2021年高考数学考点32数列的综合问题必刷题理含解析

1、考点32数列的综合问题的前10项的和为【解析】试题分析：由题可知 品=1 + 5 - 1），2=加-1则数列即为数列%奇数项，则2%的前10项的和为2018项是（）数列仙，仍为等比数列，其首项为 = L公比为原数列仍/公比的平方，则数列2.删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第A. 2062 b . 2063 c , 2064 d , 2065【答案】B【解析】由题意可得，这些数可以写为；567岛下，第左个平方豹与第十1个平方数之间有暴 个正整教L而数列1二2工56,7,8,45头有20251页，去掉小个平方数后，还剩余2025 - 45=198的 数f所以去掉平方教后

2、第201sl页应在2Q25后的第3阶数/即是原来数列的第206碑？即为206苞故选史 点睛；解决该题的关键是找出第2018J页的大概位置，所以数列1口.23255庇7&3.45二共有2022页这个条 件非常关键I只要弄明白去掉哪些项？去掉多少项“可题便迎刃而解-3,将向量4%二/组成的系列称为向量列96,并定义向量列瓦）的前也项和=而+&+.若%1= MU MW* ）,则下列说法中一定正确的是（）B ,不存在MN、，使得ll = C,对巾MN ,且口，都有小当D ,以上说法都不对【答案】C_-=A_,_【解析】由%+1=电（共叱*,则,所以数列瓦构成首项为“公比为4的等比数列，所以设等差数列a

3、n的前n项和为3,已知 34 12016 34 11 ,33201312016 320131,则下列结论正确的是（A.S20162016,3201334S20162016,3201334C520162016,3201334S20162016,3201334C.所以当zieN.，且eh仃时，* I。是成立的，故选【解析】令代叶3+加1舐贝/-3W+28配q 所以的在丧上单调递增且其X）为奇函封。由条件得近4州u - 1L1式久一1KLrj ju -+q - = 0 ,从而=2又等差数列SJ的前项和为邑J所以5期6）=01 =2叫因为-1-M / T尸1式H）在R上单调速噌，所一】，生313 -1

4、：口山：/牌j故选：D5 .某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：Lgi12=.吗旧13 = 0 11掰2 = 力）（）A. 2021 年 B . 2020 年 C . 2019 年 D .2018 年【解析】设第打年开始超过200万元,则130 x fl + 12%) 2015 200，化为（ - 2015）团12 3-炉？n-2(J15 =380.05,取n = 2019,因此开始超过200万元的年份是2019年，故选C.HJ

5、T律 I帛j件 6.已知数列叫的前肺页和为S%若 RTrn ,则%5=. 253【答案】-256【解析】在白口斗又卜所?| = 1中分别取诧=2比+ 乂&E3*)方= 1 (北 N *)1手口：jf+二十$=i+工=L11=*一工十5二片-11 .两式才目/礴1寸口：工1十n二* 0 .把。u = U弋入得2r讦*1一的*.1 +1=口即a瓯41 +1 =59景一+1)j%十多揄卓=1中,取只!得叼=J所以判列叱*_+1提苜项为j公比为:的等比数列，所以口*=-三, .2尚另解：可运用归纳推理* % = 1% =1q赞n -： Qfli4 flj： =+ a4 = 7fls -ab= *；猜想

6、得Ae +自=三由题意得小 = L所以口,5 =号=一藁7,对任一实数序列* = (口1外，。处】，定义新序列*=(/-肛&它的第口项为%+ 1一叫，假设序列MA&的所有项都是】，且口 1? = 二 ,则啊=.【答案】100.【解析】设序列A*的首项为由则序列M=WH + Ld + 21 J ,则它的第n项为+也X ,因此序列A的=% + (电-%) 0；350-1n,初奇数时.数列an的递推公式为an a,初偶数时(n N )，可以求得这个数列中的每一项都是奇数，2则&2 ai5 ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第 项.【答案】18 384【解析】由题得：这个数

7、列各项的值分别为1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3 -a2a153 15 18.又因为a33,a63,a23,a243即项的值为3时，下角码是首项为 3,公比为2的等比数列.所以第8个3是该数列的第3X2 1=384项.故答案为：18, 384.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为 An,令*an log 2An, n N .(1)数列an的通项公式为an=；(2)Tn tana? tana4 tana4 tanaetana2n tana2n 2=.【答案】tan n 2 tan2n.tanlr解析】设在数1

