高中物理选择性必修3精讲精炼8.一元线性回归模型及其应用（精练教师含解析）

1、8.2 一元线性回归模型及其应用(精练)【题组一 样本中心求参数】1(2021全国高二单元测试)某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x与相应的生产能耗y有如下样本数据：x3456y2.43.144.5已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是( )ABCD【答案】C【解析】设回归直线方程为，由样本数据，可得，因为回归直线经过点，所以，解得，所以回归直线方程为故选：C2(2021江西吉安一中高二开学考试 )已知与之间的一组数据：，则与的线性回归方程为必过( )ABCD【答案】C【解析】由题意可知：，与的线性回归方程必过点.故选：C.3(

2、2021河南孟津县第一高级中学 )为了庆祝建党100周年，某网站从7月1日开始推出党史类书籍免费下载活动，已知活动推出时间(单位：天)与累计下载量(单位：万次)的统计数据如表所示：456786891012根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测，活动推出11天的累计下载量约为( )A13.8万次B14.6万次C16万次D18万次【答案】C【解析】由表格数据知，由回归直线方程的性质，得，所以，故，所以当时，(万次)，故选：C.4(2021河北藁城新冀明中学高二月考)(多选)随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养的要求逐渐提高.据了解，烧烤食品含有强致癌物，因此吃烧烤的人数

3、日益减少，烧烤店也随之减少.某市对2014年至2018年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：年份20142015201620172018年份代码12345盈利店铺的个数260240215200180根据所给数据，得出关于的回归直线方程为，则下列说法正确的是( )A该市2014年至2018年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数B关于的回归直线方程为C估计该市2020年烧烤店盈利店铺的个数为147D预测从2025年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100【答案】ABC【解析】由已知数据得，故A正确；因为关于的回归直线过点，所以，所以，所以关于的回归直线方程为.故B正确；

4、2020年的年份代码为7，故2020年该市烧烤店盈利店铺的个数约为.故C正确；令，由，得，故从2023年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故D不正确，故选：ABC.5(2021广东惠州 )(多选)某种产品的价格(单位：元/)与需求量(单位：)之间的对应数据如下表所示：10152025301110865根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是( )A与正相关B与负相关C样本中心为D该产品价格为35元/时，日需求量大约为【答案】BC【解析】由表格数据，随着价格的增加，需求量随之减少，所以与负相关.因为，故样本中心为由回归直线必过样本点的中心，所以有，解得，所以当时，日需求量不

5、为最大故选：BC6(2021重庆市秀山高级中学校 )(多选)已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是( ) A变量，之间呈负相关关系B可以预测，当时，CD该回归直线必过点【答案】ABD【解析】对于A：由线性回归方程为可知：，所以变量，之间呈负相关关系，故选项A正确；对于B：当时，故选项B正确；对于C：，因为回归直线过样本中心点，所以，解得：，故选项C不正确；对于D：由C可知，所以，所以该回归直线必过样本中心点，故选项D正确；故选：ABD.7(2021贵州贵阳一中 )某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费x/万元1.82.235销售额y

6、/万元82436根据上表已得回归方程为，表中一数据模糊不清，请推算该数据的值为_.【答案】12【解析】由题中数据可得，故空白数据为12.故答案为：128(2021全国高二课时练习)已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，那么表格中的数据m的值为_.x0134y2.24.34.8m【答案】6.7【解析】，把的坐标代入回归直线方程得，解得.故答案为：6.79(2021全国高二课时练习)蟋蟀鸣叫的频率P(每分钟鸣叫的次数)与气温T(单位：)有着很大的关系.某观测人员根据下表中的观测数据计算出P关于T的线性回归方程，则下表中k的值为_.T()38414239P(次

7、数/分钟)2944k36【答案】51【解析】计算，将点的坐标代入P与T的线性回归方程中，得，解得.故答案为：51.10(2021福建宁德高三期中)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：产品数x个1020304050产品总成本(元)62688189由最小二乘法得到回归方程，则_.【答案】【解析】，因为线性回归方程过样本中心点，所以，故答案为：【题组二 线性回归方程】1(2021河北藁城新冀明中学高二月考)假定产品产量x(千件)与单位成本y(元/件)之间存在相关关系.数据如下：x234345y737271736968(1)

8、以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归直线方程，对于单位成本70元/件时，预报产量为多少；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；【答案】(1)散点图见解析；(2)，千件；(3)各组残差见解析，残差平方和为.【解析】(1)解：散点图如下：(2)解：因为，所以，所以回归直线方程为，令，则，解得，所以单位成本70元/件时，预报产量约为千件.(3)解：各组残差分别为：，残差的平方和为.2(2021甘肃张掖)某家庭20152019年的年收入和年支出情况统计如表：年份收入和支出2015年2016年2017年2018年2019年收入(万元)99.61010.411支出(万元)7.

