一轮复习北师大版 37 立体几何中的向量方法-证明平行与垂直 作业

1、课时质量评价(三十七)A组全考点巩固练1设u(3,2，t)，v(6，5,4)分别是平面，的法向量若，则t(C)A5 B6 C7 D82(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且eq o(AB,sup7()(2，1，4)，eq o(AD,sup7()(4,2,0)，eq o(AP,sup7()(1,2，1)，则()AAPABBAPADCeq o(AP,sup7()是平面ABCD的法向量Deq o(AP,sup7()eq o(BD,sup7()ABC解析：因为eq o(AB,sup7()eq o(AP,sup7()(2，1，4)(1，2，1)0，eq o(AD,sup7()eq o

2、(AP,sup7()(4,2,0)(1,2，1)0，所以ABAP，ADAP，则选项A，B正确又eq o(AB,sup7()与eq o(AD,sup7()不平行，所以eq o(AP,sup7()是平面ABCD的法向量，则选项C正确由于eq o(BD,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AB,sup7()(2,3,4)，eq o(AP,sup7()(1,2，1)，所以eq o(BD,sup7()与eq o(AP,sup7()不平行，故选项D错误3如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点若D1FDE，则有()AB1EEB BB1E2EBCB1Eeq f(

3、1,2)EB DE与B重合A解析：以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0，1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，eq o(D1F,sup7()(0,1，2)，eq o(DE,sup7()(2,2，z)因为eq o(D1F,sup7()eq o(DE,sup7()02122z0，所以z1，所以B1EEB4如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则点M的坐标为()A(1,1,1) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2

4、),3)，f(r(2),3)，1)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),4)，1)C解析：设AC与BD相交于点O，连接OE(图略)，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，所以AMEO又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为线段EF的中点在空间直角坐标系Cxyz中，E(0,0,1)，F(eq r(2)，eq r(2)，1)由中点坐标公式，知点M的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1)5

5、已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PAAD1在如图所示的空间直角坐标系中，MN_eq f(r(2),2)解析：连接PD(图略)，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MNeq f(1,2)PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，所以PDeq r(02(1)212)eq r(2)，所以MNeq f(r(2),2)6已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：eq o(AB,sup7()(0,1，1)，eq o(AC,sup7()(1,0，1)设平面的法向

6、量为m(x，y，z)，meq o(AB,sup7()0，得x0yz0，即yz，由meq o(AC,sup7()0，得xz0，即xz，取x1，所以m(1,1,1)，mn，所以mn，所以7已知eq o(AB,sup7()(1,5，2)，eq o(BC,sup7()(3,1，z)，若eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()，eq o(BP,sup7()(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_eq f(25,7)解析：由条件得eq blcrc (avs4alco1(352z0，,x15y60，,3(x1)y3z0，)解得xeq f(40,7)，yeq f(15,7)，z4，所以

7、xyeq f(40,7)eq f(15,7)eq f(25,7)8(2022江苏徐州模拟)如图，在正三棱锥SABC中，E是高SO上一点，AOeq f(1,2)SA，直线AE与底面所成角的正切值为eq f(r(2),2)(1)求证：AE平面EBC；(2)求三棱锥EABC外接球的体积(1)证明：延长AO交BC于点D因为SO平面ABC，所以EAO即为直线EA与底面ABC所成的角，从而tanEAOeq f(r(2),2)，所以eq f(EO,AO)eq f(r(2),2)设AO2，则OEeq r(2)，SA4，ABSO2eq r(3)以点O为坐标原点，与CB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OS所

8、在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，B(eq r(3)，1,0)，C(eq r(3)，1,0)，E(0，0，eq r(2)，所以eq o(BC,sup7()(2eq r(3)，0,0)，eq o(BE,sup7()(eq r(3)，1, eq r(2)，eq o(AE,sup7()(0,2，eq r(2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，由eq blcrc (avs4alco1(no(BC,sup7()0，,no(BE,sup7()0，)得eq blcrc (avs4alco1(2r(3)x0，,r(3)xyr(2)z0.)取z1，则y

