因此有LST关系Lyddano-Sachs-Teller30由于一般来说静电介电常数 (0) 总是大于高频介电常数 (),