粉体力学教学课件：3 粉体静力学 (10) 粉体应力精确分析方法

1、第三讲 粉体静力学2 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 第三讲 粉体静力学3.1 莫尔应力圆3.2 粉体的摩擦性3.3 Molerus 粉体分类3.4 粉体的流动性3.5 莫尔-库仑定律3.6 壁面最大主应力方向3.7 朗肯应力状态3.8 粉体压力计算3.9 粉体应力精确分析方法3 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 33.9 粉体应力精确分析方法3.9.1 应力平衡方程 3.9.1.1 直角坐标系的应力平衡方程 3.9.1.2 柱坐标系的应力平衡方程 3.9.1.3 球坐标系的应力平衡方程3.9.2 柱体应力分布的渐进解3.9.3 锥体应力分布的渐进

2、解4 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 考虑图3-28所示的二维微元体，直角坐标系和正应力系如图所示。由x和y方向的力平衡得43.9.1.1 直角坐标系应力平衡方程(3-92)(3-94)5 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 考虑图3-28所示的二维微元体，直角坐标系和正应力系如图所示。由x和y方向的力平衡得53.9.1.1 直角坐标系应力平衡方程(3-95)(3-94)(3-93)6 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 6结合莫尔-库仑定律的应力关系式(3-18)式(3-20)3.9.1.1 直角坐标系应力平衡方程(3-18)(

3、3-19)(3-20)(3-95)(3-94)7 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 7结合莫尔-库仑定律的应力关系式(3-18)式(3-20)粉体的应力平衡方程不显含粉体的初抗剪强度c，适用于Molerus类粉体。3.9.1.1 直角坐标系应力平衡方程8 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 8由力平衡可得轴对称坐标系中的应力平衡方程为 3.9.1.2 柱坐标系应力平衡方程(3-99)(3-98)9 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 93.9.1.2 柱坐标系应力平衡方程(3-99)(3-98)(3-100)(3-104)10 粉体

4、力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 10轴对称柱坐标系中，sxx 必是主应力且等于两主应力之一。朗肯被动态时 朗肯主动态时3.9.1.2 柱坐标系应力平衡方程(3-106)(3-105)(3-99)(3-98)11 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 11式(3-100)(3-106)代入式(3-98)和式(3-99)得轴对称柱坐标系中的应力平衡方程为：3.9.1.2 柱坐标系应力平衡方程(3-107)(3-108)对Molerus粉体均适用 12 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 12由力平衡可得轴对称球坐标系中的应力平衡方程为 3.

5、9.1.3 球坐标系应力平衡方程(3-111)(3-112)13 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 3.9.1.3 球坐标系应力平衡方程(3-113)(3-116)14 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 14 轴对称球坐标系的应力平衡方程3.9.1.3 球坐标系应力平衡方程(3-117)(3-118)对Molerus粉体均适用 15 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 3.9.2 柱体应力分布的渐进解Janssen应力分析 粉体在柱体内的应力存在渐近解。取/z=0(3-107)(3-108)(3-119)(3-120)16 粉体力

6、学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 (3-119)(3-120) 3.9.2 柱体应力分布的渐进解(3-121)+17 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 (3-119)173.9.2 柱体应力分布的渐进解+(3-120)(3-122)18 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 183.9.2 柱体应力分布的渐进解(3-122)(3-121)(3-123) (3-124)(3-125)(3-126)19 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 193.9.2 柱体应力分布的渐进解中轴线上的切应力等于零，szz和srr在中轴线上

7、是主应力。朗肯主动应力态， szz是最大主应力；朗肯被动应力态， srr是最大主应力。根据y角的定义，即r轴逆时针到最大主应力的夹角，所以角y有如下的初始条件20 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 203.9.2 柱体应力分布的渐进解P的初始条件是未知的，y角在壁面的值已知。从中轴线积分到右壁面时，对于朗肯主动应力态，壁面对应于图3-9的A点；对于朗肯被动应力态，壁面对应于图3-9的B点。所以角y的壁面边界条件为 对于朗肯主动应力态 对于朗肯被动应力态(3-126)(3-125)21 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 213.9.2 柱体应力分布的渐

8、进解有解22 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 223.9.2 柱体应力分布的渐进解 由于方程式(3-125)和式(3-126)中的分子项在中轴线 =0上有奇异点，应用lHopital原理可得 和23 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 233.9.2 柱体应力分布的渐进解则在中轴线上应力平衡方程简化为24 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 243.9.2 柱体应力分布的渐进解 朗肯主动态应力分布的计算结果列于表3-1，粉体的内摩擦角和壁面摩擦角分别为30和20，则可得=43.16，=101.58。计算由四阶龙格库塔法完成，每一点

