数据分布特征的描述、测度方法和计算

1、数据分布特征的描述、测度方法和计算数据分布特征的描述、测度方法和计算 3.1 集中趋势的度量 3.2 离中趋势的测度 3.3 偏态与峰度的测度本章重点：数据分布集中趋势、离中趋势的 测度方法。本章难点：集中趋势、离中趋势测度值的计算。数据分布特征的描述、测度方法和计算数据分布的特征：一、集中趋势:反映数据向其中心靠拢或 聚集程度；二、离中趋势；数据远离中心的趋势(又称离散程度)；三、偏态和峰态；偏态是对数据分布对称性的度量；峰度是指数据分布的平峰或尖峰程度（形状）。 数据分布特征的描述、测度方法和计算数据分布的特征集中趋势:反映数据向其中心靠拢或聚集程度 (位置)偏态和峰态；偏态：反映数据偏斜

2、程度；峰度：数据分布的平峰或尖峰程度（形状）离中趋势；数据远离中心的趋势 (分散程度)数据分布特征的描述、测度方法和计算数据分布特征的测度数据特征的测度众 数中位数平均数离散系数方差和标准差峰 态四分位差异众比率偏 态分布的形状集中趋势离中趋势数据分布特征的描述、测度方法和计算集中趋势的度量分类数据-众数顺序数据-中位数和分位数数值型数据-均值 众数、中位数和均值的关系数据分布特征的描述、测度方法和计算集 中 趋 势(central tendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值注意：低层次数据的测度方法也适

3、用于高层次的数据，但高层次数据的测度方法往往不适用于低层次的数据。数据分布特征的描述、测度方法和计算分类数据-众数一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据(spss计算)数据分布特征的描述、测度方法和计算注意：众数(不惟一性)无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42数据分布特征的描述、测度方法和计算分类数据的众数(例题分析)不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐

4、旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露1511 9 6 90.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐数据分布特征的描述、测度方法和计算顺序数据的众数(例题分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)百分比 (%)

5、 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 836311510合计300100.0数据分布特征的描述、测度方法和计算数值型数据众数的确定方法 单变量值分组资料某年级83名女生身高资料 身高 人数（CM） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高 人数（CM） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计 83 STAT数据分布特征的描述、测度方法和计算 身高 人数 比重 （C

6、M） （人） （%） 160-165 34 40.96 170以上 总计 83 100某年级83名女生身高资料数值型数据众数的确定方法 组距分组资料STAT数据分布特征的描述、测度方法和计算众数的计算方法总结：1、观察法（例题分析）2、插值法P76（例题分析）所谓插值法就是先找到众数所在的组，然后按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所占的比重推算众数值。数据分布特征的描述、测度方法和计算例3.1 某车间实行计件工资，2005年10月120名工人的月工资资料如下表所示：要求：试计算月工资的众数。月工资（元）人数（人）比重（%）由小到大累计次数由大到小累计次数800以下1512.501512080

7、0-10002520.83401051000-12004840.0088801200-14002016.67108321400-16001210.0012012合计120100.00数据分布特征的描述、测度方法和计算解：从上表中我们可以看出，月工资变量值中最大的字数为48人，即众数组为1000-1200这一组。根据公式，可得：数据分布特征的描述、测度方法和计算众数的特点众数是以它在所有变量值中所处的位置确定的一个代表值，它不受分布数列的极大或极小值的影响，从而增强了众数对分布数列的代表性。众数有可能不存在，也可能存在多个；众数缺乏敏感性。数据分布特征的描述、测度方法和计算3.1.2 顺序数据-

8、中位数 和分位数 1中位数：概念：排序后处于中间位置上的值Me50%50%特点：不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可 用数值型数据， 但不能用于分类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即数据分布特征的描述、测度方法和计算顺序数据的中位数 (例题分析)解：中位数的位置为 300/2150 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300数据分布特征的描述、测度方法和计算未分组数值型数据的中位数

9、(奇数个数据的算例)【例】 9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9中位数 1080数据分布特征的描述、测度方法和计算未分组数值型数据的中位数(偶数个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据分布特征的描述、测度方法和计算组距分组数

10、据中位数的确定方法 身高 fi人数 累计 （CM） （人） 人数 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上 11 83 总计 83 某年级83名女生身高资料STAT数据分布特征的描述、测度方法和计算中位数的计算方法：1、根据未分组数据计算中位数对于没分组数据，首先要排序，然后根据所在位置确定中位数。数据分布特征的描述、测度方法和计算2、由分组资料确定中位数：数据分布特征的描述、测度方法和计算例3.2 某车间实行计件工资，2005年10月120名工人的月工资资料如下表所示：要求：试计算月工资的中位数。月工资（元）人数（

