高中数学选修第一册：3.2.1 双曲线（第一课时）（精讲）（解析版）

1、3.2.1 双曲线思维导图常见考法考点一 双曲线的定义【例1】（1）（2020日喀则市拉孜高级中学高二期末（文）到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）A椭圆B两条射线C双曲线D线段（2）（2020甘肃省民乐县第一中学高三其他（理）已知双曲线的上、下焦点分别为，点P在双曲线C上，若，则（ ）A38B24C38或10D24或4【答案】（1）B（2）B【解析】（1）到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|6，满足条件的点的轨迹为两条射线故选B（2）由题意可得，因为，所以点P在双曲线C的下支上，则，故故选：B.【一隅三反】1（2020广东濠江.金山中学高

2、三三模（文）已知，则动点的轨迹是（）A一条射线B双曲线右支C双曲线D双曲线左支【答案】A【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A.2（2020浙江杭州.高二期末）已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是 （ ）A椭圆B双曲线C一条线段D两条射线【答案】B【解析】由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B.3（2020浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，则（ ）ABC或D【答案】B【解析】双曲线的，点在双曲线的右支上，可得，点在双曲线的左支上，可得，由可得在双曲线的左支上，可得，即有.故选：B.考点二 双曲线定义

3、的运用【例2】（1）（2020江西高二期末（文）已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 （ ）A8B9C16D20(2)（2020四川南充.高二期末（理）设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于ABCD【答案】（1）B(2)D【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|+|BF2|16据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以4a|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）16412，即a3，所以ma29，故选B(2)设，则由双曲线的定义可得故，

4、又，故，故，所以的面积为.故选：D.求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式eq f(1,2)|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式eq f(1,2)|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积【一隅三反】1（2020宁夏兴庆.银川九中）已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（ ）A1BCD3【答案】A【解析】双曲线化为标准方程可得即 由双曲线定义可知,所以,又因为,所以

5、,由以上两式可得,由得,所以,解得,故选:A.2（2020武威第八中学高二期末（理）已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于ABCD【答案】C【解析】双曲线中作边上的高，则的面积为故选C3（2020吉林松原）已知点是双曲线上一点，分别为双曲线的左右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）A15B16C18D20【答案】B【解析】依题意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故选：B【例2-2】（2020安徽贵池。池州一中高二期末（理）方程表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A 或BCD 或【

6、答案】C【解析】方程表示双曲线，可得，解得或；记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集，由于，故选：【一隅三反】1（2020全国高二课时练习）若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线，则，得，由可以得到，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：2（2020辽宁高三其他（理）若，则是方程表示双曲线的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得，因为，

7、所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，故选：B3（2020科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文）若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】把曲线转化为，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以，即，解得.故选：B.考点三 双曲线标准方程【例3】（2019吴起高级中学高二期末（理）在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2），经过点，焦点在轴上.(3)过点(3，)，离心率e；(4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，)【答案】（1）;（2）（3） ； （4）.【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为

8、，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.(3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a0，b0)因为双曲线过点(3，)，则.又e，故a24b2.由得a21，b2，故所求双曲线的标准方程为.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 (a0，b0)同理可得b2 ，不符合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为.(4)由2a2b得ab，所以 e，所以可设双曲线方程为x2y2(0)因为双曲线过点P(4， )，所以 1610，即6.所以 双曲线方程为x2y26.所以 双曲线的标准方程为.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为

9、：【一隅三反】1（2019重庆大足）焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是( )ABCD【答案】A【解析】因为双曲线的实轴长是，虚轴长是所以，所以所以双曲线的标准方程是故选：A2（2020四川高二期末（文）已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率，双曲线的方程为：故选：C3（2020河南林州一中高二月考（理）已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，则该双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，则由渐近线方程为，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，

10、故双曲线的方程为.故选：D4（2020全国）已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得，双曲线方程为.故选：D.考点四 渐近线【例4】（2020湖南开福）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，且满足，可得，由双曲线的定义可知，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.【一隅三反】1（2020浙江柯桥）双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A.2（2020邢台市第八中学高二期末）双曲线的顶点到渐近线的距离是_.【答案】【解析】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.点到直线的距离为.故填.3（2020云南省下关第一中学）已知双曲线以椭圆的