新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：专题强化练2 余弦定理、正弦定理的综合应用

1、专题强化练2余弦定理、正弦定理的综合应用一、选择题 1.()若钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.12.()若ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积S=a2+b2-c24=a23sinA,则sin B=()A.63B.22C.32D.2233.()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且BC边上的高为36a,则bc+cb的最大值为()A.8B.6C.32D.44.(2020广西大学附属中学高三月考,)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若sin(A+C)=2Sb2-c2,则tan C+12t

2、an(B-C)的最小值为()A.2B.2C.1D.22二、填空题5.(2020山东泰安高三上期末,)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosAa+cosBb=sinCc,b2+c2-a2=65bc,则tan B=.6.(2020北京清华大学附属中学高三下统练,)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60,b=4,给出下列说法:若c=3,则角C有两个解;若BCBA=12,则AC边上的高为33;a+c不可能等于9.其中正确说法的序号是.7.()在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若|CA-CB|=3,CACB=6,则ABC面积的最大值为.8.(20

3、20安徽合肥高三模拟,)在锐角ABC中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD的取值范围是.三、解答题9.(2020安徽黄山高一期末,)几千年的沧桑沉淀,凝练了黄山的美,清幽秀丽的自然风光,文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来,文人雅士,群贤毕至,旅人游子,纷至沓来,使黄山成为江南的旅游热点.如图,游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两处路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A乘景区观光车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A乘观光车到B,在B处停留20分钟后,再从B匀速步行到C.假设

4、观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟,山路AC长为2 340米,经测量,cos A=2425,cos C=35.(1)求观光车路线AB的长;(2)乙出发多少分钟后,乙在观光车上与甲的距离最短?10.(2020四川遂宁高一期末,)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C.(1)求A;(2)从下列条件:a=3;SABC=3中任选一个作为已知条件,求ABC周长的取值范围.答案全解全析一、选择题1.B由题意得,12ABBCsin B=1212sin B=12,sin B=22,B=4或B=34.当B=34时,由余弦定理得AC2

5、=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2+2=5,AC=5(负值舍去),此时ABC为钝角三角形,符合题意;当B=4时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-2=1,AC=1(负值舍去),此时AB2+AC2=BC2,ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=5.2.DS=a2+b2-c24,12absin C=2abcosC4,即sin C=cos C,C=4.S=a23sinA,12bcsin A=a23sinA,由正弦定理得12sin Bsin Csin A=sin2A3sinA,即sin Bsin C=23,sin B=223.故选D.3.DBC边上的高为3

6、6a,SABC=12a36a=12bcsin A,a2=23bcsin A,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得23bcsin A=b2+c2-2bccos A,整理得,b2+c2bc=23sin A+2cos A,即bc+cb=4sinA+6.A(0,),A+66,76,当A+6=2,即A=3时,4sinA+6有最大值,为4.bc+cb的最大值为4.4.A因为sin(A+C)=2Sb2-c2,即sin B=2Sb2-c2,所以sin B=acsinBb2-c2,因为sin B0,所以b2=c2+ac,由余弦定理得,c2+ac=a2+c2-2accos B,即a-2ccos B=c

7、,再由正弦定理得sin A-2sin Ccos B=sin C,因为sin A-2sin Ccos B=sin(B+C)-2sin Ccos B=sin(B-C),所以sin(B-C)=sin C,所以B-C=C或B-C+C=,所以B=2C或B=(舍去).因为ABC是锐角三角形,所以0C2,02C2,0-3C2,得6C4,所以tan C33,1,所以tan C+12tan(B-C)=tan C+12tanC2,当且仅当tan C=22时取等号.故选A.二、填空题5.答案4解析b2+c2-a2=65bc,由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A=65bc,cos A=35,sin A=1-

8、cos2A=45.cosAa+cosBb=sinCc,由正弦定理得cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC,34+1tanB=1,tan B=4.6.答案解析对于,当c=3时,cb,CB,角C只有1个解,错误.对于,BCBA=12,accos B=accos 60=12ac=12,ac=24.12acsin B=122432=63.设AC边上的高为h,则12bh=124h=63,解得h=33,正确.对于,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60=a2+c2-ac=16,a2+c2=16+ac,a2+c22ac(当且仅当a=c时取等号),16+ac2ac,a

9、c16,(a+c)2=a2+c2+2ac=3ac+16316+16=64,a+c84,c2+4=(4-b)2+4b2,b2+4c2=(4-b)2,解得32b52.故bc=b(4-b)=-b2+4b32b52,结合二次函数的性质,得154bc4.AD=12(AB+AC),|AD|=12AB2+AC2+2ABACcosBAC=12b2+c2+2bcb2+c2-42bc=122b2+2c2-4=1228-4bc,154bc4,31228-4bc132,即AD的取值范围为3,132.三、解答题9.解析(1)在ABC中,因为cos A=2425,cos C=35,所以sin A=725,sin C=45

10、,从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=117125.由正弦定理得ABsinC=ACsinB,所以AB=ACsinBsin C=2 34011712545=2 000(m),所以观光车路线AB的长为2 000 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客的距离为d m,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A处250t m,由余弦定理得d2=(100+50t)2+(250t)2-2250t(100+50t)2425=1 000(41t2-38t+10)=1 00041t-19412+4941.因为0t2 000250,即0t8,所以当

11、t=1941 min时,甲、乙两游客的距离最短.10.解析(1)因为(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C,所以由正弦定理得(b-a)(b+a)=(b-c)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,又A(0,),所以A=3.(2)选择a=3.由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=2,所以ABC的周长l=2sin B+2sin C+3=2sin B+2sin23-B+3=3sin B+3cos B+3=23sinB+6+3,因为B0,23,所以6B+656,12sinB+61,所以2323sinB+6+333,即ABC周长的取值范围为(23