高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.4三角形四心和奔驰定理(精讲)(原卷版+解析)

5.4三角形四心和奔驰定理【题型解读】【知识必备】一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即xA3、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：1、OA2、OA3、动点P满足OP=OA+λABABcosB+AC4、奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+AC四、三角形的“外心”1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，1、OA2、OA3、动点P满足OP=OB+则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.4、若OA+OB∙AB=OB+五、奔驰定理：O是内的一点，且x∙OA+y∙则S证明过程：已知O是内的一点，∆BOC，∆COA，∆AOB的面积分别为SA，SB，S求证：SA延长OA与BC边相交于点D，则BDDCOD=∵ODOA=∴OD=−∴−S所以SA奔驰定理推论：x∙OA=1\*GB3①S∆BOC:S=2\*GB3②S∆BOCS∆ABC=xx+y+z，S【题型精讲】【题型一三角形的重心】必备技巧三角形的重心三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．例1(2023·河南高三月考）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心例2(2023·陕西·交大附中模拟预测）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过()A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点【跟踪精练】1.(2023·山东·山师附中模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．2.(2023·云南玉溪·高三月考）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【题型二三角形的内心】例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心例4(2023·福建泉州·模拟预测）为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的()A．垂心B．外心C．内心D．重心【跟踪精练】1.(2023·全国·高三课时练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心2.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在中，，，，则直线通过的A．垂心B．外心C．内心D．重心【题型三三角形外心】方法技巧外心结论外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．（1），；；（2），，；（3），，．例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心例6(2023·山东日照市·高三二模）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则有序实数对(x，y)为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))【题型精练】1．(2023·河北武强中学高三月考）设为的外心，若，则的值为___________.2.(2023·全国福建省漳州市高三期末)在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必经过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心【题型四三角形的垂心】例7(2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心例8(2023·海南海口·二模）已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心【题型精练】1.(2023•南通期末）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心2.(2023•济南期末）下列叙述正确的是________．①为的重心．②为的垂心．③为的外心．④为的内心．【题型五奔驰定理】例9(2023·全国·高三专题练习）（多选题）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（

）A．B．C．D．例10(2023·海南海口·二模）已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积比为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)【题型精练】1.(2023•南通期末）已知点P，Q在△ABC内，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,30)B．eq\f(1,31)C．eq\f(1,32)D．eq\f(1,33)2.(2023•济南期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．5.4三角形四心和奔驰定理【题型解读】【知识必备】一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即xA3、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：1、OA2、OA3、动点P满足OP=OA+λABABcosB+AC4、奔驰定理推论：S∆BOC:S三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+AC四、三角形的“外心”1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，1、OA2、OA3、动点P满足OP=OB+则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.4、若OA+OB∙AB=OB五、奔驰定理：O是内的一点，且x∙OA+y∙则S证明过程：已知O是内的一点，∆BOC，∆COA，∆AOB的面积分别为SA，SB，S求证：SA延长OA与BC边相交于点D，则BDDCOD=∵ODOA=∴OD=−∴−S所以SA奔驰定理推论：x∙OA=1\*GB3①S∆BOC:S=2\*GB3②S∆BOCS∆ABC=xx+y+z，S【题型精讲】【题型一三角形的重心】必备技巧三角形的重心三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．例1(2023·河南高三月考）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心答案：A【解析】在中，令线段的中点为，由正弦定理，得，由，得即，而，则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，动点的轨迹一定经过的重心．故选：A.例2(2023·陕西·交大附中模拟预测）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过()A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点答案：C【解析】取AB的中点D，则2eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[2(1－λ)eq\o(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]＝eq\f(2(1－λ),3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1＋2λ,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，而eq\f(2(1－λ),3)＋eq\f(1＋2λ,3)＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．【跟踪精练】1.(2023·山东·山师附中模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．答案：D【解析】如图，是边中点，则共线且，，所以，D正确，由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．故选：D．2.(2023·云南玉溪·高三月考）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的()A．内心B．外心C．重心D．垂心答案：C【解析】，，【题型二三角形的内心】例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心答案：B【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.而＝＋λ，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选：.例4(2023·福建泉州·模拟预测）为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的()A．垂心B．外心C．内心D．重心答案：C【解析】由正弦定理得，即，由上式可得，所以，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心．【跟踪精练】1.(2023·全国·高三课时练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心答案：C【解析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上，故是的内心.故选：C.2.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在中，，，，则直线通过的A．垂心B．外心C．内心D．重心答案：C【解析】，，，．即，设，，则，．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形．为菱形的对角线，平分．直线通过的内心．故选C．【题型三三角形外心】方法技巧外心结论外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．（1），；；（2），，；（3），，．例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心答案：B【解析】设的中点为，因为，所以，即，两端同时点乘，所以，所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B.例6(2023·山东日照市·高三二模）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则有序实数对(x，y)为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))答案：A【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))－xeq\o(AB,\s\up6(→))．由eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))2－yeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，①，由eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))2－xeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，②，又因为eq\o(BC,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(AB,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,2)＝－eq\f(1,2)，③，把③代入①、②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x＋y＝0，,4＋x－8y＝0，))解得x＝eq\f(4,5)，y＝eq\f(3,5)．故实数对(x，y)为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))．【题型精练】1．(2023·河北武强中学高三月考）设为的外心，若，则的值为___________.答案：【解析】设外接圆的半径为，因为，所以，所以，且，取的中点，连接，则，因为，所以，即，所以，在中由余弦定理可得：，在中，由正弦定理可得：，故答案为：.2.(2023·全国福建省漳州市高三期末)在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必经过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心答案：C【解析】设BC边中点为D，∵eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则eq\o(MD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C．【题型四三角形的垂心】例7(2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心答案：D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以为的垂心.故选：D.例8(2023·海南海口·二模）已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心答案：B【解析】因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．【题型精练】1.(2023•南通期末）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心答案：C【解析】由得：，即，故，故，，又，，，即，同理，即，所以是的垂心．故选：C.2.(2023•济南期末）下列叙述正确的是________．①为的重心．②为的垂心．③为的外心．④为的内心．答案：①②【解析】①为的重心，①正确；②由，同理，，②正确；③．，与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；④为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②．【题型五奔驰定理】例9(2023·全国·高三专题练习）（多选题）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（

）A．B．C．D．答案：ABCD【解析】因为，所以，即，所以，又由奔驰定理得，因为不共线，所以，所以，A正确；延长分别与对边交于点，如图，由