中考复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

1、0N分别是 AD和AB上的动点，则 BM + MN的最小值是第1题第2题第3题4.如图，在四边形.若PA-PB长度最大，则最大值为 .6.如图，MN是半径为1的。的直径，点 A在。0上，Z AMN =30, B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点，则 PA + PB的最小值为 中考二轮复习之线段和(差)的最值问题、两条线段和的最小值。填空题:.如图，正方形 ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.则 PB+PE的最 小值是.如图，O。的半径为 2,点 A、B、C 在。0 上，OAXOB, / AOC=60 , P 是 OB 上一 动点，则PA+PC的最小值是 .如图，在锐角 A

2、BC中，AB=42, /BAC = 45 , / BAC的平分线交 BC于点D, M、ABCD 中，Z ABC = 90, AD/BC, AD=4,AB上一个动点，当 PC+PD的和最小时，PB的长为 .5.已知A(-2, 3), B(3, 1), P点在x轴上，若PA+PB长度最小，则最小值为7、如图，菱形ABCD 中，AB=2 , / A=120，点P, Q, K分别为线段BC , CD , BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形 ABCD的边长是2, ZDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则 DQ+PQ的最小值为 .综合题:.如图，/ AO

3、B=45 , P是/AOB内一点，PO=10, Q、R分别是OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.S TOC o 1-5 h z .如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A（2,3） , B（4, 1）2 -设M, N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点-M（m, 0） , N（0, n）,使四边形 ABMN的周长最短？若存在，请求一一一一出m =, n = （不必写解答过程）；若不存在，？ V 1 2 3请说明理由.。中考赏析：一叶7.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10

4、km和40km,要在 沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为 P） , P到A、B的距离之和 S=PA+PB, 图（2）是方案二的示意图（点 A关于直线X的对称点是A,连接BA交直线X于点P）, P至ij A、B的距离之和 S = PA+PB.（1）求S1、金,并比较它们的大小；（2）请你说明 &= PA+ PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q,使P、A、B、 Q组成的四边形的周

5、长最小.并求出这个最小值.图（1）图图（3）.如图，抛物线y=5*18X+3和y轴的交点为A, M为OA的中点, 若有一动点P,自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F）,最后又沿直线运动到点 A,求使点P运动的总路程最短的点 E,点F的坐标, 并求出这个最短路程的长.3、在x轴的正半轴上， OA=AB=2, OC=3,过点 B作BDXBC,交OA于点D.将/ DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点 E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求

6、CF的长；(3)在抛物线的对称轴上取两点 P、Q (点Q在点P的上方)，且PQ= 1,要使四边形BCPQ 的周长最小，求出 P、Q两点的坐标.4.如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A(2, -3) , B(4, 1)若C(a,0), D(a+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a为何值时，四边形 ABDC的周长最短.5、如图11,在平面直角坐标系中，矩形 口工的顶点o在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3, OB=4 D为边OB的中点.求点 E的坐标;(1)若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时,(2)若E、F为边OA上的两个动点，且 EF=2

7、,当四边形 F的坐标.CDE用勺周长最小时，求点E、C0二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边).直线2x-y-4=0上有一点 P,它与两定点 A (4, -1)、B (3, 4)的距离之差最大，则 P点的坐标是 L.已知A、B两个村庄的坐标分别为(2,2), ( 7,4),一辆汽车(看成点P)在x轴上行驶.试确定下列情况下汽车(点P)的位置：(1)求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？(2)汽车行驶到什么点时，至ijA、B两村距离相等？v8( L 4 )八严r.如图，抛物线y=-1x2-x+ 2的顶点为A,与y轴交于点B. 4(1)求点A、点

8、B的坐标；(3)当FA PB最大时，求点 14.如图，已知直线 y= -x+ 1与直线交于A、E两点，与x轴二(1)求该抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上找一点 大，求出点M的坐标.P的坐标./ 0| 与y轴父于点 A,与x轴父于点 D,抛物线y= -x2+bx+c24寸B、C两点，且B点坐标为(1 , Ay0).M,使|AM MC|的值最 (2)若点P是x轴上任意一点，求证： PAPB加B;2/D5.如图，直线y= Mx+ 2与x轴父于点 C,与y轴父于点B, 正半轴上的一点，O A经过点B和点O,直线BC交。A于点D.(1)求点D的坐标；(2)过O, C, D三点作抛物线，在抛物线的

