空间向量复习

1、空间向量及其运算1.若 a=(2x,1,3)，b = (1，一2y,9)，且 ab，则()11一2, y=23y=2A. x=1, y=11C. x=6,2.(青岛月考)3 y=2B. x1D. x=6A|By如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A=a, AD1 =b, AA=c,则下列向量中与BM相等的向量是().1 , 11 , 1A.+cB.+cC.%-2b+cD.2ab+c3.(广州调研)在平行六面体ABCDA B C D中，已知ZBAD=ZAZ AB=ZAZ AD =60，AB = 3, AD=4，AA=5，则IA；? 1=.有下列4个命题：若p

2、=xa+yb，贝V p与a、b共面；若p与a、b共面，则p=xa+yb；若MLP=xMA+yMB，则 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，则MP=xMA+yMB.其中真命题的个数是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4 A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点(填共面或不共面).数列有哪些特征？你能想到的等比数列有哪些性质？知识点一等比数列定义及相关基本量【知识梳理】空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有 和 的量叫做空间向量.相等向量：方向且模 的向量.共线向量定理对空间任意两个向量a, b(b尹0), a b的充要条件是推论 如

3、图所示，点P在l上的充要条件是：OP=OAta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l 上取AB=a,则可化为dP=或 OP=(1-t)OA + tOB.(4)共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实 数对3, y)，使p=xa+yb，推论的表达式为MP=xMA+yMB或对空间任意一点O有，0P=或O，P=xdAydBz(0M，其中 x+y+z=.空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y, z,使得 p=，把a, b, c叫做空间的一个基底.空间向量的数量积及运算律数量积及相关概念两向量的夹

4、角已知两个非零向量a, b,在空间任取一点O,作oA=a, oB=b,则 叫做向量an与b的夹角，记作，其范围是，右a, b=2，则称a与b，记作 ab.两向量的数量积已知两个非零向量a, b,则 叫做向量a, b的数量积，记作，即.空间向量数量积的运算律结合律：() b=；交换律：ab=；分配律：a*(b+c)=.空间向量的坐标表示及应用数量积的坐标运算右a=(i, a2, %)，b = (b, b, b),贝0 ab=.共线与垂直的坐标表示设 a=(a1，a2, a3), b = (b1，b2，b3),贝0 ab(b 尹0)。, , , ab。(a, b 均为非零向量).模、夹角和距离公式

5、设a=(a, a2, a), b = (b、, b?, b3),则 a i=0a=cosa, b=jajjbj=若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c则 lABl=.【例题精讲】题型一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q 为OB的中点，若AB = OC，求证：PM刀QN.【课堂练习】1.如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所 成角的余弦值为.【例题精讲】题型二利用向量法判断平行或垂直例2 (合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB,ZEBC=90, 点

6、M、N分别在BD、AE上，且AN=DM.(1)求证：心平面正8。；(2)求MN长度的最小值.【课堂练习】2.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2 AF=1, M 是线段EF的中点.求证：(1)AM平面 BDE； (2)AM面 BDF.明理由.【例题精讲】题型三利用向量法解探索性问题例3.(泉州月考)如图，平面PAC平面ABC,AABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F, O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC=16, PA=PC=10.(1)设G是OC的中点，证明尸弓平面BOE；在AOB内是否存在一点M,使成上平面80封？若存在，求出点M到OA，OB的

7、距 离；若不存在，说明理由.【课堂练习】3.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以ZABC为直角的等腰直角三角形，AC=2s BB1 = 3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点.求直线BE与A1C所成的角的余弦值；在线段AA1上是否存在点F，使。尸上平面方己尸？若存在，求出AF；若不存在，请说1.下列命题:若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA = 0；ai lbl = la+bl是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、沱 R ）则尸、A、B、C四点共面.其

8、中假命题的个数是（）A. 1B. 2C. 32.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， DC的中点，则直线D. 4O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、OM()既垂直于AC，又垂直于MN垂直于AC，但不垂直于MN垂直于MN，但不垂直于AC与AC、MN都不垂直3.（绍兴月考）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ZABC=90，点 E、F分别是棱AB、BB的中点，则直线EF和BC1所成的角是（）Ai。A. 45B. 60做 C. 90D. 1204.设点 C(2a+1，a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1,4)确

9、定的平面上，则 a 等于 ()A. 16B. 4 C. 2 D. 8方法与技巧向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量 法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法.利用坐标法解几何问题的基本步骤是：（1）建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表 示涉及到的几何量.（2）通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系.（3）根据 运算结果解释相关几何问题.【课后作业】一、选择题（每小题5分，共25分）下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBCCDDA = 0；lai lbl = la+bl是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则

10、a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若OP=xOA+yOB+zdC（其中x、y、沱 R ）则尸、A、B、C四点共面.其中假命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD D1C1的中点，则直线OM（）既垂直于AC，又垂直于MN垂直于AC，但不垂直于MN垂直于MN，但不垂直于AC与AC、MN都不垂直如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1底面 ABC, AB=BC=1,ZABC=90,点E、F分别是棱AB. BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A. 45B.

11、60C. 90D. 120设点 C(2a+1, a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,3,2)、B(8,1,4)确定的平面上，则 a 等于 ()A. 16B. 4 C. 2 D. 8在直角坐标系中，A( 2,3)，B(3，2)，沿尤轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为()-Ae2B. 2、汀！C. 3很D. 4.杈二、填空题(每小题4分，共12分)(信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF=X(AB+DC)，则 A=.(铜川模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式:(AM A#) AB；(BC+BBJ DQ ；(A

12、DAB) 2DD1；(B+A+DD.其中能够化简为向量尻】的是.(填所有正确的序号)(丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB = 2，E为PB的中点，cosDP，AE =奈若以DA，DC，豚所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系，则点、的坐标为三、解答题(共38分)9. (12分)如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1 上，且 AE=FC = 1.求证：E、B、F、D1四点共面；2若点G在BC上，BG=3，点M在BB1上，GM1BF，垂足为H，求证：正心上平面 BCC1B1./ s10. (12分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，心。上平面ABCD，海上平