9、eq r(2)，x0，即n(0，eq r(2)，1)所以eq o(AE,sup7()eq r(2)n，即eq o(AE,sup7()n，所以AE平面EBC(2)解：由题意知三棱锥EABC为正三棱锥，设其外接球的球心为O(0,0，t)，由OAOE，得eq r(t24)|teq r(2)|，解得teq f(r(2),2)，所以外接球的半径eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq f(3r(2),2)，所以外接球的体积Veq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(2),2)eq sUP12(3)9eq r(2)B组新高考培优练9如图所示

10、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MANeq f(r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直DMN在平面BB1C1C内B解析：以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MANeq f(r(2)a,3)，则Meq blc(rc)(avs4alco1(a，f(2a,3)，f(a,3)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(2a,3)，f(2a,3)，a)，eq o(MN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a

11、,3)，0，f(2a,3)又C1D1平面BB1C1C，所以eq o(C1D1,sup7()(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为eq o(MN,sup7()eq o(C1D1,sup7()0，所以eq o(MN,sup7()eq o(C1D1,sup7()，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C10如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点若B1E平面ABF，则CE与DF的和为111在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq o(C1N,sup7()eq o(NC,sup7()，且AB1MN，则的值为

12、_15解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，eq o(MC,sup7()，eq o(MA,sup7()，eq o(MP,sup7()的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系因为底面边长为1，侧棱长为2，所以Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，0)，B1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，2)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，C1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，2)，M(0,0,0)，设Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

13、，0，t)因为eq o(C1N,sup7()eq o(NC,sup7()，所以Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(2,1)，所以eq o(AB1,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，2)，eq o(MN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(2,1)又因为AB1MN，所以eq o(AB1,sup7()eq o(MN,sup7()0，所以eq f(1,4)eq f(4,1)0，所以1512在四棱锥SABCD中，四边形ABCD为正方形，AB2，DS1，平面ASD平面ABCD，SD

14、AD，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为(为锐角)，则当取最小值时，三棱锥EASD的体积为_eq f(2,15)解析：依题意可知DA，DS，DC两两相互垂直，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，平面ASD的法向量为m(0,0,1)，B(2,0,2)，S(0,1,0)，E(0,0，t)，eq o(BS,sup7()(2,1，2)，eq o(BE,sup7()(2,0，t2)，其中0t2设平面BSE的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(BS,sup7()2xy2z0，,no(BE,sup7()2x(t2)z0，)令z2，则xt2，y2t

15、，所以n(t2,2t,2)为平面BSE的一个法向量依题意cos eq blc|rc|(avs4alco1(f(mn,|m|n|)eq f(2,r(t2)2(2t)24)eq f(2,r(5t24t8)，由于0t2，所以当teq f(4,25)eq f(2,5)时，cos 取得最大值，取得最小值此时DEeq f(2,5)，VEASDeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)21)eq f(2,5)eq f(2,15)13如图，正方形ABCD的边长为2eq r(2)，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FOeq r(3)，且FO平面ABCD

16、(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF证明：取BC中点H，连接OH，则OHBD又四边形ABCD为正方形，所以ACBD，所以OHAC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(3,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，F(0,0，eq r(3)，B(1,2,0)，eq o(BC,sup7()(2，2,0)，eq o(CF,sup7()(1,0，eq r(3)，eq o(BF,sup7()(1，2，eq r(3)(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(BC,sup7()0，,no(CF,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x2y0，,xr(3)z0，)取z1，得n(eq r(3)，eq r(3)，1)又四边形BDEF为平行四边形，所以eq o(DE,sup7()eq o(BF,sup7()(1，2，eq r(3)，所以eq o(AE,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(DE,sup7()eq o(BC,sup7()eq o(BF,sup7()(2，2,0)(1，2，eq r(3)(3，4，eq r(3)，所以eq o(A