2022年新教材高考数学一轮复习规范答题增分专项5高考中的解析几何含解析新人教

1、PAGE PAGE 9规范答题增分专项五高考中的解析几何1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON=54,求证:点(m,k)在定圆上.2.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F为椭圆x24+y23=1的一个焦点.(1)求抛物线C的方程;(2)设P,M,N为抛物线C上不同的三点,点P(1,2),且PMPN.求证:直线MN过定点.3.如图,已知圆G:(x-2)2+y2=49为椭圆T:x216+y2b2=1(0bb0)的两个焦点为F1,F2,点P(2,1)在

2、椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M为椭圆C上一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|OF|为定值.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,直线y=x交椭圆C于A,B两点,椭圆C的右顶点为P,且满足|PA+PB|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx+m(k0,m0)与椭圆C交于不同两点M,N,且定点Q0,-12满足|MQ|=|NQ|,求实数m的取值范围.6.已知点A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-34.(1)求点P

3、的轨迹C的方程;(2)设点F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,R为PF2的中点,O为坐标原点,记QF1O与PF1R的面积之和为S,求S的最大值.7.已知动点P到定点F(1,0)和直线l:x=2的距离之比为22,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程.(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.8.已知抛物线E:y2=2px(p0)

4、的顶点在坐标原点O,过抛物线E的焦点F的直线l与该抛物线交于M,N两点,MON面积的最小值为2.(1)求抛物线E的标准方程.(2)试问是否存在定点D,过点D的直线n与抛物线E交于B,C两点,当A,B,C三点不共线时,使得以BC为直径的圆必过点Ap2,-p?若存在,求出所有符合条件的定点D;若不存在,请说明理由.规范答题增分专项五高考中的解析几何1.(1)解设焦距为2c,e=ca=32,2b=2,a2=b2+c2,b=1,a=2,椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)证明设点M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

5、依题意,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化简得m24k2+1,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=54,则y1y2x1x2=54,即4y1y2=5x1x2,则4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,所以(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=54.由得0m265,1200)的焦点F为椭圆x24+y23=1的一个焦点,

6、可得p2=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+n,由x=my+n,y2=4x,得y2-4my-4n=0,则=16m2+16m0,y1y2=-4n,y1+y2=4m.所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2,x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n.由PMPN,得PMPN=0,即(x1-1,y1-2)(x2-1,y2-2)=0.化简得n2-6n-4m2-8m+5=0,解得n=2m+5或n=-2m+1(舍).所以直线MN:x=my+2m+5过定点(5,-2

7、).3.解(1)由题意可设点B83,y0,y00,如图,设AB与圆G相切于点D,BC交x轴于点H,连接DG,由|DG|AG|=|HB|AB|,得236=y04009+y02,解得y02=59.又点B83,y0在椭圆T上,所以64916+y02b2=49+59b2=1,解得b2=1.故椭圆T的标准方程为x216+y2=1.(2)设过点M(0,1)与圆G:(x-2)2+y2=49相切的直线方程为y-1=kx,则23=|2k+1|1+k2,即32k2+36k+5=0.设MF,ME的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-98,k1k2=532.将y-1=kx代入x216+y2=1,得(16k2+1)x

8、2+32kx=0,解得x=-32k16k2+1或x=0.设点F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),则x1=-32k116k12+1,x2=-32k216k22+1,所以直线EF的斜率为kEF=k2x2-k1x1x2-x1=k2+k11-16k1k2=34,所以直线EF的斜率为y+32k1216k12+1-1=34x+32k116k12+1.将k12=-98k1-532代入上式化简,得y=34x-73,则圆心(2,0)到直线EF的距离为d=32-731+916=23,故直线EF与圆G相切.4.(1)解由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2.将点P(2,1)的坐标

9、代入x24+y2b2=1,得24+1b2=1,解得b=2.故椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)证明由题意可知点Q(2,-1).设点M(x0,y0),则有x02+2y02=4,x02,y01.直线MP的方程为y-1=y0-1x0-2(x-2),令y=0,得x=2y0-x0y0-1,所以|OE|=2y0-x0y0-1.直线MQ的方程为y+1=y0+1x0-2(x-2),令y=0,得x=2y0+x0y0+1,所以|OF|=2y0+x0y0+1.所以|OE|OF|=2y0-x0y0-12y0+x0y0+1=2y02-x02y02-1=2y02-(4-2y02)y02-1=4.故|OE|OF|为定

10、值4.5.解(1)由题意易知PA+PB=2PO,则|PA+PB|=2|PO|=4,即a=2.由e=ca=32,得c=3,所以b=1.故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,则=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)0,即4k2m2-1,x1+x2=-8km4k2+1.设MN中点D的坐标为(xD,yD),因为|MQ|=|NQ|,所以DQMN,即yD+12xD=-1k.又xD=x1+x22=-4km4k2+1,yD=kxD+m=m4k2+1,所以6m-1=4k2,所以6m

11、-10,且6m-1m2-1,解得16m0,得x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,故|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2.点O到直线PQ的距离d=|k|1+k2,则S=12|PQ|d=6k2(k2+1)(3+4k2)2.令u=3+4k2(3,+),则S=6u-34u+14u2=32-3u2-2u+10,32.故S的最大值为32.7.解(1)设点P(x,y),由题意可得(x-1)2+y2|x-2|=22,整理可得x22+y2=1.所以曲线E的方程为x22+y2=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2

12、),由已知可得|AB|=2.当m=0时,不符合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2,由y=mx+n,x22+y2=1,消去y,得m2+12x2+2mnx+n2-1=0.则=4m2n2-4m2+12(n2-1)=2m20,x1+x2=-4mn2m2+1,x1x2=2n2-22m2+1,所以S四边形ACBD=12|AB|x2-x1|=2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22.当且仅当2|m|=1|m|,即m=22时,等号成立,此时n=62.经检验可知,直线y=22x-62和直线y=-22x+62符合题意.故四边形ACBD的面积有最大值,最大值

13、为22,此时直线l的方程为y=22x-62或y=-22x+62.8.解(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=p2,代入抛物线E的方程,得y=p,所以|MN|=2p,所以SMON=12p22p=p22.若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=kx-p2(k0),由y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-(pk2+2p)x+k2p24=0,则|MN|=pk2+2pk2+p=2p+2pk2.又点O到直线MN的距离d=kp2k2+1=kp2k2+1,所以SMON=122p+2pk2kp2k2+1=p221+1k2p22.所以MON面积的最小值为p22=2,又p0,故p=2.故抛物线E的标准方程为y2=4x.(2)假设符合题意的定点D存在.因为直线n与抛物线E交于B,C两点,所以设直线n的方程为x=ay+b,点B(x1,y1),C(x2,y2).由x=ay+b,y2=4x,得y2-4ay-4b=0.又=16a2+16b0,所以y1+y2=4a,y1y2=-4b,所以x1+x2=a(y1+y2)+2b=4a2+2b,x1x2=a2y1y2+ab(y1+