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文档简介

1、一、主要内容1、定积分的定义第九章 定积分 习题课定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。（2） 利用牛顿-莱布尼兹公式。2、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：3、定积分的几何意义面积的代数和。4、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第一、第二中值定理。5、定积分与不定积分的联系（1）变上限积分的导数公式；保号性、（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。所以可积函数不一定有原函数。即说明有原函

2、数的函数不一定可积。6、可积条件必要条件 若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界。 充要条件（1） 函数f在a,b可积当且仅当： 使得属于T的所有小区间中， 充要条件（2） 函数f在a,b可积当且仅当： 对应于振幅 的那些小区间 的总长7、可积函数类1、在a,b上连续的函数在a,b可积。2、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。 3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。 （允许有无限多个间断点） 但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。 在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在a,b可积。8、利用不定积分计算定积分（1）线

3、性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。（2）与不定积分法的差别 （3）利用对称性、周期性及几何意义。牛-莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。（4） 开偶次方时，要带绝对值。9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2） 对D(x)和R(x) 的可积问题多一些关注。例1解二、典型例题例2问：f(x)在a,b是否可积？解例3在0,1是否可积？解例4解例5解是偶函数,例6证 考察例7证例8解 该极限可以看作函数f(x)=x2-1在0，1区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限， 由于f(x)=x2-1在0，1连续，从而可积，故上述极限等于例9证证毕。证令例11解例12 计算解例13例14例15解例16解例17解P229.4(9)解P229.6证P229. 2证证毕。P229.4(12)解一解二解三解四解五P212.1不妨假定 是T增加一个分点x0后得到的分割，P212.3解法一不妨假设f(x)和g(x)仅在一点不等，进一步可设在a点不等。

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