9、37.588.58.7(1)已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程(系数精确到0.01)；(2)假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2021年的年收入为9.5万元，请根据(1)中的线性回归方程预测该家庭2021年的年支出金额附：回归方程中的斜率的最小二乘估计公式为【答案】(1)；(2)7.65万元【解析】(1)依题意，则，则有，则，所以关于的线性回归方程为；(2)当2021年的年收入为9.5万元时，即，所以预测该家庭2021年的年支出金额为7.65万元3(2021云南师大附中)大气污染物PM2.5的浓度超过一定的限度会影响人的健康.为了研究PM2.5的浓度是否受到汽车流量的影响，研究人员选择了

10、24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点统计24小时内过往的汽车流量x(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定该时间段空气中的PM2.5的平均浓度y(单位：g/m3)，制作了如图所示的散点图：(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)；(2)建立y关于x的回归方程；(3)我国规定空气中的PM2.5浓度的安全标准为24小时平均依度75g/m3，某城市为使24小时的PM2.5浓度的平均值在60130g/m3，根据上述回归方程预测汽车的24小时流量应该控制在什么范围内？附：参考数据：，.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小

11、二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)24小时的车流量应该控制在11501650辆.【解析】1)由题得，因为与的相关系数近似为，说明与具有很强的相关性，从而可以用线性回归模型拟合与的关系 (2)由得，所以关于的回归方程为 (3)当时，由得；当时，由得.所以24小时的车流量应该控制在11501650辆4(2021全国高三专题练习)实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表月份12345678910收入(万元)10121513161715161620并计算得，(1)是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明；(当时，那么变量，有较强的线性相关关

12、系)(2)建立关于的回归方程(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况(结果保留整数)附：，【答案】(1)与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；(2)，预测该商场12月份的收入为20万元【解析】(1)由题中数据得，于是得，又，从而，所以与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合；(2)由(1)知，而，从而得，所以关于的线性回归方程为，当时，从而预测该商场12月份的收入为20万元5(2021河南许昌 )某新型外贸出口公司对2021年过去9个月的出口销售数据进行整理，得到了今年第个月份与截止该月底的销售额(单位：万元)之间的关系，如下表：123456789200

13、242270310343384412447479(1)若与满足线性关系，求出关于的回归方程；(，精确到整数位)(2)预测该公司10月份的销售额附：参考数据：；参考公式：，.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)，(2)当时，所以预测该公司10月份销售额为519万元.6(2021福建莆田第二十五中学高三月考)2021年东京奥运会，中国举重选手8人参赛，7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：级别54公斤级59公斤级64公斤级70公斤级76公斤级体重54.015959.016464.017070.0176级别

14、83公斤级91公斤级99公斤级108公斤级108公斤级以上体重76.018383.019191.019999.01108每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表体重5459647076839199106举重成绩291304337353363389406421430(1)根据表中的数据，求出运动员举重成绩y与运动员的体重x的回归直线方程(保留1位小数)；(2)某金牌运动员抓举成绩为170公斤，挺举成绩为204公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？参考数据：；参考公式：【答案】(1

15、)；(2)83公斤级举重.【解析】(1)依题意，则，故回归方程为：(2)该运动员的抓举和挺举的总成绩为374公斤，根据回归方程可知：，解得，即该运动员的体重应该在81公斤左右，即参加的应该是83公斤级举重7(2021西藏拉萨中学高二月考)珠海国际赛车场(简称ZIC)位于珠海经济特区金鼎镇.创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场.目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年参会人数(万人)与所需环保车辆数量(辆)，得到如下统计

16、表：参会人数(万人)11981012所需环保车辆(辆)2823202529(1)根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程(2)已知租用的环保车平均每辆的使用成本费用(元)与数量(辆)的关系为，主办方根据实际参会人数投入所需环保车，租车每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次赛车会大约有14万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？(注：利润主办方支付费用使用成本费用C)参考公式：【答案】(1)；(2)为确保完成任务，需要租用35辆环保车，获得的利润元.【解析】(1) 关于的线性

17、回归方程 (2)将代入得 为确保完成任务，需要租用35辆环保车， 所以 获得的利润元8(2021江西新余市第一中学高二月考)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差()101113128发芽数(颗)2325302616(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“，中至少有一个数小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程.(参考公式：回归直线方程为，其中，

18、)【答案】(1) (2)【解析】(1)从3月1日至3月5日中任选2天，m，n构成的基本事件(m，n)有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共有10个记“m，n至少有一个数小于25”为事件，包括：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，16)，30，16)，(26，16)，共有7个基本事件由古典概型概率公式：(2) 于是， 故所求线性回归方程为9(2021全国高二单元测试)某地区2013年至2019年居民纯收入y(单位：千元)的部分数据如表