11、人）比重（%）由小到大累计次数由大到小累计次数800以下1512.5015120800-10002520.83401051000-12004840.0088801200-14002016.67108321400-16001210.0012012合计120100.00数据分布特征的描述、测度方法和计算解：数据分布特征的描述、测度方法和计算2.顺序数据-分位数二分位数（中位数）、四分位数、十分位数和百分位数等。其中主要有四分位数。排位处于 25%和75%位置上的值即 四分位数不受极端值的影响要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据（各种分位数可由spss计算）QLQMQU25%25%

12、25%25%数据分布特征的描述、测度方法和计算四分位数的位置下四分位数上四分位数数据分布特征的描述、测度方法和计算例两个学习小组的统计学考试成绩合并如下：要求：（1）计算前15个学生统计学考试成绩的四分位数；（2）如果增加一个学生的成绩为95分，试计算16个学生统计学考试成绩的四分位数。序号12345678成绩（分）5861646872747576序号910111213141516成绩（分）78788285868690-数据分布特征的描述、测度方法和计算解（1)QL的位置=N+1/4=15+1/4=4，即QL在第4个位置上，相应的变量值68分就是下四分位数。Qu的位置=3（N+1）/4=3（1

13、5+1/4=12，即Qu在第12个位置上，相应的变量值85分就是上四分位数。（2）QL的位置，即QL QL在第个位置上,采用分割法，得：QL=X4+0.25x(X5-X4)=68+0.25x(72-68)=69(分）同理，可得（分）数据分布特征的描述、测度方法和计算3.1.3 数值型数据-平均数1.平均数（均值）均值（算术平均数）定义：全部变量值之和与变量值个数相除所得的商。通常也称为平均数（average）或均值（mean又有简单算数平均数和加权平均数之分STAT平均数的定义-变量值的一般水平。有算术均值、调 和均值和几何均值。数据分布特征的描述、测度方法和计算简单算术平均数与加权算术平均数

14、的计算(simple mean / weighted mean)设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn（未分组数据）各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk （组距分组数据） 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk简单算术均值加权算术均值数据分布特征的描述、测度方法和计算未分组资料算术平均数的计算：算术平均数=某变量值总量变量值总数数据个数 nSTAT简单算术平均数设有数据：数据分布特征的描述、测度方法和计算 身高 组中值 人数 比重 （cm） xi（cm ) fi（人） （%） 160-165 162.5 34 40.96 170以上 总计 - 83 100 分组资料均值的计算：某年级

15、83名女生身高资料组距数据次数f频率f/f变量值xSTAT加权算术平均数数据分布特征的描述、测度方法和计算集中趋势的最常用测度值；一组数据的均衡点所在；易受极端值的影响；各变量值与其均值的离差之和等于零；由组距分组资料计算的均值有近似值性质；用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据算术平均数（均值）特征：数据分布特征的描述、测度方法和计算2.平均数的另一种表现形式：调和平均数 注意：是均值的另一种表现形式 易受极端值的影响计计算公式为原来只是计算时使用了不同的数据！数据分布特征的描述、测度方法和计算调和平均数 (例题分析)某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元) Mi（已知）成交额(

16、元) Mi fi（已知）成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500 64001500025000 8000合计3690048000【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格数据分布特征的描述、测度方法和计算3.几何平均数(geometric mean)概念： n 个变量值乘积的 n 次方根用途：适用于对比率数据的平均 主要用于计算平均发展速度、平均增长率、 平均比率计算公式为：可看作是均值的一种变形数据分布特征的描述、测度方法和计算几何平均数 (例题分析) 【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相

17、比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。年平均增长率114.91%-1=14.91%数据分布特征的描述、测度方法和计算3.1.4 众数、中位数和平均数的关系左偏分布均值 中位数 众数对称分布 均值= 中位数= 众数右偏分布众数 中位数均值对何种数据而言的？数据分布特征的描述、测度方法和计算均数、中位数、众数三者关系正态分布时： 均数中位数众数正偏态分布时：均数中位数众数负偏态分布时：均数中位数众数数据分布特征的描述、测度方法和计算众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大时

18、应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用数据分布特征的描述、测度方法和计算习题1、一家汽车零售店中10名员工在某个月售出的汽车数量按升序排列如下：2，4，10，10，12，12，14，15。计算售出汽车数量的（a）均值；（b）中位数；（c）众数。2、八名销售员售出的中央空调数按升序排列如下：5，8，11，11，11，14，16.计算这八名销售员销售量的四分位数。数据分布特征的描述、测度方法和计算1、解：（a）均值（b）中位数（c）众数为10.数据分布特征的描述、测度方法和计算2、解：数据分布特征的描述、测度方法和计算3.