8、和2之间插入和个正数？使得这W+2个数构成递增等比数列回则句=1力川=2 =卜。/、即/=2, 中为此等比照列的公比izlXe?讲工望十上4 = L-. q -q =q=q *=q I J =/ 十2故数列/的通项公式为外工Iw + 221由(11可得/=1。幻二一广，又 ，-, tan | 打+ 1)-tan 门tan 1 = tan | ( r + 1 ) 1 =:l 1+tan (n + l)tan it, tan(白+1 )Tan 口.tan f b+l)tan n =1tan 1tan(冷+2)-tan (4-11/. tan a-, tan = tan i;7 +11 tan用+

9、21 Ln etan 1工？= Set/、Am门* + tm叫-taai + + fmm相 5口工米2tan3 tan2 / tan4 tan3 / tan5 tan4 (111 tanltanltanltan n 2 tan n 11 tan1tan n 2 tan2tan1*n, n N故答案为tan n 2 tan2tan1111.已知数列 an满足：an 1 1 ,a12,记数列 an的前n项之积为R,则Hon【答案】21包112, TOC o 1-5 h z 111.一【斛析】因为an 1 1, a12,所以a21,a312an221所以数列 an是以4为周期的周期数列，a1a2a3

10、 2 12670则 P20112 2.ala2a3a201112.已知数列 an满足nan 2 n 2 an n 2n ,其中al 1,a2 2 ,右an an 1对 n N恒成立，则实数 的取值范围为.【答案】0,【解析】由呵_(2双二司/+初得； -生=3令/=&J则WJ的奇数项和偶数项 J疗+ 2 内分别成首项为L且公差为4的等差数列，所以 A=1 + -1, %=1+吠故 心9=2上一 1%(2斤一1?白=2k+2旬上一因为对寸甘口丫恒成立， 所 以 叼串_ = 2k-1+(2*-1)(上TM优产2L+lt(11) 恒 成立， 同 时二2k+2上住1)/1 电科=2科1+|2上+1(年

11、1)金恒成立,即一1M(上一1)月恒成立，当即1时，一一一式工J而出T+工时一上一0 .，开L之。即可？当上=1时J -14而一1)恒成立,综上彳之0 J 上一1七一1故值0,十H).已知数列 an满足a1 1,an 1 an,若X表示不超过X的最大整数，则 an 1222a1 a2a2017.【答案】1是苜项为U公差为1的等差数列,1解析】由递推关系可停:一 =1 (J-J -1)x1 明二一%打则当回时：口;=3高据此有：可 +H久 H + 曰3 -( 11门 1、( 111+ 1 + 一一-Hb I 2 )3)2016 2017 J=2 122017很明显：W +W+W+Wou )=1,

12、则* _/*o201=L14.已知数列 an 中，a1 a 0 a 2 , an 1( an 2 an2an3 an2* 、.n N ，记 Snai若 Sn 2015,则 n .【答案】1343an 2 an 2【解析】: ai=a(0a? 2), an 1 nNan 3 an2 . a2=-a1+3=3-a C 1,3).当 a e 1,2时,3-a e 1,2,. a3=- &+3=a,.当 n=2k-1, kC N?时，a1+az=a+3-a=3,.S2k-1=3(k-1)+a=2015, a=1 时舍去，a=2 时，k=672,此时 n=1343;AN媾WNavPm+STrfL&ima

13、fmnEJ?不是整数，舍去J 3当仃E 1M寸,32EQ3),；.=dr-2=l-a6(0.1),.tJ当界=4*/ N对力 为+的一用+4=g+3ff a-A2T,3日64刈5 ,二不为整数，舍去3当花=4#一1,甯“时，佝+为 + a- =a+3-a-l-a=Aa,，&if L+3=2015,舍去*当443RE&冲寸,，豆b产6承一1户3=3015,舍去口综上可得：后134主的答案为：1343一15.已知无穷数列ananZ的前n项和为Sn,记S|,S2,，Sn中奇数的个数为bn .(I )若an = n ,请写出数列 bn的前5项；(n)求证：为奇数，a (i = 2,3,4,)为偶数”是

14、“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件；(出)若a bi, i=i, 2, 3,，求数列an的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) an 0.【解析】(I)解：b1 =1, b2=2, 4=2, b4=2, b5=3.(n)证明：(充分性) 2,11111所以，对于任意i N*,6都为奇数.所以bnn .所以数列bn是单调递增数列.(不必要性)当数列an中只有a2是奇数,其余项都是偶数时，S为偶数， S i 2斯以勺二H-L数列鼠是单调递增豹列.所以为奇数，R=234I为偶数不是“数列也是单调速耀遁厂的四要兼用综上所述R为奇额，R，=234-)为偶教，是“数列也是单调递增数