9、对称轴上是否存在一点OBCxL点A为y轴、RP的坐标.若不存在，请说线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 明理由.好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求 PA+ PB+PC的最小值.例题：如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点） 上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转604到BN,连接EN、AM、CM.（1）求证： AMBA ENB;（2）当M点在何处时，AM + CM的值最小；当M点在何处时，AM + BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM + CM的最小值为3+1时，求正方形的边长.变式：如图四边

10、形 ABCD是菱形，且/ ABC = 60, ABE是等边三角形，M为对角线BD （不 含B点）上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转604到BN,连接EN、AM、CM,则下列 五个结论中正确的是（）若菱形ABCD的边长为1 ,则AM + CM的最小值1 ;AMBA ENB;S四边形AMBE=S四边形ADCM ;连接 AN,则AN _L BE;当AM + BM+CM的最小值为25时，菱形 ABCD的边长为2.A.B. C.三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其 他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其

11、他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在 ABC 中，/ C=90 , AC=4, BC=2,点 A、C 分别在 x 轴、 y轴上，当点A在x轴上运动时，点 C随之在y轴上运动，在运动过 程中，点B到原点的最大距离是（）A,272 2B. 2V5Co2V6D. 62、在 RtABC 中，/ ACB=90, tanZBAC = -.点 D 在边 AC 上(不与 A, C 重合)，连结2BD , F为BD中点.(1)若过点

12、D作DEAB于E,连结CF、EF、CE,如图1.设CF kEF ,则k =;(2)若将图1中的 ADE绕点A旋转，使得 D、E、B三点共线，点 F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE-DE=2CF;(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处，将线段 AD绕点A旋转，点F始终为BD 中点，求线段CF长度的最大值.图1图2备图(3)点F为线段AD上的一个动点，点F到(2)中的点E的距离与到y轴的距 离之和记为d ,求d的最小值及此时点F的坐标.B(2) 一个点在内侧，一个点在外侧：中考二轮复习之线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一)、已知两个定点：1、在一条直线 m上，求

13、一点 P,使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧： mB(2)点A、B在直线同侧：A * B- mA、A是关于直线 m的对称点。2、在直线 m、n上分别找两点 P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧：*+ nB(3)两个点都在内侧:1.如图，AB的中 PB+PE 的 2.如图，。的半径为2,点A、B、正方形ABCD的边长为 点，P是AC上一动点. 最小值是BnOO 上，OAXOB, / AOC=60,P是OB上一动点，贝U PA+PC小值是.如图，在锐角 ABC中，AB=42, /BAC = 45 , / BAC的平分线交 BC于点D, M、N分别是 AD和AB上的动点

14、，则 BM + MN的最小值是第1题第2题第3题.如图，在四边形ABCD 中，Z ABC=90, AD/BC, AD = 4, AB=5,BC = 6,点P是AB上一个动点，当 PC+PD的和最小时，PB的长为.如图，MN是半彳仝为1的。的直径，点 A在OO , /AMN = 30, B为AN弧的中点，P是直径 MN上一动点，则 PA+PB的最小值 为.第4题.已知A(-2, 3), B(3, 1), P点在x轴上，若PA+PB长度最小，则最小值为 .若 PA-PB长度最大，则最大值为 .(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使 得

15、围成的四边形 ADEB周长最短.填空：最短周长BP、Q 点 PA+PQ+QA变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点 周长最短.如图，/ AOB=45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q、R分别是OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A（2, 3） , B（4, 1）设M, N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m, 0） , N（0 , n）,使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=, n = （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由.中考赏析：1.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然

16、保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同 侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设方t了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P） , P到A、B的距离之和S1= PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是 A,连接BA交直线X于点P） , P到A、B的距离之和 & =PA+ PB.（1）求S1、8,并比较它们的大小；（2）请你说明S2= PA+ PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距

