基本不等式优质课教学课件

1、基本不等式优质课ppt课件第1页，共28页。1.熟练掌握基本不等式并会证明.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.问题导学题型探究归纳总结学习目标第2页，共28页。 该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 问题导学1：第3页，共28页。ab1、正方形ABCD的面积 S= 、四个直角三角形的面积和 S =、S与S有怎样的不等关系？SS那么它们有相等的情况吗？(ab)第4页，共28页。ADBCE

2、FGHba猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab(ab)(ab)第5页，共28页。思考：你能给出不等式 的证明吗？证明：（作差法） 第6页，共28页。重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立适用范围：a,bR第7页，共28页。替换后得到： 即：即：问题一第8页，共28页。证明：要证 只要证要证，只要证要证，只要证显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立. 分析法你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二第9页，共28页。若a0，b0，则通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫

3、做基本不等式.基本不等式定义适用范围：a0,b0第10页，共28页。 观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？问题导学2：第11页，共28页。当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.第12页，共28页。适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0比较重要不等式和基本不等式：第13页，共28页。题型一基本不等式与最值二、题型探究 一正二定三相等第14页，共28页。二定凑项：使和成定值一

4、正三相等第15页，共28页。解x2，x20，二定凑项：使积成定值一正三相等第16页，共28页。即x4，y12时，上式取等号.故当x4，y12时，(xy)min16.“1”的代换第17页，共28页。反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.口诀：一正、二定、三相等第18页，共28页。f(x)的最小值为12.第19页，共28页。解x3，x30.f(x)的最大值为1.第20页，共28页。题型二基本不等式在实际问题中的应用例2(1)用篱笆围

5、一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy100，篱笆的长为2(xy) m.等号当且仅当xy时成立，此时xy10.因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.第21页，共28页。(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.当且仅当xy，即xy9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面

6、积为81 m2.第22页，共28页。利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.反思与感悟第23页，共28页。练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，又设水池总造价为y元，根据题意，答水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.第24页，共28页。归纳总结基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是 ；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 ；(3)等号成立的条件是否满足.正数定值定值即：已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.(1) xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).(2) x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).14第25页，共28