15、列”的充分不必要条件.(m)解：(1)当色为奇数时j如果其为偶麴，若g.i为奇翻，则4H为奇额,所以&1=% + 1 = %+1为偶数，与内信二4口矛盾手若丹.1为偶数，则另.为偶数，所以为w =&=/为奇数，与小.：=忆1矛盾.所以当心为奇数时，不靛为f嬲.(2)当町为偶数时,如果凡为奇物,若应.】为奇数I则曷U为偶数，所以取7二%二位为偶数，与qu=_1茅盾?若呵T为偶数，则既H为奇额n所以4也=4+1=勺+1为奇数j与4T=47矛盾*所以当外为偶数时，*不靛为奇数.综上可得外与昆同奇偶.所以国-4为偶数,因为$=工十耳椁为偶魏.所以，为偶耨.因为碉=瓦=品为偶数,goh所以&=珥=0.因

16、为叼=&耳+1=1,且4之0,所以= a3 = 0 .以此类推，可得4=0,16.已知(1 + x)2n + 1=0+叩+0/+.r?wN*(”1)求正的值;(2)化简/的表达式，并证明：对任意的 nw* ,葭，都能被强十2整除.【答案】(1)30 ; (2)证明见解析.【解析】试题分析:Tn =(2n + l)CC = (2n += 2(2n +进而可得到结论.解析二由二项式定理.得/=Cl+1 (Tn 1, 2,2/1).C1) %=(!十 3d十 5(1口 二 Cj 十 3cg + 5C = 30 丁(2) ,5 + 1 += Cn+1 + fr)-上:庄 I =，吗=t 4 1)C?甘

17、工=，)(2fc + Ef_o (2k4- 1XSh41 SLa (2A H- iKmjJ+i*ttnn=，2(h + l+-(2n + 1)C=/ = 2 W 5 + 1 + 即仁装产3 41)， C k=ok =ok=o二 2i 十 DEZ C?-(2n + 1) 乙感公产二 20 + 1) ，(21十 c二i + 1)3 2,二 (2n + 1H,工=! + 1K? = (2n +1)(啮，+ C-_J = 2(2n + 口仁一.，y”N，能被4n+理除.17.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得数列an的前n项和Snam,则称an是“回归数列”.(1)前n项和为sn 2n的数列 a

18、n是否是“回归数列”？并请说明理由.通项公式为bn 2n的数列bn是否是“回归数列”？并请说明理由；(2)设an是等差数列，首项 &1,公差d 0,若 为是“回归数列”，求 d的值.(3)是否对任意白等差数列an，总存在两个“回归数列bn和Cn ,使得烝 bn Cn n N 成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】(1)见解析；(2) d 1; ( 3)见解析.【解析】(1)当用32附，,=S*-%= 当叶=1日寸；门=S = 2,当N2 时,Sj=qij,数列；4是“回归数列二(24-2m)m、,04 = 2?,前曾顶和邑=:=犷十时二为行+1),12二双内+ 1)为偶教，存在 2 m =

19、 m(w4-1) f即明使=S仙 ,数列也是“回归物列二. HT-1) 2 )=可可 H- d = 4 - d)对任意打己W* ,存在m w V ,使S = a, r Ki nh. .艮-i+(讨了一1)片j取x =2时，得l+，= (明一1)/?解得见=2F d：d 0 fS.m 又切 N* n m 1,d 1.(3)设等差数列an的公差为d,令bna1n1a12 n a1,*对 nN,bn i bna1，*令 Cnn 1 aid ,则对 nN,cn 1 cna1 d ,期4叶% =叫+侪=%,且数冽也和上是等差曲列,数列区J的前门项和q=用为十匹三一- ?! ）4,J?（ n 3 令耳=|

20、2 出心，则出=-一-+ 2?当X = 1日寸n F = 1 ；当M二2时，册二1 .当心3时，门与打-3的奇偶性不同，故刑3）为非负偶据.ft! c V m，对V尸都可找到所亡使，=A成立,即心力力回归数列7f ?T 11数列7的前刊项和& = -一- %十d） j 二匚我二（5-1（与十| =凡：,i?1-1）则明二- +1 m二对6曰V,双口一 1）为非负偶扎?.? yT ?，对力白都可找到加6:使得与=J成立，即忆为洞归数列二an中等于an故命题得证.18 .无穷数列 an满足：a为正整数，且对任意正整数 n, 2为前口项8，a2,的项的个数.（I）若a1 2,请写出数列 an的前7项

21、;（n）求证：对于任息正整数 M ,必存在k N ,使得ak M ；（出）求证：& 1是 存在m N ,当n m时，恒有an 2 an成立 的充要条件。【答案】（I） 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1； （n）证明见解析；（出）证明见解析.【解析】4T三11右脑用1M,矛盾故对于任意的正整整M ,必存在k w,使得% M.（皿充分性当.二1 时 j 数列%为 1, 1；1,1； 3, h 4,3 1, k-b 1, k,特别地，d吐=k m &2L =1 对任意的HmN（1）若n为偶数，则1;二4二1（2）若n为奇数，则%.工=2节1 = %综上3仁工2与恒成立，特别地 取m =1有当口

