新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 通过学习本节内容,能够学会圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算并理解相关公式,逐步培养直观想象、数学运算等核心素养,学习时还应掌握以下知识: 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求旋转体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与旋转体相关的简单实际问题. 圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的面积和.几何体图形表面积公式圆柱底面积:S底面=r2;侧面积:S侧面=2rl;表面积:S=2r(r+l)圆锥底面积:S底面=r2;侧面积:S侧面=rl;表面积:S=r(r+l)圆台上底面面积:

2、S上底面=r2;下底面面积:S下底面=r2;侧面积:S侧面=(r+r)l;表面积:S=(r2+r2+rl+rl) 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积公式圆柱V=Sh (S为底面积,h为圆柱的高) 圆锥V=Sh(S为底面积,h为圆锥的高) 圆台V=(S+S)h(S,S分别为上、下底面面积,h为圆台的高) 球的表面积和体积公式球的表面积公式S=4R2(其中R为球的半径)球的体积公式V=R3(其中R为球的半径) 对球的表面积和体积公式的说明: 1.球的表面积: (1)球面不能展开成平面,要用其他方法求它的表面积. (2)球面面积等于它的大圆面积的4倍. (3)球面面积只与半径R有关,是以R为自变量的二

3、次函数. 2.球的体积:设球的半径为R,它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数. 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. ()2.圆锥、圆台的侧面展开图中的弧长与相应底面的周长有关.()3.正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等.()4.正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等.()5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得几何体的侧面积为4.()判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .提示：旋转得到的几何体为圆柱,该圆柱的底面半径r=1,高h=1,所以其侧面积为2rh=2. 探究与球有关的切、接问题 如图,一个水平放置的无盖正方体容器,容器高8 cm,

4、将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器的厚度,如何求出球的体积? 1.求球的体积的关键是什么?提示:求球的体积的关键是求出球的半径.2.本题中如何求出球的半径?提示:如图,作出球的一个轴截面,则MC=8-6=2(cm),BM=AB=8=4(cm).设球的半径为R cm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,R=5.3.怎样计算球的体积?提示:将球的半径代入球的体积公式,得V球=53=(cm3).4.解决正方体内切球的有关问题时,如何得到基本量的关系?提示:球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为a,则内切球的半径r1

5、=,过在一个平面上的四个切点作截面如图.提示:长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,则长方体的体对角线是外接球的直径,若长方体中过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则外接球的半径r2=,如图所示. 5.解决长方体外接球的有关问题时,如何得到基本量的关系? 球与其他几何体的组合问题的解决方法 1.解决与球有关的组合体问题,其基础是作出适当的球的截面: (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意利用以球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d为三边长的直角三角形,即R2=d2+r2. 2.球与其他几何体经常通过内切、外接等方式构

6、成组合体,主要有球与柱、锥、台体的组合,即球内切于柱、锥、台体或球外接于柱、锥、台体.作出适当的轴截面,利用轴截面探究基本量的关系是解题的要点.在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱ABC-A1B1C1外有一个外接球O2.若ABBC,AB=3,BC=4,则球O2的表面积为29 .思路点拨先求出球O1的半径,再求出球O2的半径,从而求得球O2的表面积.解析ABBC,AB=3,BC=4,AC2=AB2+BC2=25,AC=5.设球O1的半径为r,由题得(3r+4r+5r)=34,r=1,棱柱的侧棱AA1=2r=2.棱柱外接球的直径为=,外接球的半径为,球O2的表面积为4=29.答案29如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若VP-ABCD=,则球O的体积是 . 解析设球O的半径为R.由题意知,PO底面ABCD,PO=R,S四边形ABCD=2R2,由VP-ABCD=,得2R2R=,解得R=2,则球O的体积是23=.答案若正四棱锥P-ABCD内接于球O,且底面ABCD过球心O,设正四棱锥P-ABCD的高为1,求该正四棱锥的体积.解析正四棱锥P-ABCD内接于球