19、所示：年份2013201420152016201720182019年份代号t1234567人均纯收入y3.94.34.65.45.82018和2019年的居民纯收入y(单位：千元)数据采用随机抽样的方式获得，用样本的均值来代替当年的居民人均纯收入，其数据如下：2018年抽取的居民纯收入(单位：千元)数据：5.2 4.8 6.5 5.6 6.0 7.1 6.1 7.3 5.9 7.52019年抽取的居民纯收入(单位：千元)数据：6.2 7.8 6.6 5.8 7.1 6.8 7.2 7.9 5.9 7.7(1)求y关于t的线性回归方程；(2)当地政府为了提高居民收入水平，现从2018和2019年

20、居民纯收入(单位：千元)高于7.0千元的样本中随机选择3人进行座谈，了解其工作行业及主要收入来源设X为选出的3人中2018年纯收入高于7.0千元的人数，求随机变量X的分布列和数学期望附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望为【解析】(1)根据2018年的抽样数据可得2018年的人均纯收入为 千元，根据2019年的抽样数据可得2019年的人均纯收入为千元，由所给的数据得，则，则所求关于的线性回归方程为；(2)由2018年和2019年的抽样数据可知，2018年居民纯收入高于7.0千元的有3人，2019年居民纯收入高于7.0千元的有5人，由题意可

21、得，随机变量的可能取值为0，1，2，3，则，随机变量的分布列为则的分布列为：0123则【题组三 非线性回归方程】1(2021福建泉州科技中学 )数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行每一列每一个粗线宫()内的数字均含19，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：(天)1234567(秒)990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，

22、并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据(其中)18450.370.55参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；(2).【解析】(1)由题意，令，设关于的线性回归方程为，则，则.，又，关于的回归方程为，故时，.经过100天训练后，每天解题的

23、平均速度约为140秒.(2)设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负.当时，小明胜，；当时，小明胜，；当时，小明胜，.小明最终赢得比赛的概率为.2(2021云南大理 )2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投

24、入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当时，建立了y与x的两个回归模型：模型：，模型：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型，的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型模型回归方程79.1320.2(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可

25、靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好用最小二乘法求线性回归方程的截距：【答案】(1)模型拟合精度更高、更可靠，亿；(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.【解析】(1)对于模型，对应的，故对应的，故对应的相关指数，对于模型，同理对应的相关指数，故模型拟合精度更高、更可靠.故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.(2)当时，后五组的，由最小二乘法可得，故当投入20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小为：，故投入17亿元比投入20亿元时收益小.3(2021全国高二单元测试)某

26、企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y(元)与生产的产品数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了如下散点图.参考数据：(其中)183.40.340.1151.5336022385.5(1)观察散点图判断，与哪一个适宜作为非原料成本y与生产的产品数量x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)试预测生产该产品10千件时，每件产品的非原料成本为多少元？【答案】(1)；(2)；(3)21元.【解析】(1)

27、由题意，根据题设中的散点图，可得这些点分布在的两侧，所以选择函数作为非原料成本y与生产的产品数量x的回归方程类型.(2)令，则可转化为，则y与u的关系可看成线性相关关系.因为，所以，则，所以，代入，得.(3)当时，所以预测生产该产品10千件时，每件产品的非原料成本为21元.4(2021全国高三课时练习)某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量(单位：亿元)对年销售额(单位：亿元)的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：，其中，均为常数，为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量和年销售额()的数据作了初步处理，令，经计算得到如下数据：20

28、667702004604.23125000215000.30814(1)设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，请从样本相关系数(精确到0.01)的角度判断，哪个模型拟合效果更好；(2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立关于的非线性经验回归方程；(ii)若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？参考数据为，.【答案】(1)模型的拟合效果更好；(2)(i)；(ii)36.66亿元.【解析】(1)，因为，所以从样本相关系数的角度判断，模型的拟合效果更好.(2)(i)先建立关于的经验回归方程.由，得，即.，所以关于的经验回归方程为，所以，即.(ii)若下一年销售额需

29、达到90亿元，则由，得，又，所以，所以，所以预测下一年的研发资金投入量约为36.66亿元.5(2021全国高二课时练习)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度(单位：)与声音能量(单位：)之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：参考数据：，其中，.(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程.(3)假定当声音强度大于时，会产生噪声污染.城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和.请根据(2)中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.【答案】(1)更适合；(2)；(3)会受到噪声污染，理由见解析.【解析】(1)更适合.(2)设，则，关于的经验回归方程是，则关于的非线