高中数学选修第一册：1.4.1 空间向量的应用（一）（精讲）（解析版）

1、 1.4.1 空间向量应用（一）思维导图常见考法考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，ADeq f(1,2)，试建立适当的坐标系(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量【答案】见解析【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，S(0,0,1)(1)SA平面ABCD，eq o(

2、AS,sup7()(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量(2)ADAB，ADSA，AD平面SAB，eq o(AD,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)是平面SAB的一个法向量(3)在平面SCD中，eq o(DC,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)，eq o(SC,sup7()(1,1，1)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则neq o(DC,sup7()，neq o(SC,sup7()，所以eq blcrc (avs4alco1(no(DC,sup7()0，,no(SC,sup7()0，)得方程组eq b

3、lcrc (avs4alco1(f(1,2)xy0，,xyz0，)eq blcrc (avs4alco1(x2y，,zy，)令y1，得x2，z1，n(2，1,1)1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量eq o(AB,sup7()，eq o(AC,sup7()(3)列方程组：由eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup7()0，,no(AC,sup7()0，)列出方程组(4)解方程组：eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup7()0，,no(AC,sup7()0.)(5)赋非零值

4、：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量2.求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0【一隅三反】1（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量【答案】见解析【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱

5、长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)连接AC(图略)，因为AC平面BDD1B1，所以eq o(AC,sup7()(2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量(2)eq o(DB,sup7()(2,2,0)，eq o(DE,sup7()(1,0,2)设平面BDEF的一个法向量为n(x，y，z)eq blcrc (avs4alco1(no(DB,sup7()0，,no(DE,sup7()0，)eq blcrc (avs4alco1(2x2y0，,x2z0，)eq blcrc (avs4alco1(yx，,zf(1,2)x.)令x2

6、，得y2，z1.n(2，2，1)即为平面BDEF的一个法向量.2（2019涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：为平面PAD的法向量； 为平面PAC的法向量； 为直线AB的方向向量； 直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量 其中正确命题的序号是_【答案】，【解析】因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，正确；因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，正确；易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面P

7、AB，所以平面PAB，故正确.故答案为：，考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.（2）证明平面EFG平面PBC【答案】见解析【解析】证明平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2

8、)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)eq o(PB,sup6()(2，0，2)，eq o(FE,sup6()(0，1，0)，eq o(FG,sup6()(1，1，1)，设eq o(PB,sup6()seq o(FE,sup6()teq o(FG,sup6()，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，eq blcrc (avs4alco1(t2，,ts0，,t2，)解得st2，eq o(PB,sup6()2eq o(FE,sup6()2eq o(FG,sup6()，又eq o(FE,sup6()与eq o(FG,sup6()不共线，eq o(PB,sup6()，eq

9、 o(FE,sup6()与eq o(FG,sup6()共面PB平面EFG，PB平面EFG.（2）证明eq o(EF,sup6()(0，1，0)，eq o(BC,sup6()(0，2，0)，eq o(BC,sup6()2eq o(EF,sup6()，BCEF.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF，GF平面EFG，平面EFG平面PBC.线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行

10、问题【一隅三反】1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点求证：MN平面A1BD【答案】见解析【解析】法一如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，1)，于是eq o(DA1,sup7()(1,0,1)，eq o(DB,sup7()(1,1,0)，eq o(MN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(

11、f(1,2)，0，f(1,2).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(DA1,sup7()，,no(DB,sup7()，)即eq blcrc (avs4alco1(no(DA1,sup7()xz0，,no(DB,sup7()xy0，)取x1，则y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)又eq o(MN,sup7()neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(1,2)(1，1，1)0，eq o(MN,sup7()n.MN平面A1BD法二eq o(MN,sup7()eq o(C1N,sup7()eq o(C1M,

12、sup7()eq f(1,2)eq o(C1B1,sup7()eq f(1,2)eq o(C1C,sup7()eq f(1,2)(eq o(D1A1,sup7()eq o(D1D,sup7()eq f(1,2)eq o(DA1,sup7()，eq o(MN,sup7()eq o(DA1,sup7()，MN平面A1BD法三eq o(MN,sup7()eq o(C1N,sup7()eq o(C1M,sup7()eq f(1,2)eq o(C1B1,sup7()eq f(1,2)eq o(C1C,sup7()eq f(1,2)eq o(DA,sup7()eq f(1,2)eq o(A1A,sup7(

13、)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(DB,sup7()o(BA,sup7()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(A1B,sup7()o(BA,sup7()eq f(1,2)eq o(DB,sup7()eq f(1,2)eq o(A1B,sup7().即eq o(MN,sup7()可用eq o(A1B,sup7()与eq o(DB,sup7()线性表示，故eq o(MN,sup7()与eq o(A1B,sup7()，eq o(DB,sup7()是共面向量，故MN平面A1BD2（2020上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则

14、直线与平面的位置关系为_.【答案】直线在平面上或直线与平面平行【解析】由，所以.又向量为平面的一个法向量.所以直线在平面上或直线与平面平行.故答案为：直线在平面上或直线与平面平行.3（2019江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则_.【答案】【解析】由题意，知，即，.故答案为：考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.【答案】见解析【解析】方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，

15、则存在实数，使meq o(BA1,sup6()eq o(BD,sup6().令eq o(BB1,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(BA,sup6()c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则eq o(BA1,sup6()ac，eq o(BD,sup6()eq f(1,2)ab，eq o(AB1,sup6()ac，meq o(BA1,sup6()eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)abc，eq o(AB1,sup6()m(ac)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(

16、avs4alco1(f(1,2)abc)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)240.故eq o(AB1,sup6()m，结论得证方法二取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，eq r(3)，A(0，0，eq r(3)，B1(1，2，0)设平面A1BD的

17、一个法向量为n(x，y，z)，eq o(BA1,sup6()(1，2，eq r(3)，eq o(BD,sup6()(2，1，0)因为neq o(BA1,sup6()，neq o(BD,sup6()，故eq blcrc (avs4alco1(no(BA1,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x2yr(3)z0，,2xy0，)令x1，则y2，zeq r(3)，故n(1，2，eq r(3)为平面A1BD的一个法向量，而eq o(AB1,sup6()(1，2，eq r(3)，所以eq o(AB1,sup6()n，所以eq o(AB1,sup6()n

18、，故AB1平面A1BD.利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；证明两平面的法向量垂直【一隅三反】1（2018浙江高三其他）已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（ ）ABC与相交但不垂直D【答案】A【解析】.本题选择A选项.2（2020安徽池州。高二期末（理）已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为直线平面，故直线l的方向向量与平面的法向量平行，因为,故选：B.3（2019瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，则直线与底面的关系是( )A平行B垂直C在平面内D成60角【答案】B【解析】依题意，而，所以，而，所以平面.故选：B4（2020江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列