22、之m时恒有区取二工七成立方法一一假i殳存在力二k （ k使得一存在me N当口之m时,恒有2七成立”则数列的前k01项为k, L 1, 2）1, 3, 1, 4 ，1, k-L b kt 2f 3； 3 4 2 , k-b 2 ； kj 3 j 4 ； .j3 k 1 j 3, kk-2, k-2, k-L k-2 7 kk1 ； k -1 , 1c后面的项顺次为 TOC o 1-5 h z k1-1,k1,2,k1,kk2,1,k2 ,2,，k2,kk3,1,k3,2,，k3,k对任意的总存在建之m ?使得与 =k j但=1,这与矛盾,颜若存在m wN当n Nm时，恒有at一工s,成u，必有

23、, = 1方法二:若存在m u N当n m时,a:乃/恒成立记max/a. -a = 5.由第(2)间的结论可知:存在kwN使得% (由，的定义知kMm + l)不妨谩%是数列%中第二个大于等于5十】的顼，即皿孙,%.】均小于等于“则dz=】-因为kiNm,所以办占九丁即坨且】为正整期 所以ai=L记小二口+1,由散列%的定义可知，在/小，&T中恰有t项等于L假设即工1,则可设口匕二/ =%=1；其中1M*MG M考虑这t个1的前一项即丹I因为它们均为不超过5的正整数，且1二5十1,所以电口,口川皿中一定存在两项相等， , !将其记为山则数列gj中相邻两项恰好为( 1)的情况至少出现2次，但根

24、据数列/的定义可知: 第二个3的后一项应该至少为2f不能为b所以矛盾！故假设% W1不亦L所以力=1,即必要性得证！综上，“日产1”是h存在mN j当ti 3m时j恒有小岂已力成立说充要条件.19.设Sn为各项不相等的等差数列 an的前n项和，已知a3a5 3a7,S 9.(1)求数列 an通项公式；,一1(2)设Tn为数列的前n项和，求Tn.H 1【答案】(1) an n 1； (2) T叼-+ h t -42 时，|a i-ai+i | w2(i=1,2 ,n -1).记这样的数列个数为f(n).(I )写出 f(2),f(3),f(4) 的值；(II )证明f(2018)不能被4整除.【

25、答案】(I) f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4; (n)见解析.【解析】(I)解:(I)根据题意，a=1;当n? 2时，|a i-ai+1| W2(i=1,2,，n-1);则 f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.d)证明：把满足条件的数列称为n项的首项最小数列.对于n个数的首项最小数列，由于 a1=1,故a2=2或3.(1)若32=2,则a2-1,a 3-1,a n-1构成n-1项的首项最小数列，其个数为f(n-1);(2)若a2=3,a3=2,则必有a4=4,故a4-3,a5-3,an-3构成n-3项的首项最小数列，其个数为 f(n-3);(3)若a2=3，则a3=4或a3=5

26、.设ak+1是这数列中第一个出现的偶数，则前 k项应该是1,3,2k-1, ak+1是2k或2k-2，即ak与ak+1是相邻整数.由条件，这数列在ak+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为 2在ak+1之后，故ak+1后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数 综上，有递推关系：f(n尸f(n-1)+f(n-3)+1, n5. , Bfj q - 4T 之 4；,-4 = %勒=日i ?,百 _ %： _ 邑-0% y，4 W，%为公比为g的等比皴列.(ill);吗=2, %=(%=1.23 )尸 B fT 2 拿%=1,，司任意箝之L %之4=1?假设他

27、(让2)中存在大于二的项，设序为满足41A2的最小正整数，贝心力 2,对任意1工上所，%三2 ,又冈=2/一I=工且4 = % 2/,1,Bn =2*1 = 2 ?因小二血口小, 3所22， n1故9*1= +2=1与Mt=彳矛盾，时于任意育义工2即非负整数列 an各项只能为1或2.22 .设正项数列 an的前n项和为Sn,且满足a3 7, a21 6Sn 9n 1, nN(1)求数列 an的通项公式;（2）若正项等比数列bn满足biai,b3a2,且Cn%bn，数列Cn的前n项和为Tn.求玉；2右对任思n 2, n N ,均有Tn 5 m 6n 31n 35恒成立，求实数 m的取值范围3【答案】（1） an 3n 2；（2） m 32【解析】昌3 =电十9口十1.次：= 6S.i+9（n l I十1