17、离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.2.如图，抛物线y = 5x218x+3和y轴的交点为A, M为OA的中点，若有一动点 P,自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上 的某点（设为点 F）,最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点 E,点F的坐标，并求出这个最短路程的长.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B） 1、两点在直线两侧：Am2、两点在直线同侧:nA（二）动

18、点在圆上运动点B在。上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B） 1、点与圆在直线两侧：Am三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度 恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知识解）A.（1）点A、B在直线m两侧： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document ACliqI%I1i-，kI41P Q*B过A点作AC / m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点

19、A、B在直线m同侧:练习题2、 如图1,在锐角三角形 ABC中，AB=4忘，/BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, M,N分别是 AD和AB上的动点，则 BM+MN勺最小值 为.3、如图，在锐角三角形 ABC中，AB=5j2, Z BAC=45 , BAC的平分线交BC于D, M、N分别是 AD和AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是多少?4、如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM勺最小值为 7、如图 5 菱形 ABCD43, AB=2, / BAD=60 , E是 AB 的中点, 上的一个动点，则

20、PE+PBP是对角线AC10、如图，菱形ABCD 中，AB=2 , / A=120，点 P, Q, K分别为线 段BC , CD , BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形 ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.则12、如图6所示，已知正方形 ABCM边长为8,点M在DC上，且 DM=2 N是AC上的一个动点，则 DN+MN勺最小值为 .13、如图，正方形 ABCD的边长是2, Z DAC的平分线交 DC于点E,若点 P、Q分别是AD和AE上的动点，则 DQ+PQ的最小值为 .14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD,点Q为BC边的中点，点 P为 对角

21、线AC上一动点，连接 PB PQ则 PBQ周长的最小值 为 cm.(结果不取近似值).OAXOB, /AOC=60 , P 是 OB 上一15、如图，O。的半径为2,点A、B、C在。0上, 动点，则PA+PC的最小值是 .16、如图8, MN半彳至为1的。的直径，点 A在OO, Z AMNk 30 , B为AN弧的中点， TOC o 1-5 h z P是直径MNLk一动点，则 PA+ PB的最小值为()(A)2 ，(B)(C)1(D)2解答题)衣1、如图9,正比例函数y=2 x的图象与反比例函数 y=H (kw0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M已知三角形OAM勺面积为

22、1.B与点A不重合)，且B点的横(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点 坐标为1 ,在x轴上求一点 P,使PA+PBM小.2、如 图，一元二次方程 x2+2x-3=0 的二根 xi, X2(X1VX2)是抛物线 y=ax 2+bx+c 与x轴的两个交点B, C的横坐标，且此抛物线过点A (3, 6).(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标； (3)在x轴上有一动点M,当MQ+MAM得最小值时，求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中， 点A的坐标为 %),4AOB的面积是百.(1)求点B的坐

23、标；(2)求过点A O B的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 周长最小？若存在，求出点 C的 坐标；若不存在,.如图，抛物线 y = 3x2x+3和y轴的交点为A, M为OA 55的中点，若有一动点 P,自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的 某点(设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后又沿直线运动到点 A,求使点P运动的总路程最 短的点 巳点F的坐标，并求出这个最短路程的长.如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形 OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上， OA=AB=2, OC=3,过点B作BDBC,交OA于点D.

24、将/ DBC绕点 B按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y轴的正半轴、x轴的正半轴于点 E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求 CF的长；(3)在抛物线的对称轴上取两点 P、Q (点Q在点P的上方)，且PQ= 1,要使四边形BCPQ 的周长最小，求出 P、Q两点的坐标.如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A(2, -3) , B(4, 1)若C(a,0), D(a+3, 0)是x轴上的两个动点，则当 a为何值时，四边形 ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中，矩形 必您 的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分别在x

25、 轴、y轴的正半轴上，OA=3, OB=4 D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且 EF=2,当四边形 CDEF 丁的周长最小时，求点 E、F的坐标.二一冲371c刁1。 因 乂齐0且K二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边基本图形解析：1、在一条直线m上, (1)点A、B在直线求一点 P,使PA与PB的差最大; m同侧：-m解析：延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，PA PBvAB,而PA PB=AB此时最大，因此点 P为所求的点。过 B 直线 称点 接AB， 线 m