19、2 离中趋势的测度数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度注意：数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越差；数据的离散程度越小，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越好。不同类型的数据有不同的离散程度测度值数据分布特征的描述、测度方法和计算下面是两个总体关于年龄分布的数据,相对而言,那个总体的年龄分布分散,差异大些?46、47、48、49、50、51、52、53、548、15、20、30、5070、80、85、92总体1总体2数据分布特征的描述、测度方法和计算离中趋势；数据远离中心的趋势 (分散程度)总体2总体1

20、数据分布特征的描述、测度方法和计算） 分类数据：异众比率（variation ratio）顺序数据：四分位差（quartile range ）3.2.3) 数值型数据： 极差（ range ） 平均差（mean deviation） 方差和标准差（ Variance and standard deviation） 相对位置的度量：标准分数（ standard score） 相对离散程度：离散系数（ Coefficient of Variation ）离中趋势的测度数据分布特征的描述、测度方法和计算分类数据：异众比率 （variation ratio）注意：对分类数据离散程度的测度非众数组的频数

21、占总频数的比率计算公式为 用于衡量众数的代表性数据分布特征的描述、测度方法和计算 异众比率(例题分析)解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露1511 9 6 90.300.220.180.120.183022181218合计501100数据分布特征的描述、测度方法和计算3.2.2 四分位差（quartile range )注意：对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数

22、之差 Qd = QU QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性数据分布特征的描述、测度方法和计算例：假设某班有3个学习小组，统计学期中考试成绩如下表所示：要求：计算三个小组的四分位差。序号1234567第一小组65657575758585第二小组55657575758595第三小组405565858595100数据分布特征的描述、测度方法和计算解:由题意，可得：数据分布特征的描述、测度方法和计算数值型数据离散程度的度量1、极差(R) (range)离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布7891078910 R = max(xi) - min(xi)

23、计算公式为数据分布特征的描述、测度方法和计算2、平均差（mean deviation各变量值与其均值离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据组距分组数据数据分布特征的描述、测度方法和计算 平均差(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 010203

24、04050160270320270 0170200240160250合计1202040数据分布特征的描述、测度方法和计算 含义：每天电脑的日销售量有高有低，与日销售量平均数相比，差异有大有小。 平均差表明：以日平均销售量为中心，每天销售量与平均日销售量的平均差距为17台.数据分布特征的描述、测度方法和计算3.方差和标准差（ Variance and standard deviation）方差 （variance）各变量值与其平均数离差 平方的平均数数据分布特征的描述、测度方法和计算方差和标准差（ Variance and standard deviation） 标准差 （standard de

25、viation）即方差的算术 平方根；其单位与原变量X的单位相同。数据分布特征的描述、测度方法和计算样本方差和标准差（记住） (simple variance and standard deviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!数据分布特征的描述、测度方法和计算方差和标准差的计算（未分组资料）编号甲xi乙xi丙xi甲2乙2丙214404804901936002304002401002460490495211600240100245025350050050025000025000025000045405

26、105052916002601002550255560520510313600270400260100合计250025002500标准差50.9915.817.91数据分布特征的描述、测度方法和计算样本标准差(例题分析)(某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0

27、170200240160250合计12055400数据分布特征的描述、测度方法和计算 含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差台数据分布特征的描述、测度方法和计算3.2.4 标准分数 （ standard score）注意： 也称标准化值对某一个值在一组数据中相对位置的度 量可用于判断一组数据是否有离群点用于对变量的标准化处理 计算公式为数据分布特征的描述、测度方法和计算标准分数(性质)注意： z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。 数据分布特征的描述、测度方法和计算标准分数(性质)

28、均值等于02.方差等于1数据分布特征的描述、测度方法和计算标准化值(例题分析)9个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号人均月收入（元） 标准化值 z 1234567891500 750 7801080 850 960200012501630 0.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.556 1.853 0.116 0.996数据分布特征的描述、测度方法和计算）离散系数(coefficient of variation)1.标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为数据分布特征的描

29、述、测度方法和计算离散系数(例题分析)某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度数据分布特征的描述、测度方法和计算结论： 计算结果表明，v1 0为右偏分布4.偏态系数 0为左偏分布数据分布特征的描述、测度方法和计算-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 44kg2kg作用力力臂统计动差（矩）：利用力的动差来反映数据分布特征的指标。它以次数 f 为作用力，以变量x 为力臂，并以总次数为单位计算平均动差。称为随机变量 x 对a 的 k 阶矩（动差）。令a，则称为 k 阶原点矩 k令a ，则称为 k