9、的Janssen常数是该点最大和最小主应力的比值。表3-1的计算结果表明应力及Janssen常数在截面上是不均匀的，切应力与距离r成正比，应力rr和zz随距离r的增加而略有减少。 25 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 253.9.2 柱体应力分布的渐进解 Janssen近似应力分布的计算结果列于表3-2，其中Janssen常数K值分别用表3-1中的中心和壁面处的K值。可以看出，应力rr的计算结果与所有的K值有关，且在壁面与精确解的计算结果相等；应力zz的计算结果与所用的K有关，但与精确解的计算结果相差不大。 3.9.3 锥体应力分布的渐进解 Janssen的近似分析结果

10、表明，应力在锥顶角附近存在渐近解且应力与距锥顶角的距离成正比。由此，Jenike假设应力分布为 称为Jenike轴向应力假设或Jenike轴向应力理论27 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 273.9.3 锥体应力分布的渐进解 把上两式代入球坐标下的应力平衡方程式(3-117)和(3-118)得28 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 283.9.3 锥体应力分布的渐进解29 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 293.9.3 锥体应力分布的渐进解30 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 303.9.3 锥体应力

11、分布的渐进解31 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 31 式(3-139)乘以E与式(3-140)乘以B相减得 式(3-139)乘以D与式(3-140)乘以A相减得3.9.3 锥体应力分布的渐进解32 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 32 由于对称性，在中心线=0，切应力为零，所以应力rr和是主应力。对于朗肯主动应力态，rr是最大主应力；对于朗肯被动态，是最大主应力。根据角的定义，即r轴逆时针到最大主应力的夹角，所以角有如下的初始条件 对于朗肯主动应力态 对于朗肯被动应力态3.9.3 锥体应力分布的渐进解33 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研

12、究设计所 刘凤霞 33 虽然无因次应力参数q的初始条件是未知的，但角在壁面的值是已知的。当从中轴线积分到左壁面时，对于朗肯主动应力态，壁面对应于图3-9的D点；对于朗肯被动应力态，壁面对应于图3-9的C点。由图3-32可以得角的壁面边界条件为3.9.3 锥体应力分布的渐进解 对于朗肯被动态 对于朗肯主动态34 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 34 这样无因次应力方程式(3-147)和式(3-148)加边界条件式(3-149)式(3-152)是可以求解的。 由于方程式(3-147)和式(3-148)中sin2cot项和(+cos2)cot项在中心线=0是不确定的，由lHo

13、pital原理得 3.9.3 锥体应力分布的渐进解 对朗肯主动态 对朗肯被动态3.9.3 锥体应力分布的渐进解36 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 36 则在中心线上应力平衡方程为 式中的系数为3.9.3 锥体应力分布的渐进解37 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 37 朗肯被动态应力分布的计算结果列于表3-3，粉体的内摩擦角和壁面摩擦角分别为36，则可得=12.067，=99.034。椎体的半角为15，则可得m=8.353。计算由四阶龙格库塔法完成，表中每一点的Janssen常数是该点最大和最小主应力的比值。表3-3的计算结果表明应力及Janss

14、en常数在截面上是不均匀的，应力rr和zz随角的增加而略有增加，Janssen常数随角的增加而略有减少。 3.9.3 锥体应力分布的渐进解38 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 38 Janssen近似应力分布的计算结果列于表3-4，其中Janssen常数K值为中心线K值。可以看出，应力计算结果与精确解的计算结果相差较大。3.9.3 锥体应力分布的渐进解39 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 课堂小测验 二向应力状态有何特点？粉体层的最大主应力面上，剪应力等于多少？ 画出莫尔圆简图，标出最大主应力和最小主应力的位置点。分别阐述Molerus 类粉体的特点，并以图示Molerus类粉体，且对图中分区进行解释。40 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 课堂小测验画出莫尔圆简图，标出最大主应力和最小主应力的位置点分别阐述Molerus 类粉体的特点，并以图示Molerus类粉体，且对图中分区进行解释朗肯主动态应力和被动态应力，哪个大？粉体在柱体内的应力分布中，主动态应力哪项最大？被动态应力哪项应力最大？41 粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞 3.2 莫尔