26、(2)点A、B在直线m异侧：A解析：作关于*m.m的对BB1连交点直于P北匕日PB=PB, PA-PB最大值为AB练习题2.直线2x-y-4=0上有一点 P,它与两定点 A (4, -1)、B (3, 4)的距离之差最大，则 P点的坐标是 L2.已知A、B两个村庄的坐标分别为(2,2), ( 7,4),一辆汽车(看成点P)在x轴上行驶.试确定下列情况下汽车(点P)的位置：A、B两村距离之差最大?(1)求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到(2)汽车行驶到什么点时，到 A、B两村距离相等？.如图，抛物线y= 52x+ 2的顶点为A,与y轴交于点B.求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上

27、任意一点，求证：PAPB必B;当FA-PB最大时，求点 P的坐标.1.如图，已知直线 y= -x+ 1与y轴父于点 A,与x轴父于点D,抛物线y=1x2+bx+ c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,20).(1)求该抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM MC|的值最大，求出点 M的坐标.1)和(一2, 5);点P是y轴上的一个动点，点P在何处时，PA+PB的和为最小？并求最小值。点P在何处时，I FA-FB I最大?并求最大值。4.如图，直线y= - V3x+ 2与x轴交于点C,与y轴交于点B, 点A为y轴正半轴上的一点， O A经过点B和点O

28、,直线BC交OA于点D.(1)求点D的坐标；(2)过O, C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点F的坐标.若不存在，请说明理由.5、抛物线的解析式为y在其对称轴上是否存在一点在其对称轴上是否存在一点P,使NAPC周长最小，Q,使I QB-QC I的值最大，若存在求其坐标。2x 3 ,交x轴与A6、已知：如图，把矩形 OCBA放置于直角坐标系中，OC=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC ,把 MBC沿x轴的负方向平移 OC的长度后得到 DAO .(1)试直接写出点D的坐标;(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上， 点P在第一象限内的

29、该抛物线上移动，过点 P作PQ，x轴于点Q,连接OP.若以O、P、Q为顶点的三角形与 DAO相似，试求出点P的坐标;试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?7、如图，已知抛物线G的解析式为y=-x2+2x+8,图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上.(1)求过顶点A的双曲线解析式；(2)若开口向上的抛物线 G与Ci的形状、大小完全相同，并且 G的顶点P始终在C1上,证明：抛物线 Q 一定经过A点;(3)设(2)中的抛物线 C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于 E点，当D。E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线 y=x上求一点M使

30、MD-MP|的值最大.04 +8、如图，已知抛物季=及+以+(经过A(3, 0), B(0, 4),(1).求此抛物线解析式(2)若抛物线与x轴的另一交点为 C,求点C关于直线AB的对称点C的坐标(3)若点D是第二象限内点，以 D为圆心的圆分别与 x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得| PH PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求 PA+ PB+PC的最小值.例题：如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形, 上任意M为对角线BD （不含B点）一点，将B

31、M绕点B逆时针旋转604到BN,连接EN、AM、CM.求证： AMBA ENB;当M点在何处时，AM + CM的值最小；当M点在何处时，AM + BM+CM的值最小，并说明理由; 当AM+BM + CM的最小值为43+1时，求正方形的边长.AB变式：如图四边形 ABCD是菱形，且/ ABC = 60, ABE是等边三角形,M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将 五个结论中正确的是（ 若菱形ABCD的边长为AMBA ENB;S四边形AMBE=S四边形ADCM ；BM绕点B逆时针旋转604到BN,连接EN、AM、CM,则下列 ）1 ,则AM + CM的最小值1 ;连接AN,则AN，BE;当AM

32、 + BM+CM的最小值为25时，菱形 ABCD的边长为2.A.B.C.1、A.2、已知：在4AB阱,BC=aAC=b以A斯边作等边三角形ABD.探究下1三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其 他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段 最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。如图，在 ABC 中，/ C=90 , AC=4, BC=2,点 A、C 分别在 x轴、 y轴上，当点A在x轴上运